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1、材料力学,第六章 弯曲应力,材料力学,一、纯弯曲时梁横截面上的正应力,材料力学,火车车轮轴,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,材料力学,F,纯弯曲梁弯曲变形时，横截面上只有弯矩而无剪力（ ）。,横力弯曲梁弯曲变形时，横截面上既有弯矩又有剪力（ ）。,F,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,材料力学,1. 实验观察,凸边伸长,凹边缩短,中性层,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,材料力学,（2）变形后的横向线仍与纵向弧线垂直。,纯弯曲变形特征：,（3）各纵向线段弯成弧线，且部分纵向线段伸长，部分纵 向线段缩短。,（1）各横向线相对转过了一个角度, 仍保持为直线。,(1)平面截面假设横截面
2、变形后保持为平面，只是绕某个轴旋转了一角度。,假设：,（2）纵向纤维假设梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。,中性层与横截面的交线中性轴,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,材料力学,2.理论分析,（1）变形分布规律,Compression,Tension,No Stress,Neutral Axis 中性轴,dx,变形后,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,材料力学,所以纵向纤维CD的应变为:,横截面上距中性轴为y 处的轴向变形规律。,曲率,则,曲率,则,当,(a),纵向纤维CD:,变形前,变形后,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,材料力学,（2）应力分布规律,在线弹性
3、范围内，应用胡克定律,(b),对一定材料，,E=C；,对一定截面，,横截面上某点处的应力与此点距中性轴的距离y成比例。,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,材料力学,（3）由静力平衡方程确定中性轴的位置及应力计算公式,由 得,将(b)式代入，得,因此z轴通过截面形心，即中性轴通过形心，并垂直于载荷作用面。,=0,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,材料力学,因此z轴通过截面形心，即中性轴通过形心，并垂直于载荷作用面。,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,材料力学,静力平衡条件,自动满足。,考虑平衡条件,y、z轴为截面的形心主惯性轴,(d),问题: 对于实心截面，若截面无对称轴，要使梁产生
4、平面弯曲，外力作用必须满足什么条件?,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,材料力学,对于实心截面，若截面无对称轴，要使梁产生平面弯曲，亦必须满足 。即y、z轴为截面的形心主惯性轴。所以只要外力作用在形心主惯性平面内同样可产生平面弯曲。,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,材料力学,考虑平衡条件,为截面对中性轴的惯性矩。,(e),弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,材料力学,可得挠曲轴的曲率方程：,为常数，挠取轴是一条圆弧线,抗弯刚度。,正应力的计算公式为,横截面上最大正应力为,截面的抗弯截面系数，反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响。,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,材料力学,例
5、6-1 火车车轮轴承受轮载为F=20 kN，已知轴的直径为d = 55 mm, 试求轴中心处的最大弯曲应力。在轴中心处的最大弯曲应力 相同的条件下，将实心轴改成空心轴，空心轴内外径比为0.6。 求空心轴和实心轴的重量比。,F,由此可见，载荷相同、max要求相等的条件下，采用空心轴节省材料。,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,材料力学,“凡梁之大小，各随其广分为三分，以二分为厚。” 宋 李诫营造法式,讨论：从圆木中锯出的矩形截面梁，矩形的高:宽=？才能最有效利用材料？,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,材料力学,纯弯曲时横截面上应力计算公式：,挠曲轴的曲率方程：,适用范围：,(1) 平面
6、弯曲；,（2）纯弯曲；,(3)小变形在弹性变形范围内；,(4)梁材料均匀。,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,材料力学,复合材料梁横截面上的应力分布,讨论,（平面截面假设仍然适用）,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,材料力学,矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面系数：,竖放：,b,h,h,b,平放：,若hb, 则 。,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,材料力学,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,材料力学,二、横力弯曲时梁的正应力 正应力强度条件,F,纯弯曲时推得的正应力公式是否适用于一般情形（横力弯曲）？,材料力学,横力弯曲,平面假设不成立,由纯弯曲推导得到的结果可推广到横
7、力弯曲的梁：,(b) 对R/h5的小曲率梁，可使用直梁公式。,(a) 横力弯曲的细长梁，即梁的宽高比:L/h5时， 其误差不大；,h,弯曲应力/横力弯曲时梁的正应力 正应力强度条件,材料力学,非纯弯曲时的挠曲轴的曲率方程为：,正应力计算公式为,弯曲应力/横力弯曲时梁的正应力 正应力强度条件,材料力学,弯曲正应力强度条件：,可解决三方面问题：,（1）强度校核，即已知 检验梁是否安全；,（2）设计截面，即已知 可由 确定 截面的尺寸；,（3）求许可载荷，即已知 可由 确定。,弯曲应力/横力弯曲时梁的正应力 正应力强度条件,材料力学,例6-2简易吊车，F=68 kN，作用在梁的中间截面上, l =
8、9.5 m, 40c 型工字钢 的自重为q，=140MPa, 校核安全性.,ql2/8,弯曲应力/横力弯曲时梁的正应力 正应力强度条件,材料力学,200,约束力：,例6-3 铸铁梁的截面为T字形，受力如图。已知材料许用拉应力为 ，许用压应力为 。试校核梁的正应力强度。梁的截面倒置，情况又如何？,弯曲应力/横力弯曲时梁的正应力 正应力强度条件,材料力学,解：,（1）确定中性轴的位置,弯曲应力/横力弯曲时梁的正应力 正应力强度条件,材料力学,（2）绘剪力图、弯矩图,约束力：,(+),(-),(-),20kN,10kN,10kN,由 、 知：,弯曲应力/横力弯曲时梁的正应力 正应力强度条件,材料力学
9、,（3）正应力强度校核,对于A截面：,弯曲应力/横力弯曲时梁的正应力 正应力强度条件,材料力学,对于D 截面：,弯曲应力/横力弯曲时梁的正应力 正应力强度条件,材料力学,正应力强度足够。,因此,结论:对中性轴对称截面的弯曲梁，只计算一个截面：对中性轴不对称截面的弯曲梁，必须计算两个截面：,弯曲应力/横力弯曲时梁的正应力 正应力强度条件,材料力学,（5）若将梁的截面倒置，则,此时强度不足会导致破坏。,对于抗拉和抗压强度不相等的材料,应采用中性轴偏于受拉一侧的截面.,弯曲应力/横力弯曲时梁的正应力 正应力强度条件,材料力学,例6-4 已知 材料的 ，由M图知： ，试校核其强度。,解：,（1）确定中
10、性轴的位置,（2）求,单位：cm,弯曲应力/横力弯曲时梁的正应力 正应力强度条件,材料力学,（3）正应力校核,所以结构安全。,问题：若材料为铸铁，截面这样放置是否合理？,弯曲应力/横力弯曲时梁的正应力 正应力强度条件,材料力学,三、弯曲时的切应力,材料力学,在有切应力存在的情 形下， 弯曲正应力 公式依然存在,切应力方向与剪力的方向相同，并沿截面宽度方向切应力均匀分布（对于狭长的矩形截面适用）,在上述前提下，可由平衡直接确定横截面上的切应力，而无须应用“平衡，变形协调和物性关系”。,假 设,弯曲应力/弯曲时的切应力,材料力学,（一）矩形截面,(+),(-),分析方法（截面法）：,1.沿 m-m
11、,n-n 截面截开， 取微段dx。,dx,弯曲应力/弯曲时的切应力,材料力学,2.沿 k-l 截面截开，根据切应力的互等定理：,dx很小，在 kl 面上可认为 均布。,3.列平衡方程，由 ：,即,弯曲应力/弯曲时的切应力,材料力学,而,代入得：,弯曲应力/弯曲时的切应力,材料力学,（儒拉夫斯基公式）,式中符号意义：,：截面上距中性轴y处的切应力,：y以外面积对中性轴的静矩,：整个截面对中性轴的惯性矩,b：y处的宽度,对于矩形：,弯曲应力/弯曲时的切应力,材料力学,而,因此矩形截面梁横截面上的切应力的大小沿着梁的高度按抛物线规律分布。,并且,弯曲应力/弯曲时的切应力,材料力学,实心截面梁的弯曲切
12、应力误差分析,精确解, = =,h/b,弯曲应力/弯曲时的切应力,材料力学,弯曲正应力与弯曲切应力比较,当 l h 时，smax tmax,弯曲应力/弯曲时的切应力,材料力学,（二）工字形截面梁的弯曲切应力,1.腹板,式中,(y)：截面上距中性轴y处的切应力,：y处横线一侧的部分面积 对中性轴的静矩,：整个截面对中性轴的惯性矩,：y处的宽度,弯曲应力/弯曲时的切应力,材料力学,腹板上的切应力呈抛物线变化，腹板部分的切应力合力占总剪力的95%97%。,弯曲应力/弯曲时的切应力,材料力学,翼缘部分的切应力强度计算时一般不予考虑。,2.翼缘,翼缘部分的水平剪应力沿翼缘宽度按直线规律变化，并与腹板部分
13、的竖向剪力形成“切应力流” 。,弯曲应力/弯曲时的切应力,材料力学,（三）其他形状截面梁的弯曲切应力,1 . 圆截面,切应力的分布特征： 边缘各点切应力的方向与圆周相切；切应力分布与 y 轴对称；与 y轴相交各点处的切应力其方向与y轴一致。,关于其切应力分布的假设：1.离中性轴为任意距离y的水平直线段上各点处的切应力汇交于一点 ；2.这些切应力沿 y方向的分量ty 沿宽度相等。,弯曲应力/弯曲时的切应力,材料力学,最大切应力t max 在中性轴处,弯曲应力/弯曲时的切应力,材料力学,2.薄壁环形截面梁,弯曲应力/弯曲时的切应力,材料力学,3.盒形薄壁梁,弯曲应力/弯曲时的切应力,材料力学,切应
14、力强度条件,对于等宽度截面， 发生在中性轴上；对于宽度变化的截面， 不一定发生在中性轴上。,弯曲应力/弯曲时的切应力,材料力学,(3) 梁上的焊缝、铆钉或胶合面。,对矩形截面梁,对圆形截面梁,所以，对实心截面梁通常不需要校核剪切强度。,需要校核剪切强度几种情况,(1) 弯矩较小而剪力很大的情况：短粗梁，或在支座附近作用有较大的集中力；,(2) 非标准的腹板较高且较薄的工字梁；,(4)各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力。,弯曲应力/弯曲时的切应力,材料力学,例6-4 悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可切应力为0.34MPa，木材的= 10 MPa，=1MPa，求许可载荷。,弯曲应力/弯曲时的切应力,材料力学,讨论：请解释木梁发生图示破坏的原因.,弯曲应力/弯曲时的切应力,材料力学,四、提高弯曲强度的一些措施,弯曲正应力强度条件：,在 一定时，提高弯曲强度的主要途径：,（一）选择合理截面 提高抗弯截面系数,矩形截面梁的放置,材料力学,几种常用截面的比较,为了比较各种截面的合理性，以 来衡量。 越大，截面越合理。,可看出：材料远离中性轴的截面(环形、槽形、工字形等)比较 经济合理。,(d=h),
