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1、第三章 习题课,二、典型例题,一、主要内容,第三章,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,常用的 泰勒公式,Cauchy 中值定理,Taylor 中值定理,一、主要内容,例1,解,这就验证了命题的正确性.,例2. 设 f (x) = 3x2 + 2x + 5，求 f (x) 在a, b上满足拉格朗日中值定理的 值.,解：f (x)为多项式，在a, b上满足拉格朗日中值定理条件, 故,由此解得,(即此时 为区间a, b的中点),例3. 设a0, a1, , an 满足,证明 方程 a0 + a1x + an1 xn1 + an xn = 0 在(0, 1)内至少有一实根,证: 令,则，f
2、 (x)C(0, 1)，在(0, 1)内可导。,又 f (0)=0,即 f (0)=f (1),故 f (x)满足Rolle定理条件.,由Rolle定理，命题获证.,例4. 证明：若f (x)在(, +)内满足关系式 f (x) = f (x)，f (0) = 1，则 f (x) = ex.,证：要证 f (x) = e x, x(, +)，,令,(转化证明 (x) = 0),又 f (0)=1, 故,从而,例5. 证明若f (x)在a, b上可微，则至少存在一点,(a, b), 使,分析: 要证明,与拉格朗日中值定理的式子比较可知，可作辅助函数,余下的由学生自己完成.,例6 证明：当 0 a
3、 b 时，,证 即要证,则 f (x)在a, b上满足拉格朗日中值定理条件，,故,另例.,解,例7,解,例8.,解,例9.,证,例10.,证, ,则有,例11.,解,由题设条件,必有,解此方程组得,故所求作抛物线的方程为,曲率圆的方程为,两曲线在点处的曲率圆的圆心为,例18,解,奇函数,列表如下:,极大值,拐点,极小值,作图,证：令 F(x) = x2 (f (b) f (a) (b2a2) f (x),由 f (x)的连续性和可导性，得,F(x)C (a, b)，F(x)在 (a, b)内可导,又 F(a)=a2(f (b)f (a)(b2a2) f (a)=a2f (b)b2f (a),F
4、(b)=b2(f (b)f (a)(b2a2) f (b)=a2f (b)b2f (a),即 F(b) = F(a),由Rolle定理，至少存在一点(a, b)，使得,F ( ) = 2 ( f (b) f (a) (b2 a2) f () ) = 0,即 在(a, b)内方程 2x( f (b) f (a) = ( b2 a2 ) f (x) 至少有一根。,备选例 证明：x 1时，e x e x.,证(分析)：即要证：e x1 x ( x 1),或 x 1 ln x ( x 1),比较 f (b) f (a) = f ()(b a), 在1, x中，运用ln1= 0 就有 x 1 lnx l
5、n1. 但是没有出现,注意，我们是证不等式，正好要利用| f ( ) | M来引入不等号.,由 1 x ,因此，证明该不等式时，可以令,证明的过程由学生自己完成.,例7. 证明：若f (x)在(, +)内满足关系式 f (x) = f (x)，f (0) =1，则 f (x) = e x.,证：要证 f (x) = e x, x(, +)，,即要证,令,(问题转化为证明 (x)=0),又 f (0)=1, 故,从而,例8. 证明若f (x)在a, b上可微，则至少存在一点,(a, b), 使,证(分析): 要证明,与拉格朗日中值定理的式子比较可知，可作辅助函数,余下的由学生自己完成.,例9.
6、设f (x)=3x2+2x+5，求f (x)在a, b上满足拉格朗日中值定理的 值.,解：f (x)为多项式，在a, b上满足拉格朗日中值定理条件, 故,由此解得,(即此时 为区间a, b的中点),例10,证,分析:,结论可变形为,2. 设,且在,内可导, 证明至少存,在一点,使,提示:,由结论可知, 只需证,即,验证,在,上满足罗尔定理条件.,设,3. 若,可导, 试证在其两个零点间一定有,的零点.,提示:,设,欲证:,使,只要证,亦即,作辅助函数,验证,在,上满足,罗尔定理条件.,4. 思考: 在,即,当,时,问是否可由此得出,不能 !,因为,是依赖于 x 的一个特殊的函数.,因此由上式得,表示 x 从右侧以任意方式趋于 0 .,应用拉格朗日中值定理得,上对函数,练习题答案,泰勒公式练习题,练习题答案,单调性凹凸拐点练习题,练习题答案,测 验 题,测 验 题,测 验 题,测 验 题,测 验 题,测 验 题,测 验 题,测 验 题,测验题答案,七、,不满足在闭区间上连续的条件；,且,不满足在开区间内可微的条件；,以上两个都可说明问题.,试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.,思考题,练 习 题,练 习 题,练 习 题,练习题答案,思考题,利用泰勒公式求极限,练 习 题,练习题答案,极 值 练 习 题,练 习 题,练习题答案,
