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1、1,第五章 留数及其应用,本章主要内容：,1、孤立奇点及其分类 2、留数概念及其计算 3、留数在计算定积分中的应用,2,1 孤立奇点,1、孤立奇点的分类,例如,3,x,y,o,这说明奇点未 必是孤立的.,4,注: 若函数的奇点个数有限，则每一奇点都是孤立奇点.,2、孤立奇点的分类,5,2.1 可去奇点：展式中不含z-z0 负幂项，即,特点?,“可去” 一词的 解释?,6,2.2 极点：展式中仅含有有限多个z-z0 负幂项，即,特点?,7,2.3 本性奇点：展式中含有无穷多个z-z0 负幂项,特点?,8,3、 函数在孤立奇点的性质,3.1 z0为 f (z) 的可去奇点,性质1 若z0为 f (
2、z) 的孤立奇点，则下列条件等价：,9,3.2 若z0为f (z)的m (m 1) 级极点，则,性质2 若z0为 f (z) 的孤立奇点，则下列条件等价 （都是m级极点的特征）：,10,例如：,z=1为f (z)的一个4级极点， z=i为f (z)的简单极点.,注意在判断孤立奇点类型时，不要一看到函数的表面形式就急于作出结论. 例如,利用洛朗展式容易知道，z=0分别是它们的简单极点，可去奇点，二级极点.,11,性质3 若z0为f (z)的孤立奇点，则,z0为f (z)的极点的充要条件是,在判断函数的极点时，请比较性质2和性质3.,4、 零点与极点的关系,12,证明:先证明必要性.,性质4,13
3、,例如：,必要性证毕.,充分性请自己完成.,结论：一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的.,14,性质5,证明：,由于z0为f (z)的m 级零点，所以,15,在判断函数的极点级数时，下列结论有时是非常有用的.,例如，,16,性质6 z0为 f (z) 的本性奇点,注：在求复变函数的极限时，也有同实函数类似 的罗必塔法则.,由性质1和性质3，得,17,18,本讲小结：,19,1、 留数的定义,2 留 数,1.1 引入,20,21,1.2 定义1,22,注：,23,2、 留数定理,定理1,证明,24,由复合闭路定理得：,于是，得,留数定理非常重要，也为求积分提供了新方法！,25,求沿闭曲线c的积分
4、，归之为求在c中各孤立 奇点的留数.,理论上讲，只要知道将 f (z) 在 z0 邻域内的洛朗 级数，也就求出了f (z) 在该点处的留数, 实际上， 展开式有时候并不是很好求的.,以下就三类孤立奇点进行讨论：,3、 留数的计算,26,定理2,27,证明: 由条件,得,28,注:,定理3,证明:,29,证毕.,30,例1,解:,31,例2,解:,32,例3,解:,33,例4,解:,34,例5,解:,另解:,35,另解: 由定理2 的推导过程知，在使用时，可将 m 取得比实际级数高，有时可使计算更简单.,例如取 m=6,36,1、 留数的定义 2、 留数定理 3、 留数的计算规则,本讲小结,37
5、,3 留数在计算定积分中的应用,本节主要内容：,考察三种类型的实函数的定积分的计算.,38,这类积分可以化为单位圆上的复变函数积分.,39,在高等数学中此积分一般是采用万能代换求解.,下面用复变函数的方法求解该题.,解：,例1,40,于是,41,因此,42,不失一般性，设,43,根据留数定理，得到,x,y,O,-R,R,.,.,.,.,.,.,44,再由（1），得,45,解：,因为被积函数是偶函数,其位于上半平面的奇点是:,（均为单极点）,46,于是,47,于是,解：,其位于上半平面的奇点是:,（均为单极点）,48,问题的处理方法：同第二种类型一样，通过引进辅助半圆周，得到一个闭合路径（半圆周加实轴）上的复变函数的积分，然后取极限（令半径趋于无穷），并且 可证明：,49,事实上,50,于是,51,即：,例 计算,解：相当于：,52,思考：,53,例 计算,解：先考察积分,在所示闭合路径上应用留数定理，得,（因闭合路径内被积函数无奇点）,54,取极限，令：,则,下面考察最后一项：,55,由于,再注意到g(z)在原点临近有界，所以,56,至此，我们得到,57,本讲主要内容：,考察三种类型的实函数的定积分的计算.,
