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1、第一章 常微分方程与偏微分方程概论,主要内容： 常微分方程的基本知识，包括：方程的建立、解的概念、最基本的求解方法等； 偏微分方程基本知识，包括数学物理方程的导出，初边值问题、方程的傅立叶变换等； 略微详细介绍热传导方程。,1.1 常微分方程简介 1.1.1 常微分方程的基本概念 牛顿第二定律：,其中：m是质量，r是位置向量，t是时间， F是作用于质点的力,牛顿引力定律：,其中：G是万有引力常数，M与m是一对相互吸引的质点，r是从M到m的向量，r|r|是与r同向的单位向量,这就是描述行星运动的微分方程微分方程中未知函数只出现一个自变量。 求解方程，可引入极坐标变换，令 u = 1r,则得到下面
2、的二阶常系数线性微分方程：,u0 , q0是由初始条件确定的2个常数。,1.1.2 一些典型的常微分方程 一、可分离变量的方程 具有如下形式：,可转化为,两边对x积分（如果可能的话）,得 G(y) + C1 = F(x) + C2 即 G(y) = F(x) + C,二、齐次方程 具有如下形式,作变量替换，令 u = yx y = ux,是可分离变量的方程,三、线性变系数方程 具有如下形式（一阶）,相应的齐次方程,显然是个可分离的方程,积分得通解 yh(x) = Cexp-P(x) 其中：,定义积分因子 则 m(x) yh(x) = C,两边求导,对于q(x) 0 时 m(x) y(x)= C
3、 不成立。 但由上面的推导，可有,对上式积分得,即有,伯努利方程,作变换，令 u = y1-n,n 阶常系数线性微分方程,其中，a0,an均为常数。 先考虑齐次情形,令 y = elx 代入得,解这个方程得 l = l1,ln 若 lilj , i j 方程通解为,若某个lj是 h 重根，则对应还有如下的h个解,可以证明上面两种形式的解都是线性无关的，它们的任意线性组合都是齐次方程的通解。,下面考虑非齐次情形，任取上述一个根，令,令 dzdx = u,这样，方程降了一阶，但还是常系数，经过有限次降阶、积分，可得非齐次方程的一个特解 y = y0(x),则，原方程通解为,1.2 偏微分方程的导出
4、与定解 1.2.1 偏微分方程的概念 未知函数含有多个自变量，方程中出现多元函数对不同自变量的各阶偏导数，这样的微分方程称为偏微分方程（数学物理方程）。 几乎所有的研究对象，包括天文、物理等领域的物体运动、状态变化等都不可能只受一个因素的影响，它们往往与位置、时间、温度等诸多因素相关，因此必须用偏微分方程才能描述和求解。,但是，偏微分方程十分复杂，即使是线性的也会复杂到难以处理的程度。至于非线性方程，也只能针对具体问题，提出个别的解决方法。所以，在数学上无法建立起偏微分方程研究的一般性理论。,1.2.2 几个典型的数学物理方程 热传导方程（温度分布） 扩散方程（化学物质在溶液中的浓度）,其中
5、a0，a2 = kQ ，k是传热系数，Q是热容量。,拉普拉斯方程调和方程 当物体的温度处于热稳定状态（真空中静止的电磁场。经典的引力场、或流体的某种稳定状态）,波动方程 当声波在空气中传播时，如果 u 表示压强的小扰动，a0 是声音（电磁波或其他波动）在空气中的传播速度,1.2.3 初边值问题 对于最典型的求解问题是初始值问题柯西问题 即：求波动方程的解 u ，使其满足初始条件,u0(x, y, z)和u1(x, y, z),表示在t = 0时波的形状和关于t 的变化率。,一维情形弦振动方程,初始条件,作变换 x = x - at , h = x + at 方程变为,且通解为 u = f (x
6、 - at) + g (x + at) 其中f与g是任意两个具有连续二阶导数的函数。 并由初始条件，就得到下面弦振动的达朗贝尔（dAlembert）公式,高维情形，把(x，y，z)记 x = (x1, x2, x3), x= (x1, x2, x3 ) 利用傅立叶变换（Fourier） 其中 x x = x1 x1 + x2 x2 + x3 x3,且当 f 满足一定条件时有Fourier逆变换,另外有,对于下面方程，利用Fourier变换,变成解常微分方程的初值问题，解得,其中 做Fourier逆变换，得泊松（Poisson）公式,其中ds1（dsat）是球面 | l |=1（| l |=at
7、）的面积元素。,1.3 热传导方程初值问题的求解,两边关于x 做Fourier变换,解常微分方程得,若记 且有 从而,同理,代入得 其中 通常称K(x - x ,t - t)为热传导方程基本解，且当 f(x,t)0、j(x)适合一定条件时，可证明泊松公式是给出的初值问题解。,1.4 二阶偏微分方程的分类与化简 1.4.1 二阶偏微分方程的分类 三个典型的二阶偏微分方程的标准形式：,（波动方程） （热传导方程） （位势方程）,其中 ：f是 (x1,xm)或 (x1,xm,t)的函数， a为常数， 是Laplace算子。 二阶偏微分方程的一般形式：,其中 aij= aji、b、c、f 都是 (x1
8、,xm)的函数。,用A表示矩阵（aij)i,j=1,2,m 对于波动方程，取 m = n+1, t = xn+1,对于热传导方程，取 m = n+1, t = xn+1,对于位势方程，取 m = n,如果A是个常系数矩阵，由于它是对称的，所以，一定存在一个正交矩阵 T ，使得 TTAT是对角阵，且对角线上的元素就是A的特征值。 位势方程：A的特征是都是正（或负）的，即A是正定的或负定的； 热传导方程：A的特征值有一个为0，其它的都为正（或负）的，即A是非负（或非正）的； 波动方程：A的特征值除了一个为正（负）外，其它的都是负（正）的，即A是不定的。,设 x0(x01,.,x0m)是空间中一点，
9、A(x0)表示矩阵A在x0点的值 定义：若A(x0)的m个特征是全是正（或负），称方程在x0点是椭圆型的；若A(x0)的特征是除了一个为0外全是正（或负）的，称方程在x0点是抛物型的；若A(x0)的特征值除了一个为负（或正）外，其它 m-1个全是正（或负）的，称方程在x0点是双曲型的。如果对于区域W上每一个点，方程是椭圆型的，则称方程在区域W上是椭圆型的。类似有抛物型的和双曲型的。,定理：如果方程的二阶项系数aij 是常数，即A是常数矩阵，且它属于椭圆型 （抛物型、双曲型）方程，那么一定可以通过一个非奇异的自变量代换，把方程的二阶项化为三个标准形式。,1.4.2 二阶偏微分方程的化简 定义：称
10、m维空间中的一张曲面S=j (x1,xm)=0 为二阶偏微分方程一般形式的特征曲面，如果曲面S的每一个点，有,定义：对于固定点 x0 = (x10,xm0) ，如果过 该点的方向 l = (a1, am) 满足特征方程 则称 l 为该点的特征方向。,由于 表示曲面j(x1,xm)=0 的法向，所以特征曲面就是每点的法向为该点特征方向的曲面。 怎样求特征方向和特征曲面，总假设 ai2 = 1 即取ai为特征方向的方向余弦。,例：热传导方程 的特征方程为 a12 + a22 + a32 = 0 由假设有 a02 + a12 + a22 + a32 = 1 从而 a02 = 1 因此特征曲面为超平面
11、 t = 常数,例：对于两个自变量的二阶线性偏微分方程 其特征方程为 a11a12 + 2a12a1a2 + a22a22 = 0 满足上述关系的方向(a1, a2)为特征方向，其特征线 j(x, y) = 0,满足 a11jx2 + 2a12jx jy + a22jy2 = 0 * 求解这个方程。 对 j(x,y) = 0微分并代入上式 jxdx + jydy = 0 jx = - jydydx a11dy2 - 2a12dxdy + a22dx2 = 0 *,偏微化为常微，求出 * 的一族积分曲线 j1(x, y) = C则，z = j1(x, y)是*方程的解。,求*的积分曲线，将它分解
12、为两个方程,此时在(x0, y0)的近旁有三种情况，记 0 = a122-a11a22 = 0 0,即，在 (x0,y0)近旁0 此时*有两族不同的实积分曲线 j(x,y) = C和 y(x,y) = C 引入自变量 x= j(x,y) , h= y(x,y) *,由*可看出-jx jy、 -yx yy是二次方程 a11l2 + 2a12l+ a22 = 0 两个不同实根，从而 即，上述自变量变换是可逆的。,由于 ux = uxxx+uhhx uy= uxxy+uhhy uxx = uxxxx2+2uxhxxhx+uhhhx2+uxxxx+uhhxx uxy = uxxxxxy+uxh(xxh
13、y +xyhx) + uhhhxhy + uxxxy+uhhxy uyy = uxxxy2+2uxhxyhy+uhhhy2+uxxyy+uhhyy 原方程化为 b11uxx+ 2b12uxh+ b22uhh+ c1ux+ c2uh+Du = f,其中 b11= a11xx2 + 2a12xxxy + a11xy2 b12 = a11xxhx + a12 (xxhy +xyhx )+ a22xyhy b22 = a11hx2 + 2a12hxhy + a11hy2 由*和*知 b11=b22=0, * = b122 - b11b12= *J2 故b120 从而原方程化为,如果令 x= (s + t) 2 , h=(s - t) 2 方程最终化为,1.5 与图像处理有关的偏微分方程的例子 几个常用的与图像处理有关的非线性抛物型方程 1.,其对应的滤波器具有锐化作用。,2.,其中D为微分算子，它与膨胀或腐蚀算子的迭代有一定联系。,3.,这个方程叫做曲率流方程，与中值滤波器的迭代有一定联系。,4.,这个方程导出了AMSS算子，它满足平移 不变、灰度平移不变、仿射不变、数学形态学等多种不变性。,
