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1、University Physics,6.2 绕定轴转动刚体的动能 动能定理,一. 转动动能,z,O,设系统包括有 N 个质量元,刚体的总动能,P,二. 力矩的功,三. 转动动能定理,刚体的机械能,刚体重力势能,刚体的机械能,质心的势能,刚体的机械能守恒,对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立,图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体A装在转动架上，转轴Z上装一半径为r 的轻鼓轮，绳的一端缠绕在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为 m 的重物。重物下落时，由绳带动被测物体 A 绕 Z 轴转动。今测得重物由静止下落一段距离 h，所用时间为t，,例1,解,分析（机械能）：,求 物体A
2、对Z 轴的转动惯量Jz。设绳子不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴处的摩擦力矩忽略不计。,若滑轮质量不可忽略，怎样？,机械能守恒,例2 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置,解,由动能定理,求 它由此下摆 角时的 ,一. 质点动量矩 (角动量)定理和动量矩守恒定律,1. 质点的动量矩(对O点),其大小,(1) 质点的动量矩与质点的动量及位矢(取决于固定点的选择)有关,特例：质点作圆周运动,6.3 动量矩和动量矩守恒定律,说明,O,S,惯性参照系,(2) 当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点O 的动量矩也称为质点对过O 垂直于运动平面的轴
3、的动量矩,(3) 质点对某点的动量矩,在通过该点的任意轴上的投影就等于质点对该轴的动量矩,例1,一质点m，速度为v，如图所示，A、B、C 分别为三个参考点,此时m 相对三个点的距离分别为d1 、d2 、 d3,求 此时刻质点对三个参考点的动量矩,解,m,z,a,O,a,x,解,R,定义,L,L,质点系对 O 点的 L大小为,例2 两个质量均为 m 的质点，用一根长为 2 a 的质量可忽略不 计的轻杆连接，构成质点系。,求质点系对固定点 O 的动量矩？,当两质点绕一固定轴 z 转动时，,角速度为 。,L,R,(质点动量矩定理的积分形式),(质点动量矩定理的微分形式),质点所受合力矩的冲量矩等于质
4、点的动量矩的增量,2. 质点的动量矩定理,说明,(1) 冲量矩是质点动量矩变化的原因,(2) 质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果,3. 质点动量矩守恒定律,质点动量矩守恒定律,(2) 通常对有心力：,例如 由动量矩守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律,(1) 动量矩守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，且在高速低速范围均适用,讨论,行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积,过O点,M=0,动量矩守恒,例1 质点绕定点运动，如图示。,O,F,求 F 所做的功？,解,作用在质点上的力对 O 点 的力矩为零,质点的动量矩守恒,外力作正功,m,合力矩的方向与
5、动量矩的方向是否一致，若不一致， 与？一致呢,思考,当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度v 0发射一,求 角及着陆滑行的初速度多大？,解,引力场（有心力）,质点的动量矩守恒,系统的机械能守恒,例2 发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M 、半径为 R 的行星，,质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面,二.质点系的动量矩定理和动量矩守恒定律,质点系对参考点O 的动量矩就是质点系所有质点对同一参考点的动量矩的矢量和,记质点系质心 C 的位置矢量为,，速度为,。对第 i 个质,，则,点，设其相对于质心的位置矢量为,，速度为,1. 质点系的动量矩,(1) 质点系的动量矩(角动量)可分为两
6、项,第一项：只包含系统的总质量、质心的位矢和质心的速度,轨道角动量,第二项：是质点系各质点相对于质心的角动量的矢量和,自旋角动量,说明,(2) 质点系的轨道角动量等于质点系的全部质量集中于质心 处的一个质点对于参考点的角动量。它反映了整个质点 系绕参考点的旋转运动,(3) 质点系的自旋角动量是以质心为参考点的角动量。与质心运动无关。它只代表系统的内禀性质,2. 质点系的动量矩定理,微分形式,积分形式,质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系动量矩的增量,质点系的内力矩不能改变质点系的动量矩,说明,3. 质点系动量矩守恒定律,对质点系,三. 刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律,1. 刚体定轴转
7、动的动量矩,刚体上任一质点对 Z 轴的动量矩都具有相同的方向,O,(所有质元的动量矩之和),如果作用在质点系合外力矩沿某轴的投影为零,则沿此轴动量矩守恒,如,2. 刚体定轴转动的动量矩定理,由转动定律,（动量矩定理积分形式）,定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量,(1) 变形体绕某轴转动时，若其上各点(质元)转动的角速度相同，则变形体对该轴的动量矩,说明,3. 刚体定轴转动的动量矩守恒定律,对定轴转动刚体,当变形体所受合外力矩为零时，变形体的动量矩也守恒,如：花样滑冰 跳水 芭蕾舞等,例1 质量为 M，半径为 R 的水平均匀圆盘可绕通过中心的光滑竖直轴自由转动。,在盘边缘上站有一
8、质量为 m 的人，,都相对地面静止。,当人沿盘边走了一周时，盘对地面转过角度？,M,R,O,m,x,解,盘与人组成系统，,人走动时，,系统对竖直轴的外力矩为零,系统动量矩守恒,人行走一周,二者最初,四、动量矩守恒定律应用举例, 刚体绕定轴转动 动量矩守恒定律, 质点绕定点转动 动量矩守恒定律,例2 一质量为 m 的小球，以速度 u 竖直落到直棒的端点，与棒,作完全弹性碰撞，,求小球回跳速度和棒绕轴转动的角速度？,m,u,M,2l,O,解：,碰前、碰后角动量守恒：,碰前碰后的动能守恒,系统动量不守恒,回跳速度,细棒的旋转角速度：,例3 冲击摆测定子弹的速度。,已知摆的质量为 M ，对固定轴,的转
9、动惯量 J，子弹的质量为 m，,子弹射入后，摆的最大角度,为 ，,求子弹的速度？,解：,d,L,C,v,m, 系统机械能守恒：,重力势 能零点,系统总动 量不守恒,O, 系统的动量守恒？, 系统动量矩守恒：,例4 一力学系统，如图示。,已知：子弹和小球的质量均为 m , 弹,簧的劲度系数为 k 。,求小球末态速度？,O,m,k,解：, 初态，子弹速度,弹簧为原长, 末态，系统速度,弹簧长度为, 系统动量守恒：, 系统机械能守恒：,m, 系统动量矩守恒：, 注意：三种守恒定律成立的条件 !,一长为 l 的匀质细杆，可绕通过中心的固定水平轴在铅垂面内自由转动，开始时杆静止于水平位置。一质量与杆相同
10、的昆虫以速度 v0 垂直落到距点 O l/4 处的杆上，昆虫落下后立即向杆的端点爬行，如图所示。若要使杆以匀角速度转动,O,r,昆虫落到杆上的过程为完全非弹性碰撞,对于昆虫和杆构成的系统，合外力矩为零，动量矩守恒,例5,解,求 昆虫沿杆爬行的速度。,使杆以匀角速度转动,代入得,转动定律,其中,质心运动定律,转动定律, 思考题：,如图示，将一质量为 m 的长杆用细绳从两端水平地挂起，其中一根绳子突然断了，另一根绳子内的张力是多少？,m,l,应用动量矩守恒定律的基本思路：, 系统划分, 受力（力矩）分析, 转动惯量的计算, 列守恒方程, 问题,两质量分别为 m 与 M 的小球，位于一固定的、半径为,R 的水平光滑圆形沟槽内。一轻弹簧被压缩在两球之间，用线将 两球束缚，并使之静止。,（1）将线剪断，两球被弹开后沿相反方向在 槽内运动，M 转过多大角度可与 m 相碰？,（2）原来储存在被压缩弹簧中的势能为 U，线 断后, 两球经过多长时间发生碰撞？,R,四. 进动,高速自转的陀螺在陀螺重力对支点O 的力矩作用下发生进动,陀螺的动量矩近似为,动量矩定理,当,时,则,只改变方向，不改变大小(进动), 进动角速度,而且,所以,以上只是近似讨论，只适用高速自转，即,动量矩定理,
