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1、1,第九章 无穷级数,2,无穷级数,无穷级数,常数项级数,幂级数,第九章,主要研究无限个量相加的问题，包括,无限个数和无限个函数相加的问题 。,3,常数项级数的概念和性质,一、常数项级数的概念,二、无穷级数的基本性质,三、级数收敛的必要条件,第一节,第九章,4,引例： 1. 计算圆的面积.,正三角形的面积,这个和逼近于圆的面积 A .,a1,即,正十二边形的面积为,正六边形的面积,a1 + a2+ a3,一、常数项级数的概念,A = a1 + a2+ a3+an+,当n时，,5,1.定义：,给定一个数列,将各项依,即,称为无穷级数.,次相加所构成的式子：,说明：,简记为,一、常数项级数的概念,
2、(2) 无穷级数(每一项都是数) 也称为常数项无穷级数，,简称(常数项)级数。,6,问题1 ： 无穷个数相加，是否一定有和？,例如：,1(1) 1 (1) 1 (1)+,如果写成,(11)(11)(11)+,结果是0,如果写成,1(1)1(1)1,结果是1,结果不同，故无穷个数相加不一定有和,问题2 ：如果存在和，和等于什么？,7,两个概念：,(1)级数的前 n 项和,称为级数的部分和.,其中,(2)称 为级数的部分和数列.,再看例子,Sn =0.333,8,即,并记作：,或者称该级数没有和.,2.级数的收敛与发散：,注意：,(1)常数项级数收敛(发散),存在(不存在).,收敛与发散二者必居其
3、一.,(2) 给定一个级数，,(3) 级数收敛时才有和，发散时就没有和.,9,余项,(4)如果级数,收敛于s，,即,这时：,显然,存在,级数 收敛,10,3.级数的敛散性举例：,解,所以级数的部分和为：,例1,所以原级数发散.,11,解,例2,判断级数,的敛散性.,若收敛,求其和s.,所以级数收敛，,和 s =1.,即,技巧:,利用 “拆项相消” 求和,12,例3 讨论等比级数,(又称几何级数),解,收敛,发散,时,发散,当 时，,的敛散性.,当 时，,级数变为,13,因此,n 为奇数,n 为偶数,从而,不存在 , 因此级数发散.,综上,收敛，,发散，,收敛；,收敛；,发散；,发散.,如：,其
4、和为1.,14,解,所以级数的部分和为：,例4,判断级数,的敛散性.,所以原级数发散.,注意：,判断敛散性的方法：,(1)找,(2)求极限,15,这说明级数,则级数,二、无穷级数的基本性质,也收敛，且其和为,证: 设,则,也收敛，其和为,16,说明:,(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则,必发散 .,但若二级数都发散 ,不一定发散.,例如,性质1 也可说成：两个收敛级数可以逐项相 加或者逐项相减.,(用反证法可证),即 收敛+收敛=收敛，收敛+发散=发散， 发散+发散可能收敛，也可能发散,17,解,例5,18,由于极限,或同时发散，且当级数同时收敛时，,同时收敛,和,性质2. 设c为非零
5、常数，则级数,与,则,证: 设,则,同时收敛或同时发散，,若,从而级数,与,同时收敛或同时发散.,且当同时收敛时，有,即：级数的每一项同乘一个不为零的常数时，敛散性不变,19,性质3.,在级数前面加上或去掉有限项, 不会改变级数,的敛散性.,证: 将级数,的前 k 项去掉,的部分和为,数敛散性相同.,当级数收敛时, 其和的关系为,极限状况相同,故新旧两级,所得新级数,时，,如:,类似地 可以证明在级数前面加上有限项不影响级数,的敛散性，,但影响收敛级数的和.,收敛,20,设,设,性质4.,证: 若,收敛，任意加括号得到,若,则,证毕.,收敛级数加括号后所得新级数仍收敛，,且其和不变.,一个新级
6、数，如,和,分别表示新、老两个级数的前n项和,推论: 若加括号后的级数发散, 则原级数必发散.,注意: 收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛.,但,发散.,例如，,用反证法可证,21,例6.证明调和级数 是发散的 .,解: 考虑加括号后的级数,即加括弧后的级数发散 ,从而原级数发散 .,内,22,三、级数收敛的必要条件,证:,定理：,如:,级数,收敛，,则有,注意：,1.反之不成立(因为是级数收敛的必要条件不充分).,但它是发散的.,但它是发散的.,23,2.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散.(逆否命题),所以是发散的.,发散.,发散.,24,判断级数发散的方法:,解,25,级数的基本概念,基本审敛法,级数收敛(发散),存在(不存在),1.定义法：,存在(不存在),级数收敛(发散)；,收敛的必要条件,几个重要级数的敛散情况,1.等比级数,2.调和级数,是发散的.,小 结,26,作业：P365,4(3),5(1),(5),(7),预习：从366到371页,27,例1：判断级数 的敛散性.,解答：,所以原级数发散.,备用题,28,例2,解,29,解,
