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1、（一） 周期函数的傅里叶展开,这种分解不仅具有严格的数学基础，而且还具有真实的物理背景,三角函数族：,周期2l,第五章 傅里叶变换,5.1 傅里叶级数,正交性：如,2,其中,三角函数族：完备性，傅里叶级数平均收敛于f(x)。,狄里希利定理： 若函数 f(z) 满足条件 (1) 处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；(2) 在每个周期内只有有限个极值点，则三角级数收敛，且,级数和,3,三角函数族：完备性的证明（狄里希利定理）,帕塞瓦尔等式（能量守恒）,4,频谱,频率,幅度,各个频率分量的幅度,通常，函数 f(t) 表示某系统按时间变化的性质，是时域中的表示。而在频域中，可用频谱表示。,
2、因此，傅里叶级数也是一种从时域到频域的变换。,频谱分析在现代技术中广泛使用,例:交流电压 经过全波整流后的傅立叶级数,5,（二）奇函数和偶函数的傅里叶展开,是奇函数,是偶函数,奇函数 f(z) 有,偶函数 f(z) 有,6,（三） 有限区间中的函数的傅里叶展开,f(x) 定义于 (0, l),可以认为它是某个周期为 2l 的函数在半个周期中的部分。即令此周期函数为 g(x), 在半周期 (0, l) 中 g(x)=f(x) 这种做法叫延拓。,例,偶延拓,奇延拓,7,（四） 复数形式的傅里叶展开,其中,8,例：,作业：,证明帕塞瓦尔等式 P72,1,3,4(2),5(2)(3),利用帕塞瓦尔等式
3、,例：,9,傅里叶展开与洛朗展开的关系,若f(z)在环域,内解析，其洛朗展开,若()在区间0,2连续，且为2的周期函数，其傅里叶级数为,10,令：,则,若 有限，则,5.2 傅里叶积分与傅里叶变换,（一） 实数形式的傅里叶变换,11,余弦部分的极限,正弦部分的极限,故,其中,12,傅里叶积分定理：若函数 f(x) 在区间(-，+)上满足条件(1) 在任意有限区间满足狄里希利条件；(2) 在区间 (-，+ )上绝对可积（即 收敛），则f(x) 可表为 傅里叶积分，且傅里叶积分值=,13,振幅谱和相位谱,为振幅谱 为相位谱,奇、偶函数,偶函数,奇函数,14,例,定义矩形函数为,将矩形脉冲 展开作傅
4、里叶积分。,偶函数,(1),15,（二） 复数形式的傅里叶积分,16,像函数,原函数,例,同前例,（三） 傅里叶变换的基本性质,17,(1) 导数定理,证明,(2) 积分定理,(3) 相似性定理,(4) 延迟定理,(5) 位移定理,(6) 卷积定理,若,和,则,卷积,傅里叶变换性质物理应用,（1）帕塞瓦尔等式能量守恒,或,对于实函数f(x),定义自相关,可证其为偶函数,（2）高斯函数傅里叶变换,令,则,问题来源？,问,解析延拓，取,作业：,P82,5 及 的傅里叶变换,20,-R,R,直接计算,21,数学上可以将无限小的范围看作有限大小范围的极限,一维,考虑线质量密度l,总质量,的极限下总质量
5、不变,密度,作为广义函数引入函数：,5.3 函数,22,性质,(1) 偶函数,从图形可以看出,(2) 阶跃函数或亥维赛单位函数,(3) 挑选性,对连续函数 ：,(4) 表示连续量,(5) 复合函数,若 的实根 全部是单根，则,23,证明：按定义,在第n个根附近积分,例,24,函数是一种广义函数,25,作业：证明狄里希利定理,参考P6习题,26,函数傅里叶变换,阶跃函数的傅里叶变换,不满足傅立叶积分定理，不能直接给出其傅立叶变换，必须采用极限处理,27,从极限过程理解：,练习：将函数,表示成傅里叶积分，并证明,多维函数,多重傅里叶积分：,函数的物理应用：格林公式（点电荷的场分布）,证明,函数应从积分意义理解,29,作业：证明 的三重傅里叶变换,30,先计算 的三重傅里叶变换，c为正实数,
