平差数学模型与最小

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1、,第二章 平差数学模型与最小二乘原理,2-1 测量平差概述,在测量工作中，为了确定待定点的高程，需要建立水准网，为了确定待定点的平面坐标，需要建立平面控制网（包括测角网、测边网、边角网），我们常把这些网称为几何模型。每种几何模型都包含有不同的几何元素，如水准网中包括点的高程、点间的高差，平面网中包含角度、边长、边的坐标方位角以及点的二维或三维坐标等元素。这些元素都被称为几何量。,在诸多几何量中，有的可以直接测量，但更多的是通过测定其它一些量来间接求出。如根据一点的坐标，通过直接测定的角度和距离求定另一些点的坐标；根据一点的高程，通过直接测定的高差求定另一些点的高程等等。这也充分说明要确定一个几

2、何模型，并不需要知道其中所有元素的大小，只需知道其中的一部分就可以了，其它元素可以通过它们之间的函数描述而确定出来，这种描述所求量与已知量之间的关系式称为函数模型。,随着几何模型的不同，它所需要知道的元素的个数与类型也有所不同，要唯一地确定几何模型，就必须弄清楚至少需要观测哪些元素以及哪些类型的元素。例如：,如图2-1的三角形ABC中，为了确定它的形状，只需要知道其中任意两个内角的大小就可以了，如 、 或 、 或 、 等。它们都是同一类型的元素。,要确定该三角形的大小和形状，就必须知道三个不同的元素，即任意的一边两角、任意的两边一角或者是三边。,如： 或 或 等，它们中间都至少包含一条边长，否

3、则只能确定其形状，而不能确定其大小，该情况包含两类元素（角度和边长）。,要确定该三角形的大小、形状和它在一个特定坐标系中的位置和方向，则必须知道图中15个元素中的6个不同的元素，当然，这6个元素可以构成更多的组合，但不论哪一种组合，都至少要包含一个点的坐标和一条边的坐标方位角，这是确定其位置和方向不可缺少的元素，通常称其为外部配置元素，它们的改变只相当于整个网在坐标系中发生了平移和旋转，并不影响该三角形的内部形状和大小。,所以三角形中如果没有已知点坐标和已知方位角时，也可以假定一个点的坐标和一条边的方位角，这就相当于将该三角形定位于某个局部坐标系中，实际上只需要3个元素就可以了。如果A、B两点

4、都是已知点，为确定三角形的大小、形状、位置和方向，则只需要任意两个元素就行了，如两角、两边或一边一角等。,从上面例子可知，一旦几何模型确定了，就能够唯一地确定该模型的必要观测元素的个数。我们把能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，称为必要观测元素。,必要观测元素的个数用t表示，称为必要观测个数。对于上面三种情况，必要观测元素个数分别为t=2,t=3和t=3。而对于后两种情况，不仅要考虑必要观测元素的个数，还要考虑到元素的类型，否则就无法唯一地确定模型。必要观测个数t只与几何模型有关，与实际观测量无关。,必要观测元素的个数用t表示，称为必要观测个数。对于上面三种情况，必要观测元素个数分别为t=

5、2,t=3和t=3。而对于后两种情况，不仅要考虑必要观测元素的个数，还要考虑到元素的类型，否则就无法唯一地确定模型。必要观测个数t只与几何模型有关，与实际观测量无关。,一个几何模型的必要观测元素之间是不存在任何确定的函数关系的，即其中的任何一个必要观测元素不可能表达为其余必要观测元素的函数。在上述情况中，任意三个必要观测元素，如 之间，其中 不可能表达成 的函数，除非再增加其它的量。这些彼此不存在函数关系的量称为函数独立量，简称独立量。,在测量工作中，为了求得一个几何模型中的几何量大小，就必须进行观测，但并不是对模型中的所有量都进行观测。假设对模型中的几何量总共观测n个，当观测值个数小于必要观

6、测个数，即nt,显然无法确定模型的解；,式中n是观测值个数，t是必要观测个数，r称为多余观测个数，表示有r个多余观测值，在统计学中也叫自由度。,既然一个几何模型能通过t个必要而独立的量唯一的确定下来，这就意味着在该模型中，其它的量都可以由这t个量确定下来，即模型中任何一个其它的量都是这t个独立量的函数，都与这t个量之间存在有一定的函数关系式。现在模型中有r个多余观测量，因此，一定也存在着r个这样的函数关系式。,再如上述中，如果观测了角度 、 、 和边长 ，即n=5,t=3,则r=2,它们的真值之间也存在如下关系式：,由此可见，每增加一个多余观测，在它们中间就必然增加且只增加一个确定的函数关系式

7、，有多少个多余观测，就会增加多少个这样的关系式。这种函数关系式，在测量平差中称为条件方程。,即观测值产生了矛盾，从而使观测值不能完全吻合于几何模型。 为了消除矛盾，通常用另一组被称为“观测值估值”（又叫平差值、最或是值、最或然值） 来代替观测值 L，由于任何一个观测值估值都可以看作是一个改正了的观测值，是由观测值加上改正数而得到，即,（2-1-6）,式中 称为观测值 的改正数，它们必须在计算之前被计算出来。但这种改正数有无数多组（如：对三角形闭合差的分配），但从统计学角度讲，只有一组改正数能得到最优解。 为求唯一的一组最优改正数，必须附加一定的约束条件，我们把按照某一准则求得观测值新的一组最优

8、估值的计算过程叫平差。 求观测值的平差值是测量平差的任务之一，除此之外，还要对计算成果进行分析，衡量平差结果的精度。,2-2 测量平差的数学模型,在测量工作中，涉及的是通过观测量确定某些几何量的大小等有关数量问题，因此，常考虑如何建立相应的数学模型及如何解算这些模型。由于测量观测值是一种随机变量，所以，平差的数学模型与传统数学上的模型不同，它不仅要考虑描述已知量与待求量之间的函数模型，还要考虑随机模型，在研究任何平差方法时，函数模型和随机模型必须同时予以考虑。本节详细介绍平差的随机模型和常见的平差函数模型及其建立方法,在科学技术领域，通常对研究对象进行抽象概括，用数学关系式来描述它的某种特征或

9、内在的联系，这种数学关系式就称为数学模型。,矿区水准网示意图:,如何对各段高差按照一定规则进行改正,满足各闭合环的闭合差等于零的要求!,某矿井下导线示意图:,如何对各段各角和边进行改正,满足各附合路线的要求!,如图3-8所示，为一四等附合导线，测角中误差 = 2.5，测边所用测距仪的标称精度公式 = 5mm+5ppmD 。已知数据和观测值见表3-2。试按条件平差法对此导线进行平差，并评定3号点的点位精度。,三个条件:,如何对角度和边长进行改正满足上述要求!,表3-2,解： 未知导线点个数n 1 = 3，导线边数n = 4，观测角个数n + 1 = 5 近似计算导线边长、方位角和各导线点坐标，列

10、于表3-2中,表3-3,(1)组成改正数条件方程及第3点平差后坐标函数式 改正数条件方程闭合差项：,= 3.9,= -1.6 cm,= 1.7 cm,改正数条件方程,即,v1 + v2 + v3 + v4 + v5 3.9 = 0,0.3868VS1 - 0.7857VS 2 - 0.0499VS 3 0.9959VS 4 1.8479V1 1.1887V2,- 0.7614V3 + 0.0857V4 + 1.6 = 0,0.9221VS1 +0.6186VS 2 + 0.9988VS 3 - 0.0906VS 4 1.2502V1 1.5267V2, 0.9840V3 0.9417V4 1.

11、7 = 0,W= 3.9 -1.6 1.7 T,第3点平差后坐标函数式,全微分得,fx3 = 0.3868 0.7857 0 0 1.0865 0.4273 0 0 0 fy3 = 0.9221 0.6186 0 0 -0.2662 -0.5427 0 0 0 ,(2)确定边角观测值的权,设单位权中误差,T,T,根据提供的标称精度公式 = 5 mm + 5ppmD计算测边中误差,根据(3-3-26)式，测角观测值的权为 P = 1； 为不使测边观测值的权与测角观测值的权相差过大，在计算测边观测值权时，取测边中误差和边长改正值的单位均为厘米（cm）。,( ),则可得观测值的权阵为,(3)组成法方

12、程，计算联系数、改正数及观测值平差值，得,进一步计算各导线点的坐标平差值，得,1 (187966.644 , 29506889.663)； 2 (186847.270 , 29507771.048)； 3(186760.000, 29509518.201),(4)精度评定 1）单位权中误差,2）点位中误差 权倒数：,点位中误差：,= 2.46 cm,一、函数模型,函数模型是描述观测量与待求量之间的数学函数关系的模型。对于一个平差问题，建立函数模型是测量平差中最基本、最重要的问题，模型的建立方法不同，与之相应就产生了不同的平差方法。函数模型有线性与非线性之分，测量平差通常是基于线性函数模型，当函

13、数模型为非线性时（如（2-1-4）式），总是要将其线性化。下面简述各种经典平差方法的线性函数模型及其建立方法。,1. 条件平差法 下面先通过两个例子，来说明条件平差函数模型的建立方法。 在图2-1中，观测了三个内角，n=3，t=2，则r=n-t=1,存在一个函数关系式（条件方程），可以表示为：,再如图2-2水准网， D为已知高程水准点，A、B、C均为待定点，观测值向量的真值为,令,2. 附有参数的条件平差法 在平差问题中，设观测值个数为n，必要观测个数为t，则可以列出r=n-t个条件方程，现又增设了u个独立量作为未知参数，且0 ut,每增加一个参数应增加一个条件方程，因此，共需列出r+u个条件

14、方程，以含有参数的条件方程为平差函数模型的平差方法，称为附有参数的条件平差法。,如图2-3的三角形ABC中，观测了三个内角 、 、 ，n=3，t=2，r=n-t=1，平差时选A为平差参数 ，即u=1，此时条件方程个数应为r+u=2个，它们可以写成：,则上式可写成,令,一般而言，在某一平差问题中,观测值个数为n，必要观测个数为t，多余观测个数为r=n-t，再增选u个独立参数，0 ut，则总共应列出c=r+u个条件方程，其一般形式为,(2-2-7),3. 间接平差法(参数平差法) 由前所述，一个几何模型可以由t个独立的必要观测量唯一的确定下来，因此，平差时若把这t个量都选作参数，即u=t（这是独立

15、参数的上限），那么通过这t个独立参数就能唯一地确定该几何模型，换句话说，模型中的所有量都一定是这t个独立参数的函数，每个观测量也都可以表达为所选t个独立参数的函数。,选择几何模型中t个独立量为平差参数，将每一个观测量表达成所选参数的函数，共列出r+u=r+t=n个这种函数关系式，以此作为平差的函数模型的平差方法称为间接平差。,如图2-3三角形ABC中，观测了三个内角 、 、 ，n=3，t=2，r=n-t=1，平差时选A、B为平差参数 ，即， u=2，共需列出r+u=3个函数关系式，列立方法是将每一个观测量表达成所选参数的函数，由图知：,一般而言，如果某一平差问题中,观测值个数为n，必要观测个数为t，多余观测个数为r=n-t，再增选u个独立参数 ， u=t，则总共应列出c=r+u=n个函数关系式，其一般形式为,4. 附有限制条件的间接平差 如果在某平差问题中，选取ut个参数，其中包含t个独立参数，则多选的s=u- t个参数必定是t个独立参数的函数，即在u个参数之间存在着s个函数关系式。方程的总数c=r+u=r+t+s=n+s个，建立模型时，除了列立n个观测方程外，还要增加参数之间满足的s个条件方程，以此作为平差函数模型的平差方法称为附有条件的间接平差。,其函数模型的一般形式为,5. 附有条件的条件平差（综合平差模型） 上面几种模型的建立，对参数的选