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1、常微分方程的数值解及实验,（一）常微分方程数值解的定义,在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解。而在实际上对初值问题，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式。,因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的。,（二）建立数值解法的一些途径,1、用差商代替导数,若步长h较小，则有,故有公式：,此即欧拉法（向前欧拉法）。,2、使用数值积分,对方程y=f(x,y), 两边由xi到xi+1积分，并利用梯形公式，有：,实际应用时，与欧拉公式结合使用：,此即改进的欧拉法。,故有公式：,3、使用泰勒公式,以此方法为基础，有龙格-库塔法
2、、线性多步法等方法。,4、数值公式的精度,当一个数值公式的截断误差可表示为O（hk+1）时（k为正整数，h为步长），称它是一个k阶公式。,k越大，则数值公式的精度越高。,欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式。 龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式。 线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式。,（三）用Matlab软件求常微分方程的数值解,t，x=solver（f,ts,x0,options）,1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成.,2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.,注意:,解: 令 y1=x，y2=y1,1、建立m-文件vdp1.m如下： function dy=vdp (t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=(1-y(1)2)*y(2)-y(1);,2、取t0=0，tf=20，输入命令： T,Y=ode15s(vdp1,0 20,2 0); plot(T,Y(:,1),-),3、结果如图,例,则微分方程变为一阶微分方程组：,
