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1、第二章 电磁场基本方程 Electromagnetic field equations,2.0 电磁场的源 2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量 2.2 法拉弟电磁感应定律和全电流定律 2.3 麦克斯韦方程组 2.4 电磁场的边界条件 2.5 坡印廷定理和坡印廷矢量 2.6 唯一性定理,一、电荷与电荷密度 Charge and charge density,1、体电荷密度,体电荷：电荷连续分布在一定体积内形成的电荷体。,体电荷密度 的定义：,在电荷空间V内，任取体积元 ，其中电荷量为,2.0 电磁场的源量 Source of Electromagnetic field,电荷和电流是产生电磁
2、场的源,2、面电荷密度,面电荷：当电荷只存在于一个薄层上时，称电荷为面电荷。,体电荷密度 的定义：,在面电荷上，任取面积元 ，其中电荷量为,3、线电荷密度,线电荷：当电荷只分布在一条细线上时，称电荷为线电荷。,线电荷密度 的定义：,在线电荷上，任取线元 ，其中电荷量为,4、点电荷,点电荷：当电荷体体积非常小，可忽略其体积时，称为点电荷。点电荷可看作是电量q无限集中于一个几何点上。,运动的电荷形成电流。电流大小用电流强度I描述。,电流强度I的定义：,设在 时间内通过某曲面S的电量为 ，则定义通过曲面S的电流为：,电流强度的物理意义：单位时间内流过曲面S的电荷量。,恒定电流：电流大小恒定不变。即：
3、,二、电流与电流密度 Electronic current(density),引入电流密度矢量 描述空间电流分布状态。,1、体电流密度 Volume Electronic current density,体电流：电荷在一定体积空间内流动所形成的电流,体电流密度 定义：,设正电荷沿 方向流动，则在垂直 方向上取一面元 ，若在 时 间内穿过面元的电荷量为 ，则：,为空间中电荷体密度， 为正电荷流动速度。,2),2、面电流密度 Surface Electronic current density,当电荷只在一个薄层内流动时，形成的电流为面电流。,面电流密度 定义：,电流在曲面S上流动，在垂直于电流方
4、向取一线元 ，若通过线元的电流为 ，则定义,1） 的方向为电流方向（即正电荷运动方向）,讨论：,2）若表面上电荷密度为 ，且电荷沿某方向以速度 运动，则可推得此时面电流密度为：,注意：体电流与面电流是两个独立概念，并非有体电流就有面电流。,3、线电流与电流元,电荷只在一条线上运动时，形成的电流即为线电流。,电流元 ：长度为无限小的线电流元。,3）穿过任意曲线的电流：,证明,2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量,基本场矢量： 电场强度E 电通量密度（电位移矢量）D 磁通量密度 (磁感应强度)B 磁场强度H,基本定律： 库仑定律 高斯定理 毕奥-萨伐定律 安培环路定律,静电场：恒定不变的电场，
5、由静止电荷产生。即：,恒定电磁、场：恒定电流所产生的电场和磁场。,静态电磁场：静电场、恒定电场、恒定磁场,图 2-1 两点电荷间的作用力,库仑定律描述了真空中两个点电荷间相互作用力的规律。,一、库仑定律 Coulombs Law,2 .1 .1 库仑定律和电场强度 Coulombs Law and Electronic field indensity,式中, K是比例常数, r是两点电荷间的距离, 是从q1指向q2的单位矢量。若q1和q2同号, 该力是斥力, 异号时为吸力。 在国际单位制中, 库仑定律表达为,式中, q1和q2的单位是库仑(C), r的单位是米(m), 0是真空的介电常数:,说
6、明：,2、库仑定律是在无限大的均匀、线性、各向同性介质中总结出的实验定律。,1、静止点电荷之间的相互作用力称为静电力。两个点电荷之间静电力的大小与两个电荷的电量成正比、与电荷之间距离的平方成反比，方向在两个电荷的连线上。,3、静电力遵从叠加原理，当有多个点电荷存在时，其中任一个点电荷受到的静电力是其他各点电荷对其作用力的矢量叠加,4、对于连续分布的电荷系统（如体电荷、面电荷和线电荷），静电力的求解不能简单地使用库仑定律，必须进行矢量积分,5)由库仑定律知, 在离点电荷q距离为r处的电场强度为,二、电场强度,单位正电荷在电场中所受的作用力称为该点的电场强度，以E 表示。,式中q 为试验电荷的电量
7、，F 为电荷q 受到的作用力。,说明：,1）对q取极限是避免引入试验电荷影响原电场；,2）电场强度的方向与电场力的方向一致；,3）电场强度的大小与试验电荷q的电量无关。,4) 电场的单位：牛顿/库仑(N/C),定义：,是媒质的介电常数, 在真空中=0。 这样, 对真空中的点电荷q,除电场强度E外, 描述电场的另一个基本量是电通量密度D, 又称为电位移矢量。 在简单媒质中, 电通量密度由下式定义:,一、电通量密度： Electronic flux,电通量:,电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量,二、高斯定理,2 .1 .2 高斯定理, 电通量密度 Gausss Law, El
8、ectronic flux,Gausss Law,此通量仅取决于点电荷量q, 而与所取球面的半径无关。 如果在封闭面内的电荷不止一个, 则利用叠加原理知, 穿出封闭面的电通量总和等于此面所包围的总电量,即穿过任一封闭面的电通量, 等于此面所包围的自由电荷总电量,取积分曲面为半径为r的球面，电通量为 ：,高斯定理：,说明：,若封闭面所包围的体积内的电荷是以体密度v分布的, 则所包围的总电量为,上式对不同的V都应成立, 因此两边被积函数必定相等, 于是有,高斯定理的微分形式,三、利用高斯定理求解静电场,关键：高斯面的选择。,高斯面的选择原则：,用高斯定理求解电场的方法只能适用于一些呈对称分布的电荷
9、系统。,1）场点位于高斯面上； 2）高斯面为闭合面； 3）在整个或分段高斯面上， 或 为恒定值。,求真空中半径为a，带电量为Q的导体球在球外空间中产生E。,分析： 电场方向沿半径方向： 电场大小只与场点距离球心的距离相关。,解：在球面上取面元ds，该面元在P点处产生的电场径向分量为：,式中：,例题一,说明：与位于球心的点电荷Q在空间中产生的电场等效。,已知真空中电荷分布函数为：,式中r为球坐标系中的半径求空间各点的电场强度。,解：,由高斯定理,ra,例,2 .1 .3 毕奥-萨伐定律, 磁通量密度 The Biot-Savart Law, Magnetic flux density,运动电荷在
10、磁场中受到的作用力的特点： 与电荷量及运动速度的大小成正比，而且还与电荷的运动方向有关。 电荷沿某一方向运动时受力最大，而垂直此方向运动时受力为零。受力为零的方向为零线方向 如果最大作用力为 Fm ，则实验发现沿偏离零线方向 角度运动时，受力为Fmsin,磁场的重要特性：会对处于其中的运动电荷（电流）产生力的作用，称为磁场力。,磁感应强度矢量 :描述空间磁场分布。,一、磁感应强度 Magnetic flux density,在磁场 空间中，以速度 运动的电荷q0所受的作用力为,说明： 称为磁感应强度或磁通密度，单位为T（特斯拉）。,其方向与电荷受磁场力为零时的运动方向相同。,两个载流回路间的作
11、用力,真空中，两电流回路C1,C2，载流分别为I1,I2，则： r是电流元Idl至Idl的距离, 是由dl指向dl的单位矢量, 0是真空的磁导率:,二、毕奥-萨伐定律The Biot-Savart Law,两个电流回路之间的作用力为：,安培力定律: Amperes force law,电流元 在磁场 中受到的磁场力为：,若 由电流元 产生，则由安培力定律,可知，电流元 产生的磁感应强度为：,毕奥萨伐尔定律,说明： 、 、 三者满足右手螺旋关系。,二、电流元产生的磁场的磁场强度,1、体电流,三、体电流与面电流产生的磁感应强度,2、面电流,3、载流为I的无限长线电流在空间中产生磁场,例题一,求半径
12、为a的电流环在其轴线上产生的磁场。,解：建立如图柱面坐标系。,在电流环上任取电流元 ，令其坐标位置矢量为 。,易知：,例 2 .1 参看图2-3, 长2l的直导线上流过电流I。 求真空中P点的磁通量密度。,图 2-3 载流直导线,解 采用柱坐标, 电流Idz到P点的距离矢量是,解 采用柱坐标, 电流Idz到P点的距离矢量是,对无限长直导线, l, 有,在简单媒质中, 磁场强度H由下式定义:,在恒定磁场中，磁场强度矢量沿任意闭合路径的环量等于其与回路交链的电流之和，即：,称为媒质磁导率。,为真空中的,磁场强度 Magnetic field intensity,安培环路定律 Amperes cir
13、cuital law,安培环路定律(积分形式),2 .1 .4 安培环路定律、磁场强度,因为S面是任意取的, 所以必有,由斯托克斯定理，,J为电流密度，是一个矢量，电流密度的方向为正电荷的运动方向，其大小为单位时间内垂直穿过单位面积的电荷量。,安培环路定律(微分形式),在静电场中E沿任何闭合路径的线积分恒为零:,利用斯托克斯定理得,由于电场强度的旋度为0，可引入电位函数，使,物理意义： 静态电场是无旋场即保守场 在静态电场中将单位电荷沿任一闭合路径移动一周，静电力做功为零静电场为保守场。（电力线不构成闭合回路）,一、电场强度的旋度,2 .1 .5 两个补充的基本方程,二、磁场强度的散度：,在恒
14、定磁场中，磁感应强度矢量穿过任意闭合面的磁通量为0，即：,散度定理,磁通连续性定律（积分形式）,孤立磁荷不存在,磁力线在空间任意位置是连续的。 孤立磁荷不存在,(A)0，故B可用一矢量函数的旋度来表示。,结论：,2 .2 .1 法拉第电磁感应定律 (Faradays Law of Induction),静态场:场大小不随时间发生改变(静电场,恒定电、磁场),时变场:场的大小随时间发生改变。,特性：电场和磁场相互激励，从而形成不可分隔的统一的整体，称为电磁场。,特性：电场和磁场相互独立，互不影响。,一、电磁感应现象与楞次定律,电磁感应现象实验表明：当穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中会出现感
15、应电流。,楞次定律：回路总是企图以感应电流产生的穿过回路自身的磁通，去反抗引起感应电流的磁通量的改变。,2 .2 Time-varying Electromagnetic Fields,法拉第电磁感应定律和全电流定律,法拉第电磁感应定律：当穿过导体回路的磁通量发生改变时，回路中产生的感应电动势与回路磁通量的时间变化率成正比关系。数学表示：,说明：“-”号表示回路中产生的感应电动势的作用总是要阻止回路磁通量的改变。,二、法拉第电磁感应定律,当回路以速度v运动时，,斯托克斯定理,法拉第电磁感应定律微分形式,物理意义：1、某点磁感应强度的时间变化率的负值等于该点时变电场强度的旋度。 2、感应电场是有
16、旋场，其旋涡源为 ，即磁场随时间变化的地方一定会激发起电场，并形成旋涡状的电场分布。,说明：感应电动势由两部分组成，第一部分是磁场随时间变化在回路中“感生”的电动势; 第二部分是导体回路以速度v对磁场作相对运动所引起的“动生”电动势,当回路静止时，,变化的电场能产生磁场,电流连续性方程,时间内，V内流出S的电荷量为,电荷守恒定律： 时间内，V内电荷改变量为,由电流强度定义：,电流连续性方程的微分形式,电流连续性方程积分形式,2 .2 .2 位移电流和全电流定律,在时变情况下,另一方面，由,得到了两个相互矛盾的结果。,位移电流,是电位移矢量对时间的变化率，具有电流密度的量纲，称为位移电流密度,:,全电流定律,由,积分形式：,物理意义：该定律包含了随时间变化的电场能够产生磁场这样一个重要概念，也是电磁场的基本方程之一。 磁场强度沿任意闭合路径的线积分等于该路径所包曲面上的
