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1、第 3 章 静电场分析, 以矢量分析和亥姆霍兹定理为基础，讨论静电场、恒定电场的特性和求解方法。, 首先建立真空、电介质和导电媒质中电场的基本方程；引入电位函数; 导出电位满足的泊松方程和拉普拉斯方程；确立电场的边界条件 。, 最后讨论电容的计算，电场能量的计算。,3.1 静电场分析的基本变量 3.2 真空中静电场的基本方程 3.3 电位函数 3.4 泊松方程 拉普拉斯方程 3.5 点电荷的 函数表示 格林函数 3.6 格林定理 泊松方程的积分公式 3.7 惟一性定理 3.8 电介质的极化 极化强度 3.9 介质中的高斯定律 边界条件 3.10 恒定电场的基本方程 边界条件 3.11 导体系统
2、的电容 3.12 电场能量 静电力,3.1 静电场分析的基本变量, 关系式 称为真空的电特性方程或本构关系, 静电场的源变量是电荷, 第2章中已由库仑定律引入了电荷 产生的电场强度, 任意电荷分布产生的电场强度, 定义任意电荷分布产生的电位移矢量,3.2 真空中静电场的基本方程,对任意闭合曲面S 积分,一、电场的散度,设空间存在一点电荷 ，则 点的电位移,若闭合面内有N 个点电荷,若闭合面内的电荷分布为,真空中的高斯定律,于是电场的散度方程,（高斯定理的微分形式）,二、电场的旋度,真空中电场的基本方程,在点电荷 的电场中，任取一条曲线 ，积分,当积分路径是闭合曲线，A、B 两点重合，得,当,当
3、,例 3.2.1 电荷按体密度 分布于半径为a 的球形区域内， 其中 为常数。试计算球内外的电通密度（电位移矢量）。（教材例3.2.1),解: 电场具有球对称性，,于是,于是,3.3 电位函数,由,， 称为静电场的标量位函数，又称电位函数, 由此可求得电位的微分, 空间A、B 两点的电位差, 若选取 为电位参（即 ）， 则任意点 的电位为, 对于点电荷的电场，其电位为,若取 处的电位为零，则,解：取如图所示坐标系，场点 的电位等于两个点电荷电位的叠加,而,当,因此,由于,得电偶极子的电位,电偶极子的电场强度,3.4 泊松方程 拉普拉斯方程,由,在直角坐标系中,若空间电荷分布为零，则有,例3.4
4、.1 半径为a 的带电导体球，其电位为U（无穷远处电位为零），试计算球外空间的电位。,解： 球外空间的电位满足拉氏方程, 电位满足的边界条件,由题意可知电位及电场具有球对称性,在球坐标系下,因此,3.5 点电荷的 函数表示 格林函数, 为表示点电荷的体密度，引入 函数, 于是位于 处的点电荷q 的体密度为, 单位点电荷产生的电位满足的泊松方程, 定义格林函数,3.6 格林定理 泊松方程的积分公式,格林恒等式是矢量分析中的重要恒等式。,由散度定理,设,而,得格林第一恒等式,格林第二恒等式,利用格林函数的性质和格林第二恒等式可得到有界空间中的泊松方程的积分解,以上公式说明，只要知道区域 内的电荷分
5、布 以及区域边界面 上的电 位 和电位梯度 值，就可求出区域内的电位分布。,3.7 惟一性定理, 静电场的边值问题是在给定边界条件下求泊松方程或拉普拉斯方程的解。, 可以证明在每一类边界条件下泊松方程或拉普拉斯方程的解都是惟一的。这就 是边值问题的惟一性定理, 惟一性定理的意义：是间接求解边值问题的理论依据。,3.8 电介质的极化 极化强度,当电场中放入电介质时，电介质在电场的作用下发生极化现象，介质中因极化出现许多电偶极矩，电偶极矩又要产生电场，叠加于原来电场之上，使电场发生变化。, 极化强度：用p 表示极化的程度，即,式中：N 为单位体积内被极化的分子数, 极化体电荷, 由于电场的作用使电
6、偶极子的定向排列，介质内部出现极化体电荷，介质表面出现极化面电荷。,3.9 介质中高斯定理 边界条件,引入极化电荷后，介质的极化效应由极化电荷表征，即空间的电场由自由电荷和极化电荷产生。而极化电荷和自由电荷的实质相同，则,由实验证明，P 和 E 之间有一定的线性关系，即,得,（为电介质中的本构关系）,而,得,于是介质中的高斯定理,微分形式,式中 均为自由电荷,一、电位移矢量D 的边界条件,将电场基本方程 用于所作的圆柱形表面。,设两种不同的电介质 ，其分界面的法线方向为n，在分界面上作一小圆柱形表面，两底面分别位于介质两侧，底面积为 ，h 为无穷小量。,方程左边,电位移矢量D 的边界条件,用矢
7、量表示,方程右边,为分界面上的自由电荷面密度,二、电场强度E 的边界条件,（其中 为回路所围面积的法线方向）,因为回路是任意的，其所围面的法向也是任意的，因而有,电场强度E的边界条件：,或表示为,在分界面上作一小的矩形回路，其两边 分居于分界面两侧，而高 。将方程 用于此回路,介质分界面两侧电场强度的切向分量连续,对于电位 由,由,例 3.9.1 半径分别为a和b 的同轴线，外加电压U。圆柱电极间在图示 角部分填充介电常数为 的介质，其余部分为空气，求内外导体间的电场。（教材例3.9.2),解：问题具有轴对称性，选用柱坐标系， 待求函数 ，,在圆柱坐标系下,于是电位 满足的拉普拉斯方程,其通解
8、为,同理,其中系数A、B、C、D可由边界条件确定,边界条件,于是,由此可知,内导体表面单位长度的电荷,由内导体和区域1的边界条件,由内导体和区域2的边界条件,得,同轴线单位长度上的电容,3.10 恒定电场的基本方程 边界条件, 恒定电流空间存在的电场，称为恒定电场。, 恒定电场中的二个基本变量为电流密度 和电场强度 。, 描述恒定电场基本特性的第一个方程是电流连续性方程，即,或, 电流恒定时，电荷分布不随时间变化，恒定电场同静电场具有相同的性质。因此描述恒定电场基本特性的第二个方程为,或, 实验证明，导电媒质中电流密度与电场强度成正比，即, 称为导电媒质的电导率。,要想在导电媒质中维持恒定电流
9、，必须依靠非静电力将B极板的正电荷q抵抗电场力搬到A极板。这种提供非静电力将其它形式的能量转为电能装置称为电源。,因此,Ee 是非保守场。,设局外场强为,设局外场强为 ，则电源电动势为,电源电动势与有无外电路无关，它是表示电源本身的特征量。,则,与静电场的讨论类似，由 可引入恒定电场的电位函数,一、恒定电场的电位,由,二、恒定电场的边界条件,若用电位表示,将恒定电场的基本方程 、 分别用于二种不同导电媒 质的分界面上，与推导静电场边界条件方法类似，可导出恒定电场的边界条件。,解：设同轴线内外导体是理想导体，则导体内 ，导体表面是等位面，于是漏电介质中的电位只是径向r 的函数，柱坐标系下拉普拉斯
10、方程为,其通解,边界条件为,得,导电媒质中的电场强度,电流密度,单位长度上的漏电流,单位长度上的漏电导,例 3.10.1 同轴线内外导体半径分别为a和b，填充的介质 ，具有漏电现象。同轴线外加电源电压为U，求漏电介质内的 和单位长度的漏电电导。（教材例3.10.1),例 3.10.2 一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为 和 外加电压U，介质分界面上的自由电荷密度。(教材例3.10.2),解：设电容器极板为理想导体，故极板是等位面，电流沿z方向。,由边界条件,得,相应的电场,外加电压U 等于,得,于是,由边界条件,上极板 的自由电荷面密度,下极板 的自由电荷面密度,介质分界面 上的自由电
11、荷,3.11 导体系统的电容, N 个导体组成的导体系统，其中第i个导体的电位与自身的电荷和其他导体的电荷关系为, 其中 为常数，称为电位系数，与系统中所有导体的形状、位置及周围介质有关。,（共有 N 个方程）, 由以上N 个方程可解出,（共有 N 个方程）, 当 时 称为电容系数， 时 称为感应系数，且,其比值,3.12 电场能量 静电力,电场能量来源于建立电荷系统过程中外界提供的能量。,设系统完全建立时，最终的电荷分布为 ，电位为 。, 设充电过程中，各点的电荷密度按其终值的同一比例因子 增加，则各点的电位也将按同一因子增加。即在某一时刻电荷分布为 时，其电位分布为 。 的变化为 。, 整
12、个充电过程外界对整个系统提供的总能量, 用场变量表示该能量为, 单位体积的能量，称为能量密度, 对某一体积元 ， 变为 时（此时电位为 电荷增加 ）外界提供的能量,例 3.12.1 如例 3.9.2 中部分填充介质的同轴线，求介质与空气中单位长度内的电场能量。（教材例3.12.1),解：设同轴线内导体电位 外导体电位 ，则同轴线内外导体间单位长度的能量,由例 3.9.2 可知，内导体表面单位长度的电荷,所以,由例 3.9.2 可知，介质和空气中的电场强度相等,于是介质中的能量密度、能量,2、静电力,已知带电体的电荷分布，原则上，根据库仑定律可以计算带电体电荷之间的电场力。但对于电荷分布复杂的带
13、电系统，根据库仑定律计算电场力往往是非常困难的，因此通常采用虚位移法来计算静电力。 虚位移法：假设第i个带电导体在电场力Fi的作用下发生位移dgi，则电场力做功dAFidgi，系统的静电能量改变为dWe。根据能量守恒定律，该系统的功能关系为 其中dWS是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。 具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带电导体的电荷不变。,1.） 各带电导体的电位不变 此时，各带电导体应分别与外电压源连接，外电压源向系统提供的能量 系统所改变的静电能量 即 2）各带电导体的电荷不变 此时，所有带电体都不和外电源相连接，则 dWS0，因此 式中的“”号表示电场力做功是靠减少系统的静能量来实现的。,
