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1、第8章 重积分,主要内容 本章介绍重积分（包括二重积分和三重积分）的概念、计算法以及应用. 关键词 重积分（ double integral ） 计算法(calculative method) 应用(application),8.1.1 二重积分的概念,1.曲顶柱体的体积,设有一立体，它的底是,面上的闭区域D，,它的侧面是以,D 的边界曲线为准线而母线平行于,z 轴的柱面，它的顶是曲面,且在D上连续.此立体称作曲顶柱体.,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法.其步骤为,用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积，,先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，,曲顶柱体的体积,
2、平面薄片的质量,将薄片分割成若干小块，,取典型小块，将其近似 看作均匀薄片，,所有小块质量之和 近似等于薄片总质量,定义8.1,设,是有界闭区域,D,上的有界,函数，,D,任意分成,n,个小闭区域,，,，,，其中,表示第,i,个小闭区域，,也表示它的面积，在每个,上任取一点,，,作乘积,，,，,并作和,将闭区域,如果当各小闭区域的直径中的最大值,l,趋近于零,时，这和式的极限存在，则称此极限为函数,在闭区域,D,上的,二重积分,记为,即,二重积分定义的几点说明：,(2)用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，则 面积元素为,故二重积分可写为,二重积分的几何意义,如果被积函数是大于零的，二重积分是柱
3、体的体积.,如果被积函数是小于零的，二重积分是柱体的体积的负值,如果被积函数是时正时负的,二重积分是所有柱体体积的代数和.,曲顶柱体的体积,平面薄片的质量,性质,性质,（二重积分与定积分有类似的性质）,当 为常数时，,对积分区域具有可加性,8.1.2 二重积分的基本性质,性质,性质,若 为D的面积，,若在D上,特殊地，因为,则有,于是,性质,设M 、m,分别是,在闭区域,D,上的,最大值和最小值，,A,D,的面积，则,为,证明,由性质4及性质1和性质3，有,设函数,在闭区域,D,上连续，,A,为,D,的面积，则在,D,上至少存在一点,使得,性质6,证明,由性质5，有,再根据闭区域上连续函数的介
4、值定理,练习1 判断,练习2,估计积分,的值，其中,的符号. ,是,8.1.3 二重积分在直角坐标系下的计算,其中函数 、 在区间 上连续.,假定,，积分区域为,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法计算。,表示以闭区域D为底，z=f(x,y)为顶,的曲顶柱体的体积。,过x作平,行于yoz面的平面截曲顶,柱体。得一个以区间,曲线z=f(x,y)为曲边的曲边梯形。,为底、,故,其面积,从而得曲顶柱体的 体积为,简记,如果积分区域为：,上式为先,上式为先,的二次积分，积分区间,后,的二次积分，积分区间,后,X-型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.记为,
5、Y-型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.记为,若区域如图，,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,则必须分割.,D3,D2,D1,如果积分区域,既是X-型的，又是Y-型的，则,特别,则有公式,计算,的一般步骤：,的草图，观察是,1 先画出积分区域,或,或是混合型区域，并确定其边界函数表达式,2.根据区域的类型和被积函数的特点，选择积,分次序.,不妨假设积分区域是,先对,积分，而后对,积分.故,的积分区间是,为确定,的积分限，自,内任取一点,作垂直于,轴的直线交区域,的边界于两点（自下向上）.,这两个交点的纵坐标（与,有关）分别作为积分,变量,的积分下限和积分上
6、限.,如果是区域,，可以类似处理 。,计算二重积分,的简算法,（1） 若有界闭区域,上的连续函数,是关于,（或者,）的奇函数，而区域,关于,轴（或者,轴）对称，则,. 的上）半区域.,（2） 若有界闭区域,上的连续函数,是关于,（或者,）的偶函数，而区域,关于,轴（或者,轴）对称，则,是区域,（或,的,右,（3） 若有界闭区域,关于直线,对称，,上的连续函数，则,是,证明 只对（1）来证明.设,的奇函数，即,是关于,由题意不妨设,对第一项积分：令变换,，则,代入原式，知,例1 计算二重积分,.其中,是由直,线,与,轴所围成 的区域：,解 积分区域,如图所示.,看成X-型区域，即,区域,，于是,
7、看成Y-型区域，即,也可将区域,，于是,(2) 按先,的次序积分 ，,后,原式,也可按先,后,的次序，,原式,计算起来比较麻烦。,例2 计算,解 这个二次积分的次序是先,后,，但是,的原函数不能用,的初等函数表达，于是,要先交换积分次序.此时积分区域 为,所以,原式,所围成。,例3 计算,其中,是由,解 积分区域如图所示，按先,后,的次序，则,原式,但若按先,后,的次序，,原式,例4 计算,.其中,是由,及,轴所围成.,解 积分区域如图所示，则,（1）,（2）,选用（2）式计算，于是,考虑到,的原函数不能用初等函数表达，应,D,顾被积函数的原函数是否易求，有时甚至需要交,说明：对区域,选择积分
8、次序时，要同时兼,换原来的积分次序。,例5 若区域,是由直线,及,轴所围成的区域，计算,解 显然区域,关于,轴是对称的，被积函数,是关于,的奇函数，故,例6 求以,为曲顶，矩形区域,为底面的曲顶柱体,的体积。,解 由二重积分几何意义知曲顶柱体的体积,练习5 求椭圆抛物面,与平面,所围立体体积。,练习3 计算,其中,是由直,和,所围成的闭区域。,练习4 计算,所围成的闭区域。,其中,是由抛物线,线,及直线,解 当,练习1 判断,故,又当,时,于是,的符号.,时，,练习2,估计积分,的值，其中D是,解 在,的最小值为,最大值为,而,的面积为,于是,内，,解 积分区域 D 既是X- 型，又是Y- 型的，化为先y 后x 的积分.,练习3 计算,其中,是由直,和,所围成的闭区域。,线,化为先,可见关于,的积分计算比较麻烦.,的积分.,后,解 积分区域 既是 型，又是 型的，化为先 后 的积分.,练习4 计算,所围成的闭区域。,其中,是由抛物线,及直线,若化为先 后 的积分.需将 分成 和 .,练习5 求椭圆抛物面,与平面,所围立体体积.,解 由于图形对称于,面与,面，所以,第一卦限内的体积是所求体积的,，即,于是,
