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1、,第八节 平面向量的概念及其线性运算,1向量的有关概念及表示方法 (1)向量的有关概念,大小,方向,长度,1个单位,相同,相反,平行,平行,相等,相同,相等,相反,(2)向量的表示方法 字母表示法，如：a， 等 几何表示法：用一条 表示向量 2向量的线性运算,有向线段,三角形,平行四边形法则,相同,相反,三角形,3.向量a(a0)与向量b共线 向量a(a0)与向量b共线的充要条件为存在唯一一个实数，使ba.,1如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( ),【解析】 ，故C错误 【答案】 C 2给出下列命题：向量 的长度与向量 的长度相等； 向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
2、 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； 两个有公共终点的向量，一定是共线向量； 向量 与 向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上 其中不正确的个数为( ) A2 B3 C4 D5,【解析】 中，向量 与 为相反向量， 它们的长度相等，此命题正确 中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方向不一定相同或相反，此命题错误 由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，该命题正确 由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，该命题错误 共线向量是方向相同或相反的向量， 若A 与C 是共线向量，则A、B、C、D四点不一定在一条直线上，该命
3、题错误 【答案】 B,3.,【答案】 A,【答案】 A、B、D,给出下列命题： 有向线段就是向量，向量就是有向线段； 若A D ，则ABCD为平行四边形； 若ab，bc，则ac； 若ab，bc，则ac. 其中正确命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3,【思路点拨】 正确理解向量的有关概念是解决本题的关键注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可 【自主探究】 选B.错，向量可用有向线段表示，但并不是有向线段错，因为A D ，则可能A、B、D、C四点在一条直线上正确错，若b0，则对不共线的向量a与c，也有a0，0c，但a与c不平行 【答案】 B 【方法点评】 1.着重理解向量以下几个方
4、面： (1)向量的模；(2)向量的方向； (3)向量的几何表示； (4)向量的起点和终点,2判定两个向量的关系时，特别注意以下两种特殊情况： (1)零向量的方向及与其他向量的关系； (2)单位向量的长度及方向,1判断下列命题是否正确，不正确的说明理由 (1)若向量a与b同向，且|a|b|，则ab. (2)若向量|a|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反 (3)对于任意向量|a|b|，且a与b的方向相同，则ab.,(4) 由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行 (5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反 (6)向量A 与向量C 是共线向量，则A、B、C、D四点在一条直线上
5、(7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量 【解析】 (1)不正确因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小 (2)不正确由|a|b|只能判断两向量长度相等，不能判断方向 (3)正确|a|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件可得ab.,(4)不正确由零向量性质可知0与任一向量平行 (5)不正确因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不确定 (6)不正确若向量A 与向量C 是共线向量，则向量A 与 C 所在的直线平行或重合，因此，A、B、C、D不一定共线 (7)正确对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的,【思路点拨】
6、解本题除要进行向量的加、减法外，还有数乘向量运算，,在进行计算时要充分利用DEBCADEABC，ADNABM等条件 【自主探究】,又AM是ABC的中线，DEBC，且AM与DE交于点N，,【方法点评】 (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理,(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则、利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解,【特别提醒】 若A为BC的中点，则,2在OAB中，延长BA到C，使ACBA，在OB上取
7、点D， 使 DC与OA交于E，设 ，用a，b表示向量O 及向量D .,【解析】 A是BC的中点，,设两个非零向量a与b不共线,求证：A、B、D三点共线； (2)试确定实数k，使kab和akb共线,又它们有公共点B，A、B、D三点共线 (2)kab与akb共线， 存在实数，使kab(akb)， 即kabakb.,(k)a(k1)b. a、b是不共线的两个非零向量， kk10， k210， k1. 【方法点评】 (1)向量共线是指存在实数使两向量互相表示 (2)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想 (3)证明三点共线
8、问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线,3设a、b是不共线的两个非零向量,求证：A、B、C三点共线； (2)若8akb与ka2b共线，求实数k的值； (3)设 ab，其中m、n、均为实数，m0，n0，若M、P、N三点共线,【解析】 (1)证明：A (3ab)(2ab)a2b. 而B (a3b)(3ab)2a4b2A ， A 与B 共线，且有公共点B， A、B、C三点共线 (2)8akb与ka2b共线， 存在实数使得(8akb)(ka2b) (8k)a(k2)b0， a与b不共线，,1(2009年北京高考)已知向量a，b不共线
9、，ckab(kR)，dab.如果cd，那么( ) Ak1且c与d同向 Bk1且c与d反向 Ck1且c与d同向 Dk1且c与d反向,【解析】 cd，cd，即kab(ab)， 故选D 【答案】 D,【解析】,如图，根据向量加法的几何意义,是AC的中点,【答案】 B,3(2009年湖南高考),如图，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则( ),【答案】 A,4(2009年安徽高考)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若 ，其中，R，则_.,【解析】 如图，,【答案】,1向量是自由向量，大小和方向是向量的两个要素，在用有向线段表示向量时，要认识到有向线段的起点的选取是
10、任意的，不要误以为向量也是由起点、大小和方向三个要素决定的一句话，研究向量问题应具有“平移”意识长度相等、方向相同的向量都是相等向量,2共线向量的几种情况 共线向量有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等方向相反且模相等；方向相反且模不等这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量 3两个向量的和仍是向量特别注意的是：在向量加法的表达式中零向量一定要写成0，而不应写成0；在ABC中，ABC0.,4两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得：用平行四边形法则时，两个向量共起点，和向量是起点与它们的起点重合的那条对角线 ，而差向量是另一条对角线 ，方向是从减向量指向被减向量；用三角形法则时，把减向量与被减向量的起点相重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 5共线定理的作用：用向量共线定理可以证明几何中的三点共线和直线平行问题但是向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合的情况要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式b=a，再结合条件或图形有无公共点得出结论,课时作业 点击进入链接,
