《微积分基础参考资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微积分基础参考资料（139页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,1,微 积 分 基 础,使用教材：高等数学(经管类)上册,21世纪高职高专规划教材,主讲教师：王培康,e-mail: ,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,2,第一章 函数的极限与连续,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,3,经济数学是以微积分作为核心内容。微积分是人 类二千多年来智力奋斗的结晶，有着广泛而深刻的应用，又是其他课程的基础。,微积分的起源主要来自两方面的问题：一是物理 学的一些新问题，已知路程对时间的关系求速度及已 知速度对时间的关系求路程，二是几何学的一些相当 老的问题，作曲线的切线和确定面积和体积等问题。
2、 这些在古代就研究过，在17世纪初期开普勒、卡瓦列 里和许多其他数学家也研究过，但是这两类问题之间 的显著关系的发现，解决这些问题的一般方法的形成，要归功于牛顿(Newton，英)和莱布尼兹(Leibniz，德) 。,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,4,牛顿和莱布尼兹超越前人的功绩在于，他们能够站在更高的角度，对于以往分散的努力加以综合，将自古希腊以来求解无穷小问题的各种技巧统一为两类普遍的算法微分和积分，并且确定了两类运算的互逆关系，从而完成了微积分发明中最后的、也是最关键的一步，在17世纪后半叶建立了微积分。微积分的发现在科学史上具有决定性的意义。,微积分是以变量与变量之间
3、的关系(即函数) 为研究对象，所用的主要工具是极限。,本章先对以前学过的有关函数的内容作些复 习和小结，为以后各章的学习作些必要的准备。,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,5,1.1 函 数,一、集合,把一定的并且彼此可以明确识别的事物 （这种事物可以是直观的对象，也可以是思 维的对象）放在一起，称为一个集合。, 乔治 康托,（德国数学家、集合论创始人）,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,6,两种常用的实数集合：区间与邻域,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,7,.,。,区间用不等式表示：,x,-1,1,0,区间用集合表示：,x,0,2019年1月14日
4、,上海交通大学继续教育学院,8,此区间称为点 a 的 邻域,称为点 a 的 去心邻域, 称为邻域半径。,a 称为邻域中心,若此邻域中不包含点 a, 即,记为,记为,。,。,x,a,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,9,二、绝对值,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,10,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,11,x - 自变量,y - 因变量,定义,D - 定义域,三、 函数的概念,- 值域。,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,12,例:,x,y,函数的图象:,由,定的平面点集. (一般为平面曲线),所确,o,x,y,2019年1月14日,上
5、海交通大学继续教育学院,13,函数的定义域就是使得函数表达式有意义的,构成函数的基本要素：定义域及对应法则.,自变量的一切可能的取值组成的集合.,只要定义域及对应法则确定, 则函数就唯一确定,至于自变量与因变量各用什么字母是不重要的.,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,14,函数相等：,例1：判断下列函数是否为相等函数：,必须定义域及对应法则都相同。,(1),(常值函数),(2),(3),定义域不同,对应关系不同,三组函数均为不同函数,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,15,例2：求下列函数的定义域：,(2),(1),2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,
6、16,函数的表示法:,公式法, 图示法, 表格法.,公式法中, 当自变量在定义域内的不同范围取值,时用不同的式子所表示的函数, 称为分段函数.,如：,1,2,又如: 某商店对某商品的售价规定如下: 购买量 不超过5千克时, 每千克0.8元, 购买量大于5千克 时, 超出5千克的部分优惠价每千克0.6元.,若以 x 表示购买量, y 表示购买 x 千克的费用, 则,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,17,解:,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,18,1. 有界性,否则称无界。,设 f (x) 的定义域为D,使对任一,则称 f (x) 在 D 上有界,如：,= M,为
7、D 上的有界函数。,无界。,有界。,o,x,y,1,2,若存在正数 M,四、函数的几种特性,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,19,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,20,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,21,2. 单调性,两者统称为严格单调函数, I 为严格单调区间。,设 f (x) 的定义域为D, 区间,对 I 上任二点 x1, x2 , 当 x1 x2 时,则称 f (x) 在 I 上严格单调增加,则称 f (x) 在 I 上严格单调减少,若都有,若都有,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,22,例：,则称 f (x) 在 I 上单
8、调增加;,同理可定义 f (x) 在 I 上单调减少.,两者也统称为单调函数, I 为单调区间。,严格单调函数必然是单调函数; 但反之不然.,o,x,y,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,23,严格单调增加,严格单调减少,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,24,3. 奇偶性,设 f (x) 的定义域 D 关于原点对称,都有,则称 f (x)为偶函数；,都有,则称 f (x)为奇函数。,若对任一,若对任一,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,25,例1: 判断下列函数的奇偶性,所以为偶函数;,所以为奇函数;,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,
9、26,定义域关于原点不对称,所以为非奇非偶函数;,所以为非奇非偶函数.,例1: 判断下列函数的奇偶性,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,27,偶函数的图形关于 y 轴对称,奇函数的图形关于原点对称,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,28,五、反函数与复合函数,1. 反函数,一般地,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,29,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,30,2. 复合函数,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,31,复合函数,简称复合函数, 记作,其中 u 称为中间变量。,即 u = g(x) 的值域 g(D) 与 y = f
10、 (u) 的定义域 D( f ),的交集非空时,为复合函数。,设 y 是 u 的函数：y = f (u),而 u 又是 x 的函数：u = g(x),若 g(x) 的值域全部或部分包含在 f (u) 的定义域内,则 y 通过 u 成为 x 的函数：,它是由 y = f (u), u = g(x) 复合而成。,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,32,y = f (u), u = g(x),u = g(x) 的值域 g(D) 与 y = f (u) 的定义域 D( f ),的交集非空时,为复合函数。,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,33,(1),例1. 讨论下列函数的
11、复合情况：,(2),(3),条件不满足，不能复合.,定义域,定义域,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,34,例2. 把下列复合函数分解成简单函数：,(2),(3),(1),2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,35,例3.,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,36,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,37,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,38,六、初等函数,熟练掌握它们的定义域、图象、性质等性态,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数,常数函数,1. 基本初等函数,(见教材第158页附录A),2019年1月14日,上海交
12、通大学继续教育学院,39,有界函数,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,40,(2) 幂函数,它们的图形:,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,41,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,42,它们的图形:,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,43,(3) 指数函数,定义域为,由于 ，故值域为,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,44,本课程中常用的指数函数,如,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,45,(4) 对数函数,定义域为,值域为,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,46,本课程中常用的对数函数,自然对数
13、,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,47,(5) 三角函数,正弦函数,定义域为,值域为,周期为 的有界奇函数,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,48,余弦函数,定义域为,值域为,周期为 的有界偶函数,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,49,正切函数,定义域为:,周期为 的无界奇函数,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,50,余切函数,定义域为:,周期为 的无界奇函数,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,51,(6) 反三角函数,反正弦函数,定义域为,值域为,有界奇函数,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,52,反余弦
14、函数,定义域为,值域为,有界函数,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,53,反正切函数,定义域为,值域为,有界奇函数,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,54,反余切函数,定义域为,值域为,有界函数,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,55,2. 初等函数,由基本初等函数经过有限次四则运算和有限,如：,分段函数一般不是初等函数, 但也有例外.,次复合运算而构成的并且用一个式子表示的函数,称为初等函数.,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,56,我国魏晋时期的数学家刘徽用圆内接正,多边形来推算圆面积, 即为割圆术。,圆内接正三角形面积 A1,圆内接
15、正六边形面积 A2,圆内接正十二边形面积 A3,圆内接正 m 边形面积 An,刘徽发现圆面积正是 A1, A2, , An, ,当 n 无限变大时的趋近值。,1.2 函数的极限,一、数列的极限,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,57,1. 数列的定义,按照某一法则, 依次排列着的无穷多个数:,称为无穷数列, 简称数列,记作 xn .,其中每一个数称为数列的项,xn 称为一般项或通项.,也可看作自变量取正整数的函数:,xn = f (n), D: n = 1, 2, ,称为整变量函数.,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,58,例：,1, 2, 3, , n, ,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,59,2. 数列的性质,(1) 单调性,对数列 xn , 若都有,则称为单调增加数列；,则称为单调减少数列。,两者统称单调数列。,单调增加数列,单调减少数列,不是单调数列,2019年1月14日,上海交通大学继续教育学院,60,(2) 有界性,对数列 xn ,xn 满足,则称数列 xn 有界；,若这样的 M 不存在,则称数列 xn 无界。,有界数列,无界数列
