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1、1,收敛定理:,于 f 在点 x 的左、右极限的算术平均值,即,2,1.5.3 Fourier级数的性质,定理1 (贝塞尔(Bessel)不等式) 若函数 f 在,上可积, 则,式.,3,证 令,考察积分,由于,根据Fourier系数公式可得,4,根据Fourier系数公式可得,5,将(3), (4)代入(2)，可得,因而,所以正项级数,的部分和数列有界, 因而它收敛且有不等式(1)成立.,6,推论1 若 f 为可积函数, 则,这个推论称为Riemann引理.,7,证 由于,所以,推论2 若 f 为可积函数,则,8,其中,左边的极限为零.,同样可以证明,显见 与 和 f 一样在 上可积.由推论
2、1,(7),9,当 t = 0 时, 被积函数中的不定式由极限,来确定.,10,证 在傅里叶级数部分和,中, 用傅里叶系数公式代入, 可得,11,分, 再由下 式, 即,由上面这个积分看到,被积函数是周期为 的函数,12,就得到,(8)式也称为 f 的傅里叶级数部分和的积分表达式.,13,现在证明 (收敛定理).重新叙述如下:,于 f 在点 x 的左、右极限的算术平均值,即,14,证 只要证明在每一点 x 处下述极限成立:,即,或证明同时有,15,与,先证明 (10) 式. 对 (9) 式积分后得到,16,又得到,17,从而(10)式可改写为,令,18,取极限得到,所以 在 上可积. 根据定理1和推论2,19,这就证得 (12)式成立, 从而(10)式成立.,用同样方法可证 (11) 也成立.,
