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1、3.1.2用二分法求方程的近似解,2019/1/12,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,2,a,b, :艾普西隆,2019/1/12,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,3,对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点(zero point) 。,1.函数零点的定义：,注意：,零点指的是一个实数；,函数y=f(x)的零点就是就是方程f(x)=0的实数根。从图像上看，函数y=f(x)的零点，就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标。,一.函数零点的概念：,2019/1/12,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,4,3.怎样求函数yf(x)的零点的个数？,2.方程的根与函数
2、的零点的关系：,方程 f(x)0 有实数根,函数 yf(x) 的图象与x轴有交点,函数 yf(x) 有零点,数形结合,代数法,图像法,（2）将yf(x)变形，判断两图象交点个数,（1）求相应方程f(x)=0的根,（3）利用函数的图象、性质、零点存在性条件去求,2019/1/12,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,5,定理,二.零点存在性定理,思考1：零点唯一吗？,思考3：函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线：且f(a)f(b)0，是否在(a,b)内函数就没有零点？,思考2；若只给条件f(a) f(b)0能否保证在(a,b)有零点？,如果函数在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲
3、线,并且有f(a) f(b)0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c (a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.,2019/1/12,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,6,求证：函数f(x)=lnx+2x-6仅有一个零点，且在区间(2,3)内。,f(2)=_,f(3)=_,如何求出这个零点？,缩小零点所在的区间范围，直到满足精确度。,思考,单调,2019/1/12,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,7,由前面的图像我们已经知道函数的零点个数是一个在区间(2,3)内，那么进一步的问题是如何找出这个零点（精确到0.01）？,2019/1/12,重庆市万州高
4、级中学 曾国荣 ,8,问题1：那么又用什么方法来将区间逐步缩小呢？,取区间中点,问题2：区间分成两段后，又怎样确定在哪一个小的区间内呢？,2019/1/12,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,9,下面我们一起来将区间逐步缩小从而找到其近似零点。,2019/1/12,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,10,同理再取 的中点 因为 故函数的零点落在区间,再取 的中点 因为 故函数的零点落在区间 内,再取 的中点 因为 故函数的零点落在区间 内,再取 的中点 因为 故函数的零点落在区间 内,（2.5，3）,2.75,(2.5,2.75),(2.5,2.75),2.625,(2.5,2.625),(2.5,2
5、.625),2.5625,(2.5,2.5625),(2.5,2.5625),2.53125,(2.53125,2.5625),2019/1/12,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,11,再取 的中点 因 为 故函数的零点落在 区间 内,(2.53125,2.546875),2.5390625,(2.53125,2.5390625),再取 的中点 因 为 故函数的零点落在 区间 内,(2.5312,2.5625),2.546875,(2.53125,2.546875),2019/1/12,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,12,（2,3）,1,2.5,-0.084,（2.5,3）,0.5,2.75,0
6、.512,(2.5,2.75),0.25,2.625,0.215,（2.5,2.625）,0.125,2.5625,0.066,（2.5,2.5625）,0.0625,2.53125,-0.009,（2.53125,2.5625）,0.03125,2.546875,0.029,（2.53125,2.546875）,0.01562,2.5390625,0.010,(2.53125,2.5390625),0.0078125,2.53515625,0.001,2019/1/12,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,13,区间确实是缩小了。,而且，当精确度为0.01时，由于,所以我们将2.53125作为函数
7、 的近似根（亦可将该区间内任意一点作为其近似根）。,2019/1/12,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,14,二分法（bisection method）：象上面这种求方程近似解的方法称为二分法，它是求一元方程近似解的常用方法。,定义如下： 对于区间a,b上连续不断、且f(a)f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）,2019/1/12,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,15,关键点,1.零点的初始区间的确定,2.缩小区间的方法,3.零点的精确化,2019/1/12,重庆市万州
8、高级中学 曾国荣 ,16,1.确定区间a,b，验证f(a)f(b)0,给定精确度；,3.计算f(c)；,2.求区间(a,b)的中点c；,（1）若f(c)=0，则c就是函数的零点；,（2）若f(a) f(c)0，则令b= c（此时零点x0(a, c) );,（3）若f(c) f(b)0，则令a= c（此时零点x0( c, b) ).,4.判断是否达到精确度:即若|a-b|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤24,一般步骤：,编写程序,2019/1/12,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,17,用流程图表示如下：,否,是,否,是,2019/1/12,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,18,例题1,借
9、助计算器或计算机用二分法求方程 的近似解（精确到0.1）。,解：,用计算器或计算机作出函数,的对应值表与图象：,2019/1/12,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,19,观察右图和表格，可知,，说明在区间（1，2）内有零点,取区间（1，2）的中点,，用计算器可的得,因为,，所以,，再取,的中点,， 用计算器求得,，因此,，所以,。,2019/1/12,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,20,同理可得,，由,，此时区间,的两个端点，精确到0.1的近似值是1.375（或1.4375）,2019/1/12,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,21,思考：下列函数中能用二分法求零点的是_.,(1) (4),201
10、9/1/12,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,22,1.确定区间a,b，验证f(a)f(b)0,给定精确度；,3.计算f(c)；,2.求区间(a,b)的中点c；,（1）若f(c)=0，则c就是函数的零点；,（2）若f(a) f(c)0，则令b= c（此时零点x0(a, c) );,（3）若f(c) f(b)0，则令a= c（此时零点x0( c, b) ).,4.判断是否达到精确度:即若|a-b|,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤24,用二分法求函数零点近似值.,步骤：,2019/1/12,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,23,书面作业,课堂练习, P.91 练习1.2, P.92 习题3.1 A组2.3.4 B组1,
