差分方程—种群模型

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1、差分方程种群模型,课本上的模型考虑的是人口/种群的总量变化，在实际问题中，还要考虑种群的组成结构,简单的种群增长模型,假设在一个自然生态地区生长着一群鹿,在一段时间内,鹿群的增长受资源制约的因素较小。试预测鹿群的增长趋势如何?下面将建立一个简单的鹿群增长模型。 假设: （1）公、母鹿占群体总数的比例大致相等,所以本模型仅考虑母鹿的增长情况； （2）鹿群中母鹿的数量足够大,因而可近似用实数来表示； （3）将母鹿分成两组:一岁以下的称为幼鹿组,其余的称为成年组；,简单的种群增长模型,假设: （4）将时间离散化,每年观察一次,分别用xn、yn表示第n年的幼鹿数及成年鹿数，且假设各年的环境因素都是不变

2、的; （5）分别用b1,b2表示两个年龄组鹿的出生率,用d1,d2表示其死亡率。出生率、死亡率为常数，记s1=1-d1, s2=1-d2; （6）鹿的数量不受自然资源的影响; （7）刚出生的幼鹿在哺乳期的存活率为s， t1=sb1, t2=sb2,简单的种群增长模型,根据以上假设,建立模型如下 n=0,1, 或写成矩阵形式,简单的种群增长模型,令 则模型可表示为 于是可得到 un=Anu0，即 其中x0,y0分别是初始时刻的幼鹿数与成年鹿数。,xn、yn的解法,假如A可以对角化,先将A对角化,如不能对角化,则将其化成约当标准型。对于本例,可作如下处理,令 得到特征方程 判别式 特征方程有两个相

3、异的实根,因此A可以对角化。对应的特征向量分别为,xn、yn的解法,由此得到 因而,xn、yn的解法,最终有 即 其中,Leslie人口模型,现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型，借用前面提出的差分方程模型，仅考虑女性人口的发展变化。 如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组，则人口的年龄结构无法刻划，因此必须建立一个更精确的模型。 20世纪40年代提出的Leslie人口模型，就是一个预测人口按年龄组变化的离散模型。,Leslie人口模型,模型假设 (1) 将时间离散化，假设男女人口的性别比为1:1，因此本模型仅考虑女性人口的发展变化。假设女性最大年龄为S岁，将其等间隔划分成m个年龄

4、段（不妨假设S为m的整数倍），每隔S/m年观察一次，不考虑同一时间间隔内人口数量的变化; (2) 记ni（t）为第i个年龄组次观察的女性总人数，记n（t）=n1（t），n2（t），n3（t），nm（t），T。第i年龄组女性生育率为bi （注：所谓女性生育率指生女率），女性死亡率为di，记si=1-di，假设bi，di不随时间变化;,Leslie人口模型,模型假设 (3) 不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响; (4) 生育率仅与年龄段有关，存活率也仅与年龄段有关。,Setting up the Leslie Matrix,Concept of populatio

5、n vector Births Deaths,Population Vector,N0 N1 N2 N3 . Ns,s+1 rows by 1 column (s+1) x 1 Where, s=maximum age,Births,N0 = N1F1 + N2F2 +N3F3 .+FsNs,Newborns = (Number of age 1 females) times (Fecundity of age 1 females) plus (Number of age 2 females) times (Fecundity of age 2 females) plus Note: fecu

6、ndity here is defined as number of female offspring Also, the term “newborns” may be flexibly defined (e.g., as eggs, newly hatched fry, fry that survive past yolk sac stage, etc.,Mortality,Na,t = Na-1,t-1Sa Another way of putting this is, for age 1 for example: N1,t = N0,t-1S0-1 + N1,t-1 (0) + N2,t

7、-1 (0) + N3,t-1 (0) + ,Number at age in next year = (Number at previous age in prior year) times (Survival from previous age to current age),Leslie Matrix,=,(s+1) x 1 (s+1) x (s+1) (s+1) x 1,Leslie Matrix,=,s x 1 s x s s x 1,Leslie Matrix,=,Nt+1 = A Nt,建立模型与求解,根据以上假设，可得到方程,i=1,2.,-1,建立模型与求解,写成矩阵形式为

8、n(t+1)=L n(t) 记 假设n(0)和矩阵L已经由统计资料给出，则 n(t)=Ltn(0) t=1，2，,其中 L=,建立模型与求解,为了讨论女性人口年龄结构的长远变化趋势，我们先给出如下两个条件： (i) si 0，i=1，2，m-1; (ii) bi0，i=1，2，m，且bi不全为零。 易见，对于人口模型，这两个条件是很容易满足的。 在条件（i）、（ii）下，下面的结果是成立的： 定理1 L矩阵有唯一的单重正特征根 ，且对应的一个特征向量为,定理2 若 是矩阵L 的任意一个特征根，则必有 定理3 若L第一行中至少有两个顺次的bi，bi+10，则 i）若 是矩阵L 的任意一个特征根，

9、则必有 ii） 其中c是与n（0）有关的常数。,由定理3的结论知道，当t充分大时，有 所以当时间充分大时，女性人口的年龄结构向量趋于稳定状态，即年龄结构趋于稳定形态，而各个年龄组的人口数近似地按1的比例增长。可得到如下结论： (i) 当1时，人口数最终是递增的； (ii) 当 1时，人口数最终是递减的； (iii) 当 =1时，人口数是稳定的。,2007全国赛A题：中国人口增长预测,中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测。 近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及

10、乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的国家人口发展战略研究报告(附录1) 还做出了进一步的分析。,2007全国赛A题：中国人口增长预测,关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从中国人口统计年鉴上收集到的部分数据。 试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。 看一看所给的数据！,2007全国赛A题：中国人口增长预测,已有数据包括（分为城市、城镇和乡村三类） 各年龄段

11、男、女性占总人口的比率 各年龄段育龄妇妇女生育率 各年龄段男、女性人口死亡率 题目中涉及的因素还有 总和生育率 人口扶养比 老龄化率 出生人口性别比 人口红利,这些因素之间是什么样的因果关系？ 谁决定了谁？,用什么样的模型来描述这个问题？,题目中给出了2001年到2005年的市、镇和乡人口不同性别的人在该类人口中所占的百分比（），以及死亡率数据和生育率数据 非机理模型：内部机制未知，从外部观测(黑盒模型) 将各年总人口数据进行插值外推得到 这个模型对这个问题合适吗？ 机理模型 差分方程模型：Leslie模型 微分方程模型,用什么样的模型来描述这个问题？,x年龄段t年人口数*该年龄段存活率=x+

12、1年龄段t+1年人口数 若考虑到人口迁移，人口数向量之间有关系 其中的矩阵A即为Leslis矩阵,Leslis矩阵模型,其中B表示出生率，S表示存活率，g表示迁入量 如何计算这些量？这些量是常数吗？,01-05各年龄平均死亡率的变化趋势,01-05年各年龄妇女平均生育率,生育率曲线是常数吗？,如何处理异常数据,2003年的平均生育率与其他组数据有明显差异，将其剔除，其他年曲线基本重合，因此在短期预测时，各年龄妇女生育率可以对各年求平均得到。 2003年：非典影响生育率？ 2003年：羊年 异常数据中有可能包含了没有发现的规律 和教科书上的题目不同，建模竞赛的题目是会包含错误的！因为在建模的过程中我们往往会面对错误的信息和数据！,城乡差别,数据说话 城市与乡村在生育率和死亡率上有显著差别 乡村生育率曲线峰值较城市高，年龄偏小 乡村死亡率比城市提前加速 数据背后的原因：合情、合理的假设和解释 生育率和死亡率是常数吗？ 什么决定了生育率曲线和死亡率曲线的形状？,思考,人口短期预测和长期预测在模型上有什么不同的要求？,