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1、第三章 时域分析法,3-1 系统的时域性能指标3-2 一阶系统的时域分析3-3 二阶系统的时域分析 3-4 高阶系统的时域分析3-5 线性系统的稳定性分析3-6 线性系统的稳态误差计算,概述分析控制系统的第一步是建立系统的数学模型，然后即可采用各种方法对系统进行分析或设计。由于多数控制系统是以时间作为独立变量，所以人们往往关心状态及输出对时间的响应。对系统外施一给定输入信号，通过研究系统的时间响应来评价系统的性能，就是控制系统的时域分析。,3-1 系统的时域性能指标,基本概念时域分析法【含义】在时间域内研究控制系统性能的方法【分析方法】通过拉氏变换直接求解系统的微分方程得到系统的（单位阶跃）时
2、间响应，根据响应表达式和响应曲线分析系统的动态性能和稳态性能典型输入信号【引入目的】便于对系统进行分析，设计和比较，根据系统常遇到的输入信号形式，在数学描述上加以理想化的一些基本输入函数，称为典型输入信号。【实例】单位阶跃、单位斜坡（速度）函数、单位加速度（抛物线）函数、单位脉冲函数和正弦函数。,瞬态响应【含义】指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。又称动态过程或过渡过程。【应用】分析系统稳定性、响应速度及阻尼情况等。稳态响应【含义】指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，系统输出量的表现方式。稳态响应又称稳态过程。【应用】分析系统稳态误差。,稳定性【含
3、义】若控制系统在初始条件或扰动影响下，其瞬态响应随着时间的推移而逐渐衰减并趋于零，则称系统稳定；反之，不稳定。控制系统能在实际中应用，其首要条件是保证系统具有稳定性。稳定性取决于系统本身的结构和参数，与外加信号无关。误差和稳态误差控制系统在输入信号的作用下，其输出量中包含瞬态分量和稳态分量。对于稳定的系统，瞬态分量随时间的推移而逐渐消失，稳态分量则从输入信号加入的瞬时起就始终存在，其表现方式就是稳态响应。稳态响应反映了控制系统跟踪输入信号或抑制扰动信号的能力和精度。这种能力或精度称为系统的稳态性能。一个系统的稳态性能是以系统响应某些典型输入信号时的稳态误差来评价的。,动态性能指标上升时间tr【
4、振荡】响应曲线从0首次上升到稳态值h()所需时间。【无振荡】从稳态值的10%上升到90%所需时间。峰值时间tp响应曲线超过稳态值h()达到第一个峰值所需时间。调节时间ts在稳态值h()附近取一误差带，通常取响应曲线开始进入并保持在误差带内所需的最小时间,超调量%响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值之比超调量表示系统响应过冲的程度，超调量大，不仅使系统中的各个元件处于恶劣的工作条件下，而且使调节时间加长。振荡次数N 在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值次数的一半。,tr和tp表示控制系统反映输入信号的快速性。,%和N反映系统动态过程的平稳性。即系统的阻尼程度。,ts是同时反映响应速度和阻尼程度的
5、综合性指标。,除简单的一,二阶系统外,要精确确定这些动态指标的解析表达式是很困难的。,一阶系统 (s) 标准形式及 h(s),3-2 一阶系统的时域分析,一阶系统动态性能指标计算,T=1，2，5，10时一阶系统的仿真曲线,=0，没有超调，为非周期响应，惯性环节亦称非周期环节。 （5%）, （2% ）T越小，系统快速性越好,例1系统如图所示，现采用负反馈方式，欲将系统调节时间减小到原来的0.1倍，且保证原放大倍数不变，试确定参数 Ko 和 KH 的取值。解 ，闭环系统应满足,3.2.3 一阶系统的典型响应,r(t) R(s) C(s)= F(s) R(s) c(t) 一阶系统典型响应 d(t)
6、1 1(t) t,一阶系统的典型响应,例2已知单位反馈系统的单位阶跃响应 ，试求 G(s)。解,例3一阶系统的结构图如图所示，若kt=0.1，试求系统的调节时间ts，如果要求ts0.1秒。试求反馈系数应取多大？,解系统的闭环传递函数,一阶系统问题求解思路根据题意求出系统闭环传递函数（输入输出传递函数）抓住性能指标与时间常数T之间关系求解。,二阶系统的数学模型位置随动系统,3-3 二阶系统的时域分析,二阶系统传递函数的标准形式为系统的阻尼比; 为无阻尼振荡频率，简称固有频率（也称自然振荡频率）;闭环特征方程;闭环传递函数的极点（特征根） 。,当=0时，系统有一对共轭纯虚根，称为无阻尼或零阻尼状态
7、。当01时，特征方程具有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态。,二阶系统的单位阶跃响应过阻尼（1）情况,当系统的输入信号为单位阶跃函数时系统输出,【注】过阻尼二阶系统看作两个时间常数不同的一阶系统的串联。,【注】过阻尼二阶系统起始速度小，然后上升速度逐渐加大，到达某一值后又减小，响应曲线不同于一阶系统。过阻尼二阶系统的动态性能指标主要是调节时间ts，根据公式求ts的表达式很困难，一般用计算机计算出的曲线确定ts。,临界阻尼（1）情况,【注】过阻尼包括临界阻尼时，二阶系统的响应较缓慢，实际控制系统一般不采用过阻尼系统。,欠阻尼（ 01 ）情况为衰减系数为阻尼振荡频率 为无阻尼振荡频率或固有频率，自
8、然振荡频率,欠阻尼系统是现实中最多也是我们最感兴趣的系统。,角的定义,【注】欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线是按指数规律衰减到稳定值的，衰减速度取决于特征值负实部 的大小，而衰减振荡的频率，取决于特征根虚部 的大小。,越大，超调量%越小，响应的振荡性越弱，平稳性越好；反之，越小，振荡性越强，平稳性越差。当0时，系统的零阻尼响应为若过大，如 ，系统响应迟缓，调节时间ts长，快速性差；若过小，虽然响应的起始速度较快，tr和tp小，但振荡强烈，响应曲线衰减缓慢，调节时间ts亦长。,欠阻尼二阶系统动态过程分析延迟时间td的计算当 ，近似有,上升时间tr,当 一定时，越小，tr越小当 一定时， 越大，t
9、r越小,峰值时间tp对c(t)求导数，得,当 一定时，越小，tp越小当 一定时， 越大，tp越小,超调量%,超调量是阻尼比的函数，与无阻尼振荡频率 的大小无关,%与的关系曲线,增大，%减小通常为了获得良好的平稳性和快速性，阻尼比取在0.4-0.8之间,相应的超调量25%-2.5%,调节时间ts ts？ 当0.8时(经验公式,有误差),振荡次数N 在调节时间内,响应曲线穿越其稳态值次数的一半。为阻尼振荡的周期,例1已知单位反馈系统的开环传递函数为设系统的输入量为单位阶跃函数,试计算放大器增益KA=200时,系统输出响应的动态性能指标。当KA增大到1500时或减小到13.5,这时系统的动态性能指标
10、如何?解系统的闭环传递函数为,根据欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算公式,可以求得,由此可见,KA越大, 越小, 越大,tp越小,%越大,而调节时间ts无多大变化。,系统工作在过阻尼状态,峰值时间,超调量和振荡次数不存在,而调节时间可将二阶系统近似为大时间常数T的一阶系统来估计或在响应曲线上求得。,KA增大， tp减小， tr减小，可以提高响应的快速性，但超调量也随之增加，仅靠调节放大器的增益，即比例调节，难以兼顾系统的快速性和平稳性，为了改善系统的动态性能，可采用比例微分控制或速度反馈控制，即对系统加入校正环节。,n,例2下图表示引入了一个比例微分控制的二阶系统,系统输出量同时受偏差信号 和偏
11、差信号微分 的双重控制。试分析比例微分校正对系统性能的影响。解系统的开环传递函数为,系统闭环传递函数 等效阻尼比,【分析】 引入微分校正后，增大了系统的阻尼比，但不改变系统的无阻尼振荡频率wn和开环增益k。使系统动态过程的超调量下降，调节时间缩短，但并不影响系统的稳态精度。比例微分控制使系统增加了一个闭环零点s=-1/Td，前面给出的计算动态性能指标的公式不再适用。由于稳态误差与开环增益成反比，因此适当选择开环增益和微分器的时间常数Td, 既可减小稳态误差，又可获得良好的动态性能。对抑制噪声不利。,例3 上图是采用了速度反馈控制的二阶系统。试分析速度反馈校正对系统性能的影响。解系统的开环传递函
12、数为,为引入速度反馈开环增益 ,比原系统开环增益有所减小,增大了稳态误差,因此降低了系统的稳态精度。,闭环传递函数 显然 ，所以速度反馈可以增大系统的阻尼比，不改变无阻尼振荡频率wn，因此，速度反馈可以改善系统的动态性能。 在应用速度反馈校正时，应适当增大原系统的开环增益，以补偿速度反馈引起的开环增益减小，同时适当选择速度反馈系数kt ，使阻尼比在适当范围，在减小系统的超调量的同时，提高系统的响应速度，使系统各项性能指标满足要求。,例4实验测得二阶系统的单位阶跃响应c(t)如下图所示，试根据已知的单位阶跃响应c(t)，计算系统性能及 值。,例5 设系统结构图如图所示，若要求系统具有性能指标 ，
13、试确定系统参数K和 ，并计算单位阶跃响应的 。解由图知，系闭环传递函数为,与传递函数标准形式相比，可得再由峰值时间计算式，算出从而解出,由于所以若取误差带 ，则调节时间为,二阶系统问题求解思路根据题意求出系统闭环传递函数（输入输出传递函数）抓住性能指标与 之间关系求解。,3-4 高阶系统的时域分析,定义 高于二阶的常微分方程所描述的系统，或闭环传递函数中分母的最高次幂大于2的系统，叫做高阶系统。设高阶系统的闭环传递函数为分解因式，写为零极点形式,极点,可以是实数,也可以是复数 零点,可以是实数,也可以是复数 令r(t)=1(t)，即所有极点均为实数,若有r对共轭复数极点及q个实极点 阶跃响应为
14、一阶和二阶系统的时间响应组成，高阶系统比较复杂,一般用近似分析方法,即利用主导极点，它对瞬态响应起主要作用。,3-5 线性系统的稳定性分析,稳定性的基本概念如小球平衡位置b点,受外界扰动作用,从b点到 点，外力作用去掉后,小球围绕b点作几次反复振荡,最后又回到b点,这时小球的运动是稳定的。如小球的位置在a或c点,在微小扰动下,一旦偏离平衡位置,则无论怎样,小球再也回不到原来位置,则是不稳定的。,定义 若系统在初始偏差作用下,其过渡过程随时间的推移,逐渐衰减并趋于零,具有恢复平衡状态的性能,则称该系统为渐近稳定,简称稳定。反之为不稳定。系统的初始偏差是指扰动消失时系统与平衡位置的偏差。线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构参数,而与外作用及初始条件无关,是系统的固有特性。,
