《可测函数的收敛性(3)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《可测函数的收敛性(3)(16页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节 可测函数的收敛性,第四章 可测函数,函数列的几种收敛定义,一致收敛:,注:近似地说一致收敛是函数列 收敛慢的程度能有个控制 近似地说一致连续是函数图 象陡的程度能有个控制,点点收敛: 记作,例:函数列 fn(x)=xn , n=1,2, 在(0,1)上处处收敛到 f(x)=0,但不一致收敛, 但去掉一小测度集合 (1-,1),在留下的集合 上一致收敛,fn(x)=xn,几乎处处收敛: 记作 (almost everywhere),即:去掉某个零测度集,在留下的集合上处处收敛,即:去掉某个小(任意小)测度集,在留下的集合上一致收敛,几乎一致收敛:记作 (almost uniformly)
2、,依测度收敛: 记作,注:从定义可看出, 几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛(除一零测度集外) 依测度收敛并不 指出函数列在哪个点上的收敛,其要点在于误差超过的点所成的集的测度应随n趋于无穷而趋于零,而不论点集的位置状态如何,不依测度收敛,依测度收敛,几种收敛的区别,说明:当n越大,取1的点越多,故fn(x)在R+上处处收敛于1,(1)处处收敛但不依测度收敛,在R+上处处收敛于 f(x)=1 ,所以fn(x)在R+上不依测度收敛于1,另外fn不几乎一致收敛于1,fn不几乎一致收敛于f,几乎一致收敛:记作 (almost uniformly),即:去掉某个小(任意小)测度集,在留下的集合上一
3、致收敛,即:去掉 测度集,在留下的集合上仍不一致收敛,任意 ( ),适当小,小,fn不几乎一致收敛于f,即:去掉任意小(适当小)测度集,在留下的集合上仍不一致收敛,(2)依测度收敛但处处不收敛,依测度收敛但处处不收敛, 取E=(0,1, n=2k+i,0i2k,k=0,1,2,3,说明:对任何x(0,1 , fn(x)有两个子列,一个恒为1, 一个恒为0,所以fn(x)在(0,1上处处不收敛;,例:函数列fn(x)=xn 在(0,1)上处处收敛到 f(x)=0,但不一致收敛, 但去掉一小测度集合 (1-,1),在留下的集合 上一致收敛,收敛的联系(叶果洛夫定理的引入),三种收敛的联系,即:去掉某个小(任意小)测度集,在留下的集合上一致收敛,几乎处处收敛与几乎一致收敛(叶果洛夫定理) 设mE+,fn ,f在E上几乎处处有限且可测,,(即:可测函数列的收敛 “基本上”是一致收敛),引理:设mE+,fn ,f在E上几乎处处有限且可测,,证明:由于 为零测度集, 故不妨令 fn ,f在E上处处有限,从而有:,几乎处处收敛与依测度收敛(Lebesgue定理),设mE+,fn ,f在E上几乎处处有限且可测,,