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1、13.2多元函数的极限和连续性,一、多元函数的概念 不论在数学的理论还是实际问题中，许多量的变化，不只由一个因素决定，而是由多个因素决定。例如平行四边形的面积 由它的相邻两边的长 和 以及夹角 所决定。即 ， 是由三个自变量（三个变元） 和 所确定的。圆柱体体积 由底半径 和高 所决定，即 ， 是由两个自变量所确定的。这些都是多元函数的例子。,二元函数的定义 设 是平面点集， 是实数集， 是一个规律，如果对 中的每一点 ，通过规律 ，在 中存在唯一一个实数 和此 相对应，我们就称 是定义在 上的一个二元函数， 和 是函数 的两个相互独立的自变量， 在 的函数值是 ，并记此值为 ，即 。与一元函
2、数相仿的，我们常常采用下面的记号来记这个函数： 并称 是 的定义域。在通常数学分析中为了省略，我们也称 是一个二元函数。,例1 自傲直流电路中，电流 ，电压 与电阻 满足关系 例2 理想气体的状态方程,二、二元函数的极限 二元函数极限的定义 设二元函数 在点 附近有定义。如果对人以给定的 ，总存在 ，当 时恒有 我们就称 是二元函数 在 点的极限，记为 这一定义也可以用点的坐标表述，即：如果对任意给定的 ，总存在 ，当 时，恒有 ，就称 在 点的极限，记为,定义 若对 ，存在 ，使当 且 不与 重合，亦即 时，恒有 那么称 为 在点 的极限。,例3 例4,三、二元函数的连续性 二元函数连续性的
3、定义 若 在 有定义， 存在，且二者相等，即 时，则称 在点 连续。 例5 求函数 的不连续点。,四、有界闭区域上连续函数的性质 定义 设多元函数 在某个开区域 内有定义，并且对 内任何一点 ， 在 连续，则称 在 内连续。 有界性定理 若 在有界闭区域 上连续，则它在 上有界，亦即存在正数 ，使在 上恒有 一致连续性定理 若 在有界闭区域 上连续，则它在 上也一致连续，即对任给的 ，存在 ，使 上任意两点 ，当 时,恒有 这里的 仅与 有关，而与 上的点 无关。 最大值最小值定理 若 在有界闭区域 上连续，则它在 上必有最大值和最小值，亦即在 上存在点 和 ，使对 上任意的点 ，恒有 也就是说， 分别是 在 上的最小值和最大值,零点存在定理 设 在区域 （不一定是有界闭区域）内连续，并且在 内两点 异号，也就是 ，那么用完全位于 内的任意的折线 联结 和 时，在 上必有一点 满足,五、二重极限和二次极限 前面所考虑的 的极限也称为二重极限。此外，我们还要讨论 先后相继地趋于各自的极限时 的极限，称为二次极限。 定理 若 在点 的二重极限为 且对任一靠近 的 ，当 时 ， 存在有限极限 则二次极限 存在且等于二重极限 .,
