《周髀算经》中勾股定理的公式与证明首先，《周髀算经》中明确记载了勾股定理的公式：“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，得邪至日”（《周髀算经》上卷二）而勾股定理的证明呢，就在《周髀算经》上卷一[2] ——昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一故折矩，以为句广三，股修四，径隅五既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五两矩共长二十有五，是谓积矩故禹之所以治天下者，此数之所生也周公对古代伏羲（包牺）构造周天历度的事迹感到不可思议（天不可阶而升，地不可得尺寸而度），就请教商高数学知识从何而来于是商高以勾股定理的证明为例，解释数学知识的由来 “数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一解释发展脉络——数之法出于圆（圆周率三）方（四方），圆出于方（圆形面积=外接正方形*圆周率/4），方出于矩（正方形源自两边相等的矩），矩出于九九八十一（长乘宽面积计算依自九九乘法表）故折矩①，以为句广三，股修四，径隅五开始做图——选择一个 勾三（圆周率三）、股四（四方） 的矩，矩的两条边终点的连线应为 5（径隅五）。
②既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五这就是关键的证明过程——以矩的两条边画正方形（勾方、股方），根据矩的弦外面再画一个矩（曲尺，实际上用作直角三角），将“外半其一矩”得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形，可看到其中有 边长三勾方、边长四股方、边长五弦方 三个正方形两矩共长③二十有五，是谓积矩此为验算——勾方、股方的面积之和，与弦方的面积二十五相等——从图形上来看，大正方形减去四个三角形面积后为弦方，再是 大正方形 减去 右上、左下两个长方形面积后为 勾方股方之和因三角形为长方形面积的一半，可推出 四个三角形面积 等于 右上、左下两个长方形面积，所以 勾方+股方=弦方注意： ① 矩，又称曲尺，L 型的木匠工具，由长短两根木条组成的直角古代“矩”指 L 型曲尺，“矩形”才是“矩”衍生的长方形 ② “既方之，外半其一矩”此句有争议清代四库全书版定为“既方其外半之一矩”，而之前版本多为“既方之外半其一矩”经陈良佐[3]、李国伟[4]、李继闵[5]、曲安京[1]等学者研究，“既方之，外半其一矩”更符合逻辑③ 长指的是面积古代对不同维度的量纲比较，并没有发明新的术语，而统称“长”赵爽注称:“两矩者, 句股各自乘之实。
共长者, 并实之数由于年代久远，周公弦图失传，传世版本只印了赵爽弦图（造纸术在汉代才发明）所以某些学者误以为商高没有证明（只是说了一段莫名其妙的话），后来赵爽才给出证明其实不然，摘录赵爽注释《周髀算经》时所做的《句股圆方图》[2]——“句股各自乘, 并之为弦实, 开方除之即弦案: 弦图又可以句股相乘为朱实二, 倍之为朱实四, 以句股之差自相乘为中黄实, 加差实亦成弦实注意“案”中的“弦图又可以”、“亦成弦实”，“又”“亦”二字表示赵爽认为勾股定理还可以用另一种方法证明，于是他给出了新的证明赵爽弦图注意中间的中黄实参考资料： 1. 曲安京: 商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明. 刊於《数学传播》20 卷, 台湾, 1996 年 9 月第 3 期, 20-27 页 2. 周髀算经, 文物出版社,1980 年 3 月, 据宋代嘉定六年本影印,1-5 页 3. 陈良佐: 周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系. 刊於《汉学研究》, 1989 年第 7 卷第 1 期, 255-281 页 4. 李国伟: 论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章. 刊於《第二届科学史研讨会汇刊》, 台湾, 1991 年 7 月， 227-234 页。
5. 李继闵: 商高定理辨证. 刊於《自然科学史研究》,1993 年第 12 卷第 1 期,29-41 页 。