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1、第三章 晶体的宏观对称,对称的概念 晶体对称的特点 对称要素和对称操作 对称要素的组合 对称型及其推导 晶体的对称分类及点群符号 准晶体的分类,一、对称的概念,晶体学,物体（或图形）中相同 部分之间有规律的重复。,二、晶体对称的特点,由于晶体内部都具有格子构造，通过平移，可使相同 质点重复，因此，所有的晶体结构都是对称的。 晶体的对称受格子构造规律的限制，也就是说只有符合格子构造规律的对称才能在晶体上体现。因此，晶体的对称是有限的，它遵循“晶体对称定律” 。 晶体的对称不仅体现在外形上，同时也体现在物理性 质上。 因此，由以上可见：格子构造使得所有晶体都是对称 的，格子构造也使得并不是所有对称
2、都能在晶体中出现。,晶体学,对称操作（symmetry operation）,能够使对称物体（或图形）中的等同部分作有规律重复的变换动作（对称操作）,三、晶体的宏观对称 要素和对称操作,晶体学,对称要素,对称要素（symmetry element）：在进行对称操作时所凭借的辅助几何要素点、线、面等。 对称要素种类和相应的对称操作 对称中心（center of symmetry）反伸操作 对称面（symmetry plane） 反映操作 对称轴（symmetry axis） 旋转操作 旋转反伸轴（rotoinversion axis） 旋转反伸操作 旋转反映轴（rotoreflection ax
3、is） 旋转反映操作 对称变换矩阵,晶体学,晶体学,对称变换矩阵,对称操作 对应点的坐标变换 (x, y, z) （X, Y, Z）,or,对称变换矩阵,对称中心C 操作为反伸。只能在晶体中心，只能一个。,晶体学,对称中心,总结：凡是有对称中心的晶体，晶面总是成对出现且两两反向平行、同形等大。,对称面P 操作为反映。可以有多个对称面存在，如3P、6P等。,对称面,晶体学,对称面的特点,垂直平分晶面 垂直平分晶棱 包含晶棱 平分角顶, 对称轴Ln 操作为旋转。其中n 代表轴次，意指旋转360度相同部分重复的次数。旋转一次的角度为基转角 ，关系为：n=360/ 。,对称轴,晶体学,对称轴的特点,晶
4、面中心 晶棱中点 垂直晶棱 角顶,晶体学,对称轴（Ln）对称操作之平面图解,(没有5-fold 和 6-fold 的),晶体学,变换矩阵：,晶体的对称定律：,由于晶体是具有格子构造的固体物质，这种质点格子状的分布特点决定了晶体中只能出现轴次（n）为一次、二次、三次、四次和六次的对称轴，而不可能存在五次及高于六次的对称轴。 为什么呢？ 1、直观形象的理解： 垂直五次及高于六次的 对称轴的平面结构不能 构成面网，且不能毫无 间隙地铺满整个空间, 即不能成为晶体结构。,晶体学,晶体对称定律,晶体学, 旋转反伸轴 Lin 操作为旋转+反伸的复合操作。具体的操作过程：,旋转反伸轴,晶体学,旋转反伸轴 围
5、绕直线旋转一定的角度和对于一定点的反伸 = 对称轴对称心,种类 Li1 = C Li2 = P Li3 = L3 +C Li4 Li6 = L3 +P,晶体学,变换矩阵：,Li1 = C Li2 = P,晶体学,Li3 = L3 +C,晶体学,Li6 = L3 +P,值得指出的是，除Li4外，其余各种旋转反伸轴都可以用其它简单的对称要素或它们的组合来代替。 但一般我们在写晶体的对称要素时，保留Li4 和Li6，而其他旋转反伸轴就用简单对称要素代替。这是因为Li4 不能被代替， Li6在晶体对称分类中有特殊意义。,旋转反伸轴,晶体学,旋转反映轴,晶体学, 旋转反映轴 Lsn 操作为旋转+反映的复
6、合操作。具体的操作过程：,旋转反伸轴 围绕直线旋转一定的角度和对于一平面的反映 = 对称轴对称面,种类 Ls1 = P Ls2 = C Ls3 = L3 +P Ls4 Ls6 = L3 +C,变换矩阵：,晶体学,晶体学,旋转反映轴,Ls6 = L3 +C,Ls3 = L3 +P,四 对称要素组合定理：,定理1：LnL2LnnL2 （相邻L2的夹角是Ln基转角的一半） 逆定理： L2与L2相交，在其交点且垂直两L2会产生Ln，其基 转角是两L2夹角的两倍。并导出其他n个在垂直Ln平面内的 L2。 例如: L4L2L44L2 , L3L2L33L2,晶体学,思考: 两个L2相交30,交点处并垂直L
7、2所在平面会产生什么对称轴?,对称要素的组合,晶体学,定理2：Ln P LnP C （n为偶数） 逆定理： Ln C LnP C （n为偶数） P C LnP C （n为偶数） 这一定理说明了Ln、P、C三者中任两个可以产生第三者。,对称要素组合定理：,晶体学,定理3：Ln P/ LnnP/（P与P夹角为Ln基转角的一半） 逆定理：两个P相交，其交线必为一Ln，其基转角为P 夹角的两倍，并导出其他n个包含Ln的P。 思考: 两个对称面相交60,交线处会产生什么对称轴?,对称要素组合定理：,晶体学,对称要素的组合,晶体学,定理4： Lin L2 = Lin P/ Linn/2 L2 n/2 P/
8、 （n为偶数） Linn L2 nP/（n为奇数） 逆定理：如有一L2与一P斜交，P的法线与L2的交角为，则平行P且垂直于L2的直线必为一n次旋转反伸轴Lni，n360/2。,对称要素的组合,晶体学,例：四方四面体 Li42L2 2P,对称要素的组合,晶体学,例：复三方偏三角面体 Li33L2 3P,注：在有些晶体当中，其对称要素只体现为一个组合定理，而在另外一些晶体中其对称要素则体现为多个组合定理。,五、32个对称型及其推导,晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶体形态的对称型或点群。一般来说，当强调对称要素时称对称型，强调对称操作时称点群。 为什么叫点群？因为对称型中所有对称操作可构成一
9、个群，符合数学中群的概念，并且在操作时有一点不动，所以称为点群。 根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律，推导出晶体中可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅有32个。那么，这32个对称型怎么推导出来？,晶体学,1）对称轴Ln单独存在，可能的对称型为L1；L2；L3；L4；L6 。 2）对称轴与对称轴的组合。在这里我们只考虑Ln与垂直它的L2的组合。根据上节所述对称要素组合规律LnL2LnnL2，可能的对称型为：（L1L2=L2）；L22L2=3L2；L33L2；L44L2；L66L2 如果L2与Ln斜交有可能 出现多于一个的高次轴， 这时就不属于A类了。,1. A类对称型（高次轴不多于一个
10、）的推导,晶体学,3）对称轴Ln与垂直它的对称面P的组合。考虑到组合规律Ln（偶次）PLn（偶次）PC，则可能的对称型为：（L1P=P）；L2PC；（L3P=Li6）；L4PC；L6PC。 4）对称轴Ln与包含它的对称面的组合。根据组合规律Ln PLnnP，可能的对称型为：（L1P=P）L22P；L33P；L44P；L66P。,A类对称型（高次轴不多于一个）的推导,晶体学,5）对称轴Ln与垂直它的对称面以及包含它的对称面的组合。垂直Ln的P与包含Ln的P的交线必为垂直Ln的L2，即Ln P P=Ln P P L2 =LnnL2（n + 1）P（C）（C只在有偶次轴垂直P的情况下产生），可能的对
11、称型为：（L1L22P=L22P）；L22L23PC=3L23PC;（L33L24P=Li63L23P）; L44L25PC; L66L27PC。,A类对称型（高次轴不多于一个）的推导,晶体学,6）旋转反伸轴单独存在。可能的对称型为：Li1=C；Li2=P；Li3=L3C；Li4；Li6=L3P。 7）旋转反伸轴Lin与垂直它的L2（或包含它的P）的组合。根据组合规律，当n为奇数时LinnL2nP，可能的对称型为：（Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC；当n为偶数时Lin(n/2)L2(n/2)P可能的对称型为：（Li2L2P=L22P）；Li42L22P；Li63L2
12、3P=L33L24P。,A类对称型（高次轴不多于一个）的推导,晶体学,多个高次轴的组合。 1 原始式：四面体的对称轴 3L24L3 2 中心式：原始式与对称中心组合3L24L33PC 3 轴式：原始式与对称轴的组合3L44L36L2 4 面式：原始式与对称面的组合3Li44L36P 5 轴面式：轴式的基础上加对称面 3L44L36L29PC,2. B类对称型（高次轴多于一个）,晶体学,5个B类（高次轴多于一个）对称型，不要求推导。,这样推导出来的对称型共有32个，见下表。,晶体学,晶族（crystal category）的划分 根据高次轴的有无及多少而将晶体划分为三个晶族 高级晶族（highe
13、r category） 中级晶族（intermediate category） 低级晶族（lower category）,问题: 什么是高次轴? 最多有多少高次轴?,晶体学,六、晶体的对称分类及点群符号,1、晶族、晶系、晶类的划分,晶体的对称分类,晶系（crystal system）的划分 根据对称轴或旋转反伸轴轴次的高低以及它们数目的多少，总共划分为如下七个晶系, 分属于三个晶族 等轴晶系（isometric system）, 又称立方晶系（cubic system） 六方晶系（hexagonal system） 四方晶系（tetragonal system） 三方晶系（trigonal s
14、ystem） 斜方晶系（orthorhombic system）, 亦称正交晶系 单斜晶系（monoclinic system） 三斜晶系（triclinic system）,晶体学,晶体的对称分类,表32 - the below and next page,晶体学,2. 对称型的国际符号,对称型的国际符号很简明，国际符号既表明了对称要素的组合，也表明了对称要素的方位。有以下几个特点： 它不将所有的对称要素都写出来； 并且可以表示出对称要素的方向性； 但它不容易看懂。 注：在国际符号中有13个序位，每一序位中的一个对称要素符号可代表一定方向的、可以互相派生（或复制）的多个对称要素，即凡是相同的
15、对称要素和可以推导（派生）出来的对称要素都省略了。 对称轴以 1，2，3，4，6表示;对称面以m表示,旋转反伸轴以1、2、3、4、6表示,若对称面与对称轴垂直，则两者之间以斜线或横线隔开，如L2PC以2/m表示，L4PC以4/m表示（由此可以看出，对称中心C就不必再表示出来了，因为偶次轴垂直对称面定会产生一个C）。,晶体学,由于1=Li1=C，2=Li2=P=m，习惯用1代表对称中心。m代表2。 所谓的相同对称要素，并不仅仅指同种对称要素，而且必须是能够借助于对称型中其他对称要素的变换作用而相互重复的同种对称要素。 例如：3m（L33P）对称型中的三个P全部是相同对称要素；但在4/mmm（L4
16、4L25PC）对称型中，垂直于L4的P与其它4P都不相同，而且剩下的4个P之中，只有相互垂直的两个P才构成一组相同对称要素，而以45交角相邻的任二P都不是相同的对称要素。,晶体学,具体的写法为:设置三个序号位(最多只有三个),每个序号位中规定了具体方向上(a,b,c,a+b,a+b +c,2a+b)的对称要素，对称意义完全相同方向上的对称要素，不管有多少,只写一个就行了。 不同晶系中，这三个序号位所代表的方向完全不同，所以，不同晶系的国际符号的写法也就完全不同，一定不要弄混淆。 每个晶系的国际符号写法见表3-3(此表很重要，要熟记！）,对称型的国际符号,晶体学,点群的国际符号各个序位的方向,晶体学,符号顺序
