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1、,第二节,二、利用直角坐标计算二重积分,三、利用极坐标计算二重积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分的计算法,第九章,一、曲顶柱体体积的计算,一、曲顶柱体体积的计算,设曲顶柱体的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,同样, 曲顶柱体的底为,则其体积可按如下两次积分计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、利用直角坐标计算二重积分,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X 型区域,则,若D为Y 型区域,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 ,为计算方便,可选择
2、积分序, 必要时还可以交换积分序.,则有,(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域 ,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 计算,其中D 是直线 y1, x2, 及,yx 所围的闭区域.,解法1. 将D看作X型区域, 则,解法2. 将D看作Y型区域, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,及直线,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :,先对 x 积分不行,说明: 有些二次积分
3、为了积分方便, 还需交换积分顺序.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 交换下列积分顺序,解: 积分域由两部分组成:,视为Y型区域 , 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 计算,其中D 由,所围成.,解: 令,(如图所示),显然,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P95,1 (1), (4); 2 (3), (4); 5; 6 (2), (4); 8.,作业,对应有,三、利用极坐标计算二重积分,在极坐标系下, 用同心圆 r =常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,在,内取点,及射线 =常数, 分划区域D 为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即,机动 目录 上页
4、 下页 返回 结束,设,则,特别, 对,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若 f 1 则可求得D 的面积,思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试,答:,问 的变化范围是什么?,(1),(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 计算,其中,解: 在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注:,利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,事实上, 当D 为 R2 时,利用例6的结果, 得,故式成立 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 求球体,被圆柱
5、面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解: 设,由对称性可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,(1) 二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形 :,若积分区域为,则,若积分区域为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,极坐标系情形: 若积分区域为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 计算步骤及注意事项, 画出积分域, 选择坐标系, 确定积分序, 写出积分限, 计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,( 先积一条线, 后扫积分域 ),充分利用对称性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 交换积分顺序,提示: 积分域如图,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,2. 计算,其中D 为由圆,所围成的,及直线,解：,平面闭区域.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P95 11 (2), (4); 13 (3), (4); 14 (2), (3); 15 (1), (4),第三节 目录 上页 下页 返回 结束,
