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1、,第 二 章,逻辑代数基础,在数字电路中，主要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，因此数字电路又称逻辑电路，其研究工具是逻辑代数（布尔代数或开关代数）。,逻辑变量：用字母表示，取值只有0和1。 此时，0和1不再表示数量的大小， 只代表两种不同的状态。,2.1 概述,一、与逻辑（与运算）,例：开关A，B串联控制灯泡Y,A、B都断开，灯不亮。,A断开、B接通，灯不亮。,A接通、B断开，灯不亮。,2.2 逻辑代数中的三种基本运算,功能表,将开关接通记作1，断开记作0；灯亮记作1，灯灭记作0。可以作出如下表格来描述与逻辑关系：,真值表,两个开关均接通时，灯才会亮。逻辑表达式为：,实现与逻辑的电路称为
2、与门。 与门的逻辑符号：,二、或逻辑（或运算）,两个开关只要有一个接通，灯就会亮。逻辑表达式为：,功能表,真值表,+,实现或逻辑的电路称为或门。 或门的逻辑符号：,Y=A+B,三、非逻辑（非运算）,功能表,真值表,实现非逻辑的电路称为非门。 非门的逻辑符号：,YA,常用的逻辑运算,1、与非运算： 逻辑表达式为：,2、或非运算： 逻辑表达式为：,3、异或运算：逻辑表达式为：,相同为0，不同为1,异或逻辑的运算规则：,00=,0,01=,1,10=,1,0,11=,A0=,A1=,AA=,AA=,A,A,1,0,4、同或运算：逻辑表达式为：,AB,异或和同或互为反运算,相同为1，不同为0,同或逻辑
3、的运算规则：,0 0=,1,0 1=,0,1 0=,0,1,1 1=,A 0=,A 1=,A A=,A A=,A,A,1,0,5、 与或非运算：逻辑表达式为：,2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式,一、基本公式,请特别注意与普通代数不同之处,1.常量之间的关系,2.基本公式,分别令A=0及A=1代入这些公式，即可证明它们的正确性。,亦称 非非律,3.基本定理,利用真值表很容易证明这些公式的正确性。如证明AB=BA：,求证: （17式） A+BC=(A+B)(A+C),证明:,右边 =(A+B)(A+C),=AA+AB+AC+BC,=A +A(B+C)+BC,=A(1+B+C)+BC,=A 1+
4、BC,=A+BC,=左边,课本上用真值表证明,二、常用公式,1. A+AB =,A(A+B)= A(A+B)=,A,A+B A+B,AB AB,证明:,A+AB =(A+A) (A+B) ;分配律 =1(A+B) =A+B,A+BC=(A+B)(A+C),3. AB+AB =,4. A(A+B )=,证明: A(A+B )=AA+AB =A+AB =A(1+B) =A,(A+B ) (A+B )=,注: 红色变量被吸收掉！也称 吸收律,A,A,A,5. AB+AC+BC =,证明:,AB+AC+BC =AB+AC+(A+A)BC =AB+AC+ABC+ABC =AB(1+C) +AC(1+B)
5、 =AB +AC,AB+AC+BCD =,AB+AC,AB+AC,冗余定律或 多余项定理 或包含律,(A+B)(A+C)(B+C) =,(A+B)(A+C),(A+B)(A+C)(B+C+D) =,(A+B)(A+C),冗余定律或多余项定理的其他形式,同理：此多余项可以扩展成其他形式,证明:,A(AB) =A(A+B) =AA+AB = AB,A(AB) =A(A+B) =AA+AB = A(1+B) =A,AB,A,一、代入定理,任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入定理。,例如，已知等式 ，用函数Y=BC代替等式中的B，根据
6、代入定理，等式仍然成立，即有：,2.4 逻辑代数的基本定理,二、 反演定理,对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中 的所有“”换成“”，“”换成“”，“0” 换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量， 反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是函 数Y的反函数Y（或称补函数）。这个规则称为反 演定理。,应用反演定理应注意两点：,1、保持原来的运算优先顺序，即如果在原函数表 达式中，AB之间先运算，再和其它变量进行 运算， 那么非函数的表达式中，仍然是AB之 间先运算。 2、不属于单个变量上的反号应保留不变。,三、 对偶定理,对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“”换成“”，“”
7、换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，而变量保持不变，则可得到的一个新的函数表达式 YD, YD称为Y的对偶式。,对偶定理：如果两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。,利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。,（2）式,（12）式,2.5 逻辑函数及其表示方法,一、逻辑函数,如果以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，当输入变量的取值确定之后，输出的取值便随之而定。输出与输入之间的函数关系称为逻辑函数。Y=F(A,B,C,),二、逻辑函数表示方法,常用逻辑函数的表示方法有：逻辑真值表（真值表）、逻辑函数式（逻辑式或函数式）、逻辑图、波形图、卡诺图及硬件描述语言。它们之间可
8、以相互转换。,例：一举重裁判电路,设A、B、C为1表示开关闭合，0表示开关断开； Y为1表示灯亮，为0表示灯暗。得到函数表示形式：,真值表,函数式,逻辑图,波形图,1、真值表：将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。,一输入变量，二种组合,二输入变量，四种组合,三输入变量，八种组合,四输入变量，16种组合,请注意,n个变量可以有2n个组合，一般按二进制的顺序，输出与输入状态一一对应，列出所有可能的状态。,3、逻辑函数式,把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式，即逻辑代数式，又称为逻辑函数式，通常采用“与或”的形式。,比如：,4、逻辑图：,把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表
9、示出来。,5、各种表示方法之间的相互转换,1）、真值表逻辑函数式,方法:将真值表中为1的项相加,写成 “与或式”。,2）、逻辑式真值表,方法:将输入变量取值的所有组合状态逐一带入逻辑式求函数值,列成表即得真值表。,例2.5.2,0,1,1,1,1,1,1,0,3）、逻辑式逻辑图,方法:用图形符号代替逻辑式中的运算符号,就可以画出逻辑图.,例2.5.3,4）、逻辑图逻辑式,方法:从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式，即得到对应的逻辑函数式.,5）、波形图真值表,0,1,1,0,0,1,0,1,1、最小项:,在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这n个变量都以原变量或反变
10、量的形式在m 中出现，且仅出现一次，则这个乘积项m称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。,3个变量A、B、C可组成 8(23)个最小项：,4个变量可组成 16(24)个最小项,记作m0m15。,三、逻辑函数的两种标准形式,编号方法：使最小项值为1的二进制编码对应的十进制数作为该最小项的编号。,若两个最小项仅有一个因子不同，则称这两个最小项具有相邻性。例： 和 ，这两个最小项相加时能合并，并可消去1个因子。,最小项的性质:,任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。,任意两个不同的最小项的乘积必为0。,全部最小项的和必为1。,具有相邻性的两个最小项可以合并，并消去一对因子。,只有一个因子不
11、同的两个最小项是具有相邻性的最小项。,例如:,将它们合并，可消去因子:,= BC,ABC 和 ABC 具有逻辑相邻性。,ABC+ABC =,(A+A) BC,任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式。,逻辑函数的最小项表达式,对于不是最小项表达式的与或表达式， 可利用公式AA1 和A(B+C)ABAC 来配项展开成最小项表达式。,例2.5.6,如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。,在n变量逻辑函数中，若M为包含n个因子的和项，而且这n个变量都以原变量或反变量的形式在M 中出现，且仅出现一次，则这个和
12、项M称为该函数的一个标准和项，通常称为最大项。 n个变量有2n个最大项，记作i 最大项的性质： 在输入变量的任何取值下必有一个最大项且仅有一个最大项的值为0； 全体最大项之积为0；即 任意两个最大项之和为1； 只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。,2、最大项:,例: 写出函数 Y=A(B+C)的标准或与表达式。 解:,Y=A(B+C) =(A+BB+CC)(AA+B+C) =(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C) =(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C),3、 最小项与最大项的关系,相同编号的最小项
13、和最大项存在互补关系,即:,mi =,Mi =,若干个最小项之和表示的表达式Y，其反函数Y可用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。,=,=,四、逻辑函数形式的变换,根据逻辑表达式，可以画出相应的逻辑图，表达式的形式决定门电路的个数和种类。在用电子器件组成实际的逻辑电路时，由于选择不同逻辑功能类型的器件，因此需要将逻辑函数式变换成相应的形式。,1、最简与或表达式,最简与或表达式,与门的输入端个数少,2、最简与非-与非表达式,在最简与或表达式的基础上两次取反,用摩根定律去掉内层的非号,3、最简或与表达式,求出反函数的最简与或表达式,利用反演规则写出函数的最简或与表达式,4、最简或非-或非表达
14、式,求最简或与表达式,两次取反,用摩根定律去掉内部的非号,、最简与或非表达式,求最简或非-或非表达式,用摩根定律去掉内部非号。,方法一：,求出反函数的最简与或表达式,求反，得到最简与或非表达式,方法二：,2.6 逻辑函数的化简方法,一、公式化简法,并项法：,吸收法：,A+AB =A,消项法：,消因子法：,配项法：,例2.6.1 试用并项法化简下列函数,=B,例2.6.2 试用吸收法化简下列函数,= A+BC,例2.6.3 用消项法化简下列函数,例2.6.4 用消因子法化简下列函数,例2.6.5 化简函数,解：,; A+AA,例2.6.6 化简函数,解：,; A+A1,例2.6.6 化简函数,解
15、二：,; 消去，消去,解三：,; 消去,消去,;增加冗余项,;增加冗余项,例2.6.7 化简逻辑函数,解：,吸收法,1、逻辑函数的卡诺图表示法,将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上相邻排列，得到的图形叫做n变量最小项的卡诺图。,1）卡诺图的定义：,二、卡诺图化简法,逻辑相邻项：仅有一个变量不同其余变量均相同的两个最小项，称为逻辑相邻项。,2）卡诺图的表示：,（1）一变量全部最小项的卡诺图,一变量Y=F（A），,Y,A,0,1,A,Y,A,0,1,m0,m1,全部最小项：,A，,A,卡诺图：,下面我们根据逻辑函数变量数目的不同分别介绍一下：,A,A,B,Y,0,1,0,1,m0,m1,m2,m3,Y,AB,00,01,11,10,A B,AB,AB,A B,00,01,11,10,m0,m1,m3,m2,Y,A,BC,0,1,00,01,11,10,m0,m1,m4,m5,m3,m2,m7,m6,（2）二变量全部最小项的卡诺图,Y= F（A、B）,Y,AB,C,00,01,11,10,0,
