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1、1,主讲教师: 王升瑞,高等数学,第五讲,2,第一章,二、自变量趋于有限值时函数的极限,第四节,函数的极限,三、无穷小与无穷大,四、几种极限概念间的关系,一、自变量趋于无穷大时函数的极限,五、函数极限的性质,3,设有函数,自变量的变化过程可以有六种形式:,函数极限的定义,从函数的观点看，,的函数,它有极限A,也可以这样叙述：,时，,相应的函数,则称当,时，函数,有极限。,这种定义数列极限的思维方法也适合,于一般的函数,。由于,的自变量,变化方式的,不同，,的极限定义就有不同的形式，需分类定义。,数列是下标变量,若在自变量,4,一、自变量趋于无穷大时函数的极限,定义1 . 设函数,大于某一正数时
2、有定义,若,则称常数,时的极限,几何解释:,记作,直线 y = A 为曲线,的水平渐近线,A 为函数,5,例1. 证明,证:,取,因此,注:,就有,故,欲使,即,6,直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .,两种特殊情况 :,当,时, 有,当,时, 有,几何意义 :,例如，,都有水平渐近线,（单边极限）,7,例如：,不存在,8,二、自变量趋于有限值时函数的极限,1.,时函数极限的定义,引例. 测量正方形面积.,面积为A ),边长为,(真值:,边长,面积,直接观测值,间接观测值,任给精度 ,要求,确定直接观测值精度 :,9,定义2 . 设函数,在点,的某去心邻域内有定义 ,当
3、,时, 有,则称常数 A 为函数,当,时的极限,或,即,当,时, 有,若,记作,几何解释:,极限存在,函数局部有界,这表明:,10,例1. 证明,证:,故,对任意的,当,时 ,因此,总有,11,2. 左极限与右极限,例2：,列表看趋势,在,的定义中,的方式是任意的,它可以从,的左边,趋向于,也可以从,的右边,趋向于,均使,12,当,时, 有,右极限 :,当,时, 有,定理 3 .,左极限 :,13,例3. 设函数,讨论,时,的极限是否存在 .,解: 利用定理 3 .,因为,显然,所以,不存在 .,14,解:,例4 求,例5. 设函数,且,存在,求 a .,解:,15,三、 无穷小与无穷大,定义
4、1 . 若,时 , 函数,则称函数,为,时的无穷小 .,当,时, 有,记为,16,当,函数,当,时为无穷小;,函数,时为无穷小;,函数,当,时为无穷小.,例如 :,17,说明:,除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !,例:,18,无穷大（无穷大量）,定义2 . 若任给 M 0 ,一切满足不等式,的 x , 总有,则称函数,当,时为无穷大,使对,若在定义中将 式改为,则记作,(正数 X ) ,记作,总存在,19,其中 为,时的无穷小量 .,四、几种极限概念之间的关系,证:,当,时,有,对自变量的其它变化过程类似可证 .,定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ),20,定理2. （无穷小与
5、无穷大的关系）,若,为无穷大,为无穷小 ;,若,为无穷小, 且,则,为无穷大.,则,(自证),据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.,在自变量的同一变化过程中,说明:,21,五、函数极限的性质,定理1,（函数极限的惟一性）,若,且,定理2,(函数极限的局部有界性）,若,使得当,有,证：,取,当,时，有,22,（保号性定理）,定理3 .,且 A 0 ,则存在,( A 0 ),若,推论 . 若在,的某去心邻域内, 且,则,23,（保号性定理）,定理3 .,且 A 0 ,证: 已知,即,当,时, 有,当 A 0 时,取正数,则在对应的邻域,上,( 0),则存在,( A 0 ),若,24,内容小结,1. 函数极限的,或,定义及应用;,2. 函数极限的性质:,与左右极限等价定理.,3. 无穷小与无穷大的定义;,4. 无穷小与函数极限的关系;,5. 无穷小与无穷大的关系;,函数极限的惟一性;,25,作业,P37 2（1）， 3, 4口答 ，5口答,
