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1、定理3,设,在点,的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且,的函数行列式,（或称雅可比行列式）,在点,不等于零，则方程组,的单值连续函数,且有偏导数公式 :,的某一邻域内可唯一确定一组满足条件,偏导数所组成的,例5.,满足定理3的条件,在 x=1的邻域内存在唯一的有连续,设,则,解:,导数的函数组,由定理3知在 x=1的邻域内存在唯一的有连续导数的函数组,则,练习. 验证下列方程组在指定点邻域存在隐函数组,并求指定偏导数或全微分,例6. 设,是由方程,和,所确定的函数 , 求,解 分别在各方程两端对 x 求导, 得,5 多元函数的泰勒公式,6 方向导数和梯度,一、二元函数的泰勒公式,复习:一元
2、函数,的泰勒公式:,推广,多元函数泰勒公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,记号,(设下面涉及的偏导数连续):,一般地,机动 目录 上页 下页 返回 结束,表示,表示,定理1.,的某一邻域内有直,到 n + 1 阶连续偏导数 ,为此邻域内任,一点,则有,其中, 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式,称为其拉格,朗日型余项 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证: 令,则,利用多元复合函数求导法则可得:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一般地,由,的麦克劳林公式, 得,将上述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.,说明:,(1) 余项估计式.,因 f 的各 n+1 阶偏导数
3、连续,在某闭,邻域其绝对值必有上界 M ,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式:,(3) 若函数,在区域D 上的两个一阶偏导数,恒为零,由中值公式可知在该区域上,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求函数,解:,的三阶泰,勒公式.,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习.,解:,表示为x, y, z的多项式.,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、方向导数,讨论函数z=f(x,y) 在一点P沿某一方向的变化率 问题,设函数zf(x, y)在点P0(x0 y0)的某一
4、邻域U(P0)内有定 义 l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线 与l同方 向的单位向量为el(cos cos),取P(x0tcos y0tcos)U(P0) 如果极限,存在, 则称此极限为函数f(x, y)在点P0 沿方向l的方向导数, 记为,方向导数,方向导数就是函数f(x y)在点P0(x0 y0)处沿方向l的变化率,思考: 函数f(x, y)在点P沿x轴正向和负向, 沿y轴正向和负 向的方向导数如何?,沿x轴正向时,cosa=1, cosb=0,沿x轴负向时,cosa=-1, cosb=0,定理 如果函数zf(x, y)在点P0(x0 y0)可微分, 那么函数 在该点沿任
5、一方向l (el(cos cos)的方向导数都存在, 且有,证明:由于函数可微，则增量可表示为,但点,在以(x0 y0)为始点的射线l上,故有,所以,例2 求函数zxe2y在点P(1, 0)处沿从点P到点Q(2, 1)的方向的方向导数.,解,所以所求方向导数为,函数f(x, y)在点P0沿方向l (el(cos cos)的方向导数,因为函数可微分 且,定义: 若函数,对于n元函数f(X), 类似的有,记作,注: 若函数,显然,例3:,沿任意方向 l,例4:,定理:,则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有,例5:,解:,注: 本题沿不同方向,方向导数不同,三、梯度,设函数zf(x,
6、 y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数, 则对于每一点P0(x0 y0)D, 都可确定一个向量 fx(x0 y0)ify(x0 y0)j 这向量称为函数f(x, y)在点P0(x0 y0)的梯度, 记作 gradf(x0 y0),即 gradf(x0 y0)fx(x0 y0)ify(x0 y0)j,如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)可微分 el(cos cos) 是与方向l同方向的单位向量, 则,gradf(x0 y0)el|gradf(x0 y0)|cos(gradf(x0 y0),el),|gradf(x0 y0)|cos(gradf(x0 y0),el),可以看出方向导数就是梯度
7、在射线l上的投影, 当 方向l与梯度的方向一致时, 方向导数取得最大值. 所以 沿梯度方向是函数f(x, y)在这点增长最快的方向.,如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)可微分 el(cos cos)是与方向l同方向的单位向量, 则,函数在一点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取 得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值.,于是 grad f(1, 1, 2),例7 设f(x, y, z)x2y2z2, 求grad f(1, 1, 2),解,grad f(fx, fy, fz),(2x, 2y, 2z),(2, 2, 4),备用题 1.,函数,在点,处的梯度,解:,则,注意 x , y , z 具有轮换对称性,指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .,在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A,2. 函数,提示:,则,作业：p-96 习题8-5 1 (1), 2,p-101 习题8-6 1 , 4, 12(1,3),
