通信第2章随机信号分析

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1、2.1 信号表示法 2.2 信号频谱分析概述 2.3 随机变量的统计特征 2.4 随机过程 2.5高斯过程 2.6窄带随机过程 2.7正弦波加窄带高斯过程 2.8 随机过程通过线性系统,第 2 章 随机信号分析,信号的时频域基本分析方法 随机变量、随机过程统计特征及重要关系 自相关函数与功率谱分析 白噪声与限带、窄带高斯噪声特点 随机过程通过线性系统,学习要点,3,2.1 信号表示法,周期与非周期信号 周期信号f(t)满足下列条件： 非周期信号没有周期性，一般多为有限持续时间的特定时间波形,通信系统所指的信号一般指随时间变化的信号,4,2.1 信号表示法,确知和随机信号 确知信号的特征是：对于

2、指定的某一时刻，可确定一相应的参量取值。 随机信号：信号的某一个或更多参量具有不确定取值。,5,2.1 信号表示法,能量与功率信号 能量信号：能量有限的信号。 功率信号：平均功率有限的信号。 能量信号的总平均功率等于0。 功率信号的能量趋于无限大。,6,2.1 信号表示法,模拟与数字信号 模拟信号：连续波，主要参量的取值有无限个可能。 数字信号：参量取值可数且有限。,7,基带与频带信号 基带信号：从信源发出的信号，未经调制。 主要能量在低频段。又称为低通信号。 频带信号：调制后的信号。又称为带通信号。,2.1 信号表示法,8,2.2 信号频谱分析概述,傅里叶级数 三角级数形式 余弦函数形式 指

3、数级数形式 傅里叶变换,9,2. 3 卷积与相关,卷积,卷积定理 调制定理,10,卷积与相关,相关,自相关函数,互相关函数,周期信号利用,11,卷积与相关,卷积与相关关系,12,能量谱、功率谱及帕氏定理,能量谱密度,若存在傅里叶变换对,为能量信号，则其能量谱与其自相关函数是一对傅立叶变换，即,是能量谱，或称能量谱密度。它表示能量信号每单位频带所持有的能量,13,能量谱、功率谱及帕氏定理,功率谱密度,若存在傅里叶变换对,为功率信号，则其功率谱与其自相关函数是一对傅立叶变换，即,是信号f(t)以时段T截短后的频谱函数 是其相应的能量谱,14,能量谱、功率谱及帕氏定理,帕氏定理(Parseval)信

4、号能量与功率的计算,（1）时域,（2）频域,15,能量谱、功率谱及帕氏定理,（3）相关域,（4）帕氏定理 能量谱或功率谱在其频率范围内，对频率的积分等于信号的能量或功率，并且在时域、频域积分，以及自相关函数 时，三者计算结果是一致的。,16,2.3 随机变量的统计特征,随机变量（一维、二维、多维） 概率分布函数 概率密度函数 数字特征 常用的随机变量类型 均匀分布 高斯分布,17,2.4 随机过程,概念 随机信号和噪声统称为随机过程。 定义 含有某一个参数的随机变量之和。 设 是一实验的样本空间。若对于每个 有一时间函数 与之对应，于是对于所有 有一簇时间t的函数存在，则称该簇时间函数为随机过

5、程。 特点 若 都取定值， 是一固定值 若 取定，t不定， 是样本函数 若 不定，t定， 是随机变量 若 都不定， 是随机过程,18,19,随机过程的统计特征,随机过程的概率分布函数与概率密度函数 一维 二维 多维 概率密度函数,20,随机过程 随机过程通过概率密度函数和分布函数来表述其统计特性。,设(t)为一随机过程，它在任一时刻t1的取值(t1)为一随机变量。其统计特性可用： 分布函数 F1(x1 ,t1)=P(t1) x1 或 概率密度函数 来描述。,随机过程(t)的一维概率密度函数 仅仅用时刻t1随机变量(t1)的统计特性来描述随机过程。,随机过程(t)的一维分布函数 仅仅用时刻t1随

6、机变量(t1)的统计特性来描述随机过程。,21,随机过程的n维分布n维概率密度函数和n维分布函数:, n维分布函数 Fn(x1,x2,xn;t1,t2 ,tn) =P(t1)x1,(t2)x2 ,(tn)xn n维概率密度函数 多维分布可以更“精确”的描述随机过程的统计特性。,22,随机过程的一般表述概率密度函数和分布函数,随机过程概率密度函数和分布函数举例正态分布随机过程,F()=P(t)= 1,23,随机过程概率密度函数和分布函数实用意义举例,Pe1,Pe0,24,随机过程的统计特征,随机过程的统计特征 期望 方差 自协方差 自相关函数,25,随机过程的统计特征,26,随机过程的统计特征,

7、结论: 1 数学期望 和方差 描述了随机过程在各个孤立时刻的特征，但没有反映随机过程不同时刻之间的内在联系。 2 自相关函数 和自协方差函数 是用来衡量同一随机过程在任意两个时刻上的随机变量的相关程度。,27,平稳随机过程,定义 n维概率密度函数不随时间变化而变化，则称严平稳或窄平稳。,平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而不同，它的一维分布与t无关，二维分布只与时间间隔有关 宽平稳（满足 一维和二维平稳条件） 数学期望与t无关，为常数 自相关函数只与时间间隔有关，=t2-t1,28,平稳随机过程,29,遍历性平稳随机过程,遍历性各态历经性（它的一个实现遍历了它所有过程） 定义 如果一个平稳

8、随机过程，其任何一个样本函数的时间平均等于相应的统计平均，则称为遍历性平稳随机过程。,30,均值 方差 自相关函数,遍历性平稳随机过程,“各态历经”的含义是：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，在求解各种统计平均（均值或自相关函数等）时，无需作无限多次的考察，只要获得一次考察，用一次实现的“时间平均”值代替过程的“统计平均”值即可，从而使测量和计算的问题大为简化。 具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。,31,遍历性平稳随机过程,32,遍历性平稳随机过程,广义平稳 均值为常数 自相关函数与时间

9、起止无关，而与时间间隔有关,遍历平稳 时间均值 时间自相关函数,33,例3-1 设一个随机相位的正弦波为 其中，A和c均为常数；是在(0, 2)内均匀分布的随机变量。试讨论(t)是否具有各态历经性。 【解】(1)先求(t)的统计平均值： 数学期望,遍历性平稳随机过程,34,自相关函数 令t2 t1 = ，得到 可见， (t)的数学期望为常数，而自相关函数与t 无关，只与时间间隔 有关，所以(t)是广义平稳过程。,遍历性平稳随机过程,35,(2) 求(t)的时间平均值 比较统计平均与时间平均，有 因此，随机相位余弦波是各态历经的。,遍历性平稳随机过程,36,平稳随机过程的相关函数性质,设(t)为

10、宽平稳随机过程 (t)的平均功率 (t)的直流功率 (t)的交流功率 自相关函数是偶函数 自相关函数是双边非增函数 自相关、自协方差和均值之间的关系,37,平稳随机过程的功率谱,自相关函数与功率谱的关系 平稳随机过程的自相关函数与功率谱是一对傅里叶变换。,功率谱的性质 非负性 实偶性 平均功率=R(0) 具有微分特性,38,设(t)的功率谱密度为P() (t)的某一实现的截短函数T(t) T(t)与FT() 是一对傅立叶变换对 则,39,40,令 t=t2, 则dt=dt2; =t1-t2, dt1=d,41,积分区间可以分为0， 0 所以,42,平稳随机过程,习题：,43,2.5 高斯过程,

11、高斯过程又称正态随机过程，它是一种普遍存在和重要的随机过程。在通信信道中的噪声，通常是一种告诉过程，故又称为高斯噪声。 高斯过程的n维概率密度函数用下式表示:,44,45,高斯随机过程的一维正态分布,高斯随机过程的一维正态分布 若随机变量 的概率密度函数为: 则称 为服从正态分布的随机变量。其中: 为数学期望， 为方差，,46,一维分布 概率密度函数,f(x)对称于直线x=,f(x)在(-，)单调升,在( ，)单调降,在x=处取最大值,当x时，f(x) 0.,f(x)曲线下面积： 在x=左右侧各1/2。,对于不同值，表现为f(x)曲线左右平移；对于不同值， f(x)曲线图形随的减小而变高和变窄

12、，曲线下面积不变。,高斯随机过程的一维正态分布,47,高斯随机过程的一维正态分布,48,正态分布,49,50,高斯过程正态分布随机过程,51,几个有用的公式,52,几个有用的公式,53,高斯白噪声,理想的宽带过程 白噪声：功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声。 对电子通信系统影响最大而无法根除的热噪声，其统计特性符合告诉过程特性。 在任何电子通信系统中，将不再具体区分白或热噪声，可将加性热噪声说成加性高斯白噪声（AWGN）。,54,高斯白噪声,严格地说，白噪声只是一种理想化模型，因为实际噪声的功率谱密度不可能具有无限宽的带宽，否则它的平均功率将是无限大，是物理上不可实现的。然而，白噪声在数

13、学处理上比较方便，因此它是系统分析的有力工具。一般，只要一个噪声过程所具有的频谱宽度远远大于它所作用系统的带宽，并且在该带宽中其频谱密度基本上可以作为常数来考虑，就可以把它作为白噪声来处理。例如，热噪声和散弹噪声在很宽的频率范围内具有均匀的功率谱密度，通常可以认为它们是白噪声,55, 白噪声(宽带过程)与带限白噪声,56,高斯过程与高斯白噪声特征,高斯过程的一维统计特征只取决于均值与方差；二维统计特征主要取决于自协方差或自相关函数 高斯过程若广义平稳，则同时也等效于严平稳 高斯过程内部不同时刻的随机变量间若存在不相关，也同时等效于统计独立；或两个高斯过程间若不相关，也等效于统计独立 高斯过程通

14、过线性系统的响应或高斯过程的线性组合均仍为高斯随机过程。,57,对于高斯白噪声，除上述特征外，还有其他特征 高斯白噪声对通信信号的干扰为加性，较乘性干扰处理相对简便 高斯白噪声各时刻随机变量间不相关，且统计独立 窄带高斯噪声特点,高斯过程与高斯白噪声特征,58,2.6 窄带高斯过程,窄带是指频谱均被限制在载波或某中心频率附近一个窄的频带上,而这个中心频率离开零频率又相当远。 如果这时的信号或噪声是一个随机过程,则称它们为窄带随机过程。 在通信系统中,许多实际信号和噪声都满足窄带的假设。,59,大多噪声的频带是很宽的。例如： 热噪声：01013Hz 散弹噪声：0108Hz 然而，许多通信系统的传

15、输信道具有窄带特性，例如：无线电通信中的移动电话、语音广播、电视、数据传输系统中，信号频谱被限制在某一“载频”附近的一个窄带范围内。例如： 某FM语音广播信号：95.9MHz25kHz 某电视台综合频道信号：865MHz4MHz 由于通信接收机的输入端都有和接收信号相适应的选频电路（滤波器），用于去除带外杂波和干扰。原本宽带的噪声，只有落入信号频带的部分对通信系统的性能（失真或误码）产生影响。因此我们说通信信号和噪声都满足“窄带”假设。这种对通信性能形成影响的“窄带噪声”就被称为窄带随机过程。,2.6 窄带高斯过程,60,窄带信号可视为包络和相位不断变化的 “ 正弦波 ” ，变化的越缓慢，占用频带就越窄。,2.6 窄带高斯过程,61,2.6 窄带高斯过程,窄带波形的频谱及示意波形,62,窄带随机过程可表示： 是窄带随机过程(t)的包络函数、随机相位函数，其变化比载波缓慢的多。,2.6 窄带随机过程,63,窄带随机过程也可表示为同相分量与正交分量的形式 同相分量 正交分量,2.6 窄带随机过程,64,2.6 窄带随机过程 零均值平稳高斯窄带随机过程,设窄带随机过程(t)是平稳、零均值高斯分布，则： 我们将分析确定： 随机包络和随机相位 的统计特性； 同相分量和正交分量 的统计特性。,65,2.6