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1、3.4 非周期信号的频谱,前面讨论了周期信号的分析，在实际工作中将会遇到很多非周期信号。(而周期信号本身也可以看成是一般信号的特例),首先，从周期信号取极限来看待非周期信号。（然后，将用非周期信号的方法来讨论周期信号。从而统一之）,3.4.1 从傅里叶级数到傅里叶变换,的傅氏级数的形式:,(n为整数),上节已知，当 时， （谱线 非常密），主峰高度 ，即 。,当周期矩形信号时,显然，用傅氏级数的方法，再用频谱,已经是不可能的了。但上节谈到的 形状没有改变。下面讨论这些无穷小量应如何表示。,如果改变正变换式为,上式的积分有可能为有限值。,由于T很大，故T可表示为,其中， 表示频谱间隔。得,*,表
2、示上式是 的函数。相应的 表示为,*,由 * 取极限， , 得,由 * 可得,形象地说，周期信号 与频谱 之间存在着一一对应的关系，即,例如,时域：连续、周期,频域：离散、非周期,而 非周期信号 与频谱 之间已经不存在这种一一对应的关系了，但存在如下另一种一一对应的关系：,0,时域：连续、非周期,频域：连续、非周期,与周期信号分解为傅里叶级数类似，非周期信号进行傅里叶变换同样要满足一定的条件，其中，把原来的,3.4.2 傅里叶变换存在条件,改为,说明：如满足上述条件，则傅氏变换一定存在（即一定是普通函数）。,反之，如果引入广义函数后，信号不满足此条件，也有可能傅氏变换存在。,(如阶跃信号等),
3、例：求如图所示单个矩形脉冲的频谱。,解：据傅里叶变换的定义有,可见， 曲线和 的包络线形状是相同的。,奇偶函数的傅里叶变换有它们的特点，如：,3.4.3 傅里叶变换的物理意义,1.傅里叶级数的物理意义：,周期信号表述为 无限多频率分量的离散和,2.傅里叶变换的物理意义：,非周期信号表述为 无限多频率分量的连续和,分解为无限多个频率为 复振幅为,或,的指数分量,的连续和。（积分）,注意：,或,为无穷小量。,而周期信号来说,为有限量。,对于任意非周期信号来说,即非周期信号在所有频率上都具有分量。,周期、非周期信号两者所不同的是,周期信号 频谱是离散的，且各频率分量的复振幅 为有限值；而,非周期信号
4、 频谱是连续的，且各频率分量 的复振幅 为无限小量。,所以，对非周期信号来说，仅仅去研究那无限小量是没有意义的，其频谱不能直接引用复振幅的概念。由,即把 理解成各频率分量沿频率轴的分布，具有密度的量纲和概念，故称 为频率密度函数。简称频谱密度，或在不发生混淆时简称频谱。（注意与周期信号的频谱概念上的不一样）,当然，在数学上也可以直接来定义傅里叶变换：,可以认为两个不同的空格函数之间存在上述一一对应的关系。记为,与周期信号的傅里叶级数类似， 一般为复函数。为,称为幅频特性；,称为相频特性。,总称频率特性,当信号为实函数时，幅频特性为频率的偶函数；相频特性为频率的奇函数。且均为频率的连续函数。,考
5、察,的频谱,有,3.5 一些常见信号的频域分析,矩形脉冲的有效带宽:,0 -,2.单边指数脉冲,相位频谱,3. 双边指数脉冲,4. 三角形脉冲,频谱,若将上式写成傅里叶反变换的形式，有,考虑到冲激函数是偶函数，可得如下重要公式,7. 正负号信号,6. 直流信号,由傅里叶变换定义,此方法所得到的结论是正确的，但方法是不好的，不能推广。,可见，高斯脉冲信号的频谱仍为高斯脉冲， 特别地，若 ,有,8.高斯脉冲(钟形脉冲)信号,，,1. 线性,=,例,2. 对称性,所以有：若 ，则 。,例：求常数A的傅里叶变换。,下面，再与周期矩形脉冲的傅氏级数联系起来。若 ，则由傅氏级数的复系数,得,由,故有,也就
6、是说，只有零处才有一条谱线，其余应该有谱线的地方又恰好是抽样函数的零交点。,此例说明了傅氏变换将周期、非周期信号统一在一起了。,由傅氏变换的物理意义，得到的公式,此时 不为无限小量而为有限量，故有,一般地， 能量信号的傅氏变换一定没有冲激函数；而 功率信号的傅氏变换往往有冲激函数。,（注意：它不能用指数衰减函数取极限的方法）,或：,3. 比例性（尺度变换）,特别地，当 时，有,这时，对称性又可表示为,此性质说明： 表示时间信号 在时间域里压缩了 倍， 则其频谱 表示 在频率域里扩展了 倍；反之亦然。,4. 时移性,（附加相移）,(时移因子）,既标度又时移：,证明：由定义,注意下面的推理是错误的
7、：,1.,2.,5. 频移性（调制定理）,例：若,则,(频移因子) 注意：不是乘以,振幅调制一般用乘法器来实现：,振幅调制又称幅度调制，除此之外，还有频率调制，相位调制等。,通信技术中，未经调制的信号（基带信号）经电缆传输后，可能因衰减太大，在接收端得到的接收信号很难分清究竟是信号还是噪声。距离较远时必须先进行调制，即把频谱搬移，然后传输，到达目的地后再解调（反调制）。,此外，幅度调制还是频分多路复用的基础。,如果 f(t)=1，可得虚指数信号的频谱。 由,得,和,(频移因子),一般周期信号的频谱,两边取傅里叶变换,周期信号的傅氏变换或频谱密度，是由无穷多个冲激所组成，这些冲激位于谐频 处，,对于周期信号一般不要用下面的方法：,两边取傅里叶变换，用时移性：,这样，周期信号的傅氏变换或频谱密度，无法用无穷多个位于 的冲激函数来表示。如将来做P.173的3-58(2)，无法得到闭式解。,本次课程讲授的主要内容：,1 非周期信号的傅里叶积分定义,2 傅里叶变换的性质,线性、对称性、尺度变换、时移性、频移性,作业： 3-17(7) 3-21(b) 3-27(2)(3) 3-33(a) 3-38(c)(f),下次课继续讲性质，利用性质求变换,
