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1、第二节 概率的直观定义,一.统计概率,频率,在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般来说摆动越小. 这个性质叫做频率的稳定性.,频率稳定性,请看书中P8附表,频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小. 尽管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要 n相当大，频率与概率是会非常接近的.,因此，概率是可以通过频率来“测量”的, 频率是概率的一个近似.,频率,概率,这种稳定性为用统计方法求概率的数值开拓了道路.,出时，人们常取实验次数很大时事件的频率作为概率的估计值，,这种确定概率的方法称为频率方法.,在实际中，当概率不易求,定义1.2.1(概率
2、的统计定义):,设在相同条件下对E重复进行n次试验，其中事件A出现m次。当试验次数n充分大时，事件A出现的频率 的稳定值p, 称为事件A的概率，记为P(A)，即,例如，若我们希望知道某射手中靶的概率，应对这个射手在同样条件下大量射击情况进行观察记录.,若他射击n发，中靶 m发，当n很大时，可用频率m/n作为他中靶概率的估计.,概率的 基本性质：,1.非负性：对任意的随机事件A，有,2.规范性：,A、古典概型,假定某个试验有有限个可能的结果,假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果例如ei，比任一其它结果，例如ej,更有优势，则我们只好认为所有结果在试验中有同等可
3、能的出现机会，即1/N的出现机会.,e1, e2, ，eN ,二.古典概型,常常把这样的试验结果称为“等可能的”.,e1, e2, ，eN,试验结果,称这样一类随机试验为古典概型.,且每个样本点(或者说基本事件)出现的可能性相同 .,则该试验的样本空间,例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全 相同的球. 将球编号为110 ，从中任取一球.,我们用 表示取到 i号球，i =1,2,10 .,10个球中的任一个被取出的机会都是1/10,称这种试验为 有穷等可能随机试验 或古典概型.,定义1.2.2 (概率的古典定义) 若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点； (2)
4、 每个样本点出现的可能性相同.,B、古典概型中事件概率的计算,记 A=摸到2号球 P(A)=?,P(A)=1/10,记 B=摸到红球 P(B)=?,P(B)=6/10,2,这里实际上是从“比例” 转化为“概率”,记 B=摸到红球 P(B)=6/10,静态,动态,当我们要求“摸到红球”的概率时，只要找出它在静态时相应的比例.,这样就把求概率问题转化为计数问题 .,定义2 设试验E是古典概型, 其样本空间S由n个样本点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则定义事件A的概率为：,称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法 称为古典方法 .,排列组合是计算古典概率的重要工具 .,这里我们先简要复习一下
5、计算古典概率所用到的,1. 加法原理,设完成一件事有m种方式，,第一种方式有n1种方法，,第二种方式有n2种方法,；,第m种方式有nm种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，,则完成这件事总共 有n1 + n2 + + nm 种方法 .,例如，某人要从甲地到乙地去,甲地,乙地,可以乘火车,也可以乘轮船.,火车有两班,轮船有三班,乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?,3 + 2 种方法,回答是,2. 乘法原理,设完成一件事有m个步骤，,第一个步骤有n1种方法，,第二个步骤有n2种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事，,例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？,可以有
6、种打扮,加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列组合公式的基础 .,C、排列、组合的几个简单公式,排列和组合的区别：,顺序不同是 不同的排列,3把不同的钥匙的6种排列,而组合不管 顺序,从3个元素取出2个 的排列总数有6种,从3个元素取出2个 的组合总数有3种,1)、从n个不同元素取 k个 （1 k n)的不同排列总数为：,2）、k = n时称为全排列,排列、组合的几个简单公式,1、排列:,例如：n=4, k =3,第1次选取,第2次选取,第3次选取,3）、从n个不同元素取 k个（允许重复） （1 k n)的不同排列总数为：,例如：从装
7、有4张卡片的盒中 有放回地摸取3张,共有4.4.4=43种可能取法,2、组合: 从n个不同元素取 k个 （1 k n)的不同组合总数为：,你能证明吗？,组合系数 又常称为二项式系数，因为 它出现在下面的二项式展开的公式中：,3、组合系数与二项式展开的关系,4、n个不同元素分为k组，各组元素数目分别为r1,r2,rk的分法总数为,n个元素,因为,请回答：,对排列组合，我们介绍了几个计算公式？,排列： 选排列，全排列，,下面我们就用这些公式来计算.,分组分配.,组合；,允许重复的排列 ;,D、古典概率计算举例,例1 把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒
8、中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词：,C,I,S,N,C,E,E,拼成英文单词SCIENCE 的情况数为,故该结果出现的概率为：,这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在1260次试验中大约出现1次 .,解：七个字母的排列总数为7！,这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这是魔术.,具体地说，可以99.9%的把握怀疑这是魔术.,解：,=0.3024,允许重复的排列,问：,错在何处？,例2 某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字
9、中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.,计算样本空间样本点总数和所求事件 所含样本点数计数方法不同.,从10个不同数字中 取5个的排列,例3 设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.,这是一种无放回抽样.,解：令B=恰有k件次品 P(B)=？,次品,正品,M件次品,N-M件 正品,解：把2n只鞋分成n堆,每堆2只的分法总数为,而出现事件A的分法数为n!,故,例4 n双相异的鞋共2n只，随机地分成n堆，每堆2只 . 问:“各堆都自成一双鞋”(事件A)的概率是多少？,“等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事
10、件或样本点是等可能的.,1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件.,需要注意的是：,在许多场合，由对称性和均衡性，我们就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率.,2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏.,例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？,下面的算法错在哪里？,错在同样的“4只配成两双”算了两次.,从5双中取1双，从剩 下的 8只中取2只,例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？,正确的答案是：,请思考： 还有其它解法吗？,2、在用排列
11、组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏.,3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：,有n个人，每个人都以相同的概率 1/N (Nn)被分在 N 间房的每一间中，求指定的n间房中各有一人的概率.,(参见书中P10例1.2.5),3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：,有n个旅客，乘火车途经N个车站，设每个人在每站下车的概率为1/ N(N n) ，求指定的n个站各有一人下车的概率.,3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：,某城市每周发生7次车祸，假设每天发生车祸的概率相同. 求每天恰好发生一次车祸的概率.,你还可以举出其它例子，留作课下练习.,早在概率
12、论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的.,把等可能推广到无限个样本点场合,人们引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另一方法几何方法.,三、几 何 概 率,几何概型的特点：,1、有限区域、无限样本点： 试验的所有可能结果为无穷多个样本点， 但其样本空间表现为某一几何区域（直 线、平面或三维空间）时为有限区域。,2、等可能性： 试验中各基本事件出现的可能性相同， 且任意两个基本事件不可能同时发生。,例如：在一个面积为的区域随机地投掷一点 M,即点M落在中的任意位置都是等可能的，求点M落入内的区域A的概率。,此为几何概型。,求法：,（*）,几何方法的要点是：,1、向
13、区域上随机投掷一点，这里“随机投掷一点”的含义是指该点落入 内任何部分区域内的可能性只与这部分区域的面积成比例，而与这部分区域的位置和形状无关.,2、假如样本空间可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向上随机投掷一点的含义如前述，则事件A的概率仍可用（*）式确定，只不过把面积改为长度或体积即可.,定义1.2.3(概率的几何定义),在几何概型试验中，设样本空间为，事件 ，则事件A发生的概率为,其中几何度量指长度、面积、体积等。,例1 某人打开收音机，想听电台整点报时，问他等待的时间小于1刻钟的概率是多少？,例2 甲、乙两人相约7点至八点之间在某地会面，先到者等候另一个20分钟，过时方可离去。若每人可在指定的一小时内任意时刻到达，计算两人能够会面的概率。,实际上，许多随机试验的结果并不都是有限个，而且，即使是有限个，也未必是等可能的.,而几何方法的正确运用，有赖于“等可能性”的正确规定.,
