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1、空间向量的数量积运算,教学过程,一、几个概念,1） 两个向量的夹角的定义,2）两个向量的数量积,注意： 两个向量的数量积是数量，而不是向量. 零向量与任意向量的数量积等于零。,3）射影,注意： 是轴l上的正射影A1B1是一个可正可负的实数， 它的符号代表向量 与l的方向的相对关系，大小代表 在l上射影的长度。,4)空间向量的数量积性质,注意： 性质2）是证明两向量垂直的依据； 性质3）是求向量的长度（模）的依据；,对于非零向量 ，有：,5)空间向量的数量积满足的运算律,注意：,二、 课堂练习,三、典型例题 例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且 lm，ln，求证：l,分
2、析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线g垂直。,l,要证l与g垂直，只需证lg0,而m，n不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对(x,y)使得 g=xm+yn,要证lg0,只需l g= xlm+yln=0,而lm0 ，ln0,故 lg0,三、典型例题 例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且lm，ln，求证：l,证明：在内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向 量l、m、n、g，因m与n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理 可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使 g=xm+yn, lg=xlm+yln lm=0,ln=0 lg=0 lg
3、 lg 这就证明了直线l垂直于平面内的任一条直线，所以l,例2：已知：在空间四边形OABC中，OABC， OBAC，求证：OCAB,巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理,例3 如图，已知线段 在平面 内，线段 ，线段 ，线段 ， ，如 果 ，求 、 之间的距离。,解：由 ，可知 . 由 知 .,例4 已知在平行六面体 中， , , 求对角线 的长。,解：,1.已知线段 、 在平面 内， ，线段 ，如果 ，求 、 之间的距离.,解：,2.已知空间四边形 的每条边和对角线的长都等于 ，点 分别是边 的中点。 求证： 。,同理，,3.已知空间四边形 ，求证： 。,证明：,4.如图，已知正方体 ， 和 相交于 点 ，连结 ，求证： 。,已知空间四边形 的每条边和对角线的长都等于 , 点 分别是 的中点，求下列向量的 数量积：,作业讲评,1正确分清楚空间向量的夹角。,作业：P106 4，,2两个向量的数量积的概念、性质和计算方法。,再见！,再见！,再见！,
