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1、,第 二 章,逻辑代数基础,在数字电路中,主要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系,因此数字电路又称逻辑电路,其研究工具是逻辑代数(布尔代数或开关代数)。,逻辑变量:用字母表示,取值只有0和1。 此时,0和1不再表示数量的大小, 只代表两种不同的状态。,2.1 概述,一、与逻辑(与运算),例:开关A,B串联控制灯泡Y,A、B都断开,灯不亮。,A断开、B接通,灯不亮。,A接通、B断开,灯不亮。,2.2 逻辑代数中的三种基本运算,功能表,将开关接通记作1,断开记作0;灯亮记作1,灯灭记作0。可以作出如下表格来描述与逻辑关系:,真值表,两个开关均接通时,灯才会亮。逻辑表达式为:,实现与逻辑的电路称为
2、与门。 与门的逻辑符号:,二、或逻辑(或运算),两个开关只要有一个接通,灯就会亮。逻辑表达式为:,功能表,真值表,+,实现或逻辑的电路称为或门。 或门的逻辑符号:,Y=A+B,三、非逻辑(非运算),功能表,真值表,实现非逻辑的电路称为非门。 非门的逻辑符号:,YA,常用的逻辑运算,1、与非运算: 逻辑表达式为:,2、或非运算: 逻辑表达式为:,3、异或运算:逻辑表达式为:,相同为0,不同为1,异或逻辑的运算规则:,00=,0,01=,1,10=,1,0,11=,A0=,A1=,AA=,AA=,A,A,1,0,4、同或运算:逻辑表达式为:,AB,异或和同或互为反运算,相同为1,不同为0,同或逻辑
3、的运算规则:,0 0=,1,0 1=,0,1 0=,0,1,1 1=,A 0=,A 1=,A A=,A A=,A,A,1,0,5、 与或非运算:逻辑表达式为:,2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式,一、基本公式,请特别注意与普通代数不同之处,1.常量之间的关系,2.基本公式,分别令A=0及A=1代入这些公式,即可证明它们的正确性。,亦称 非非律,3.基本定理,利用真值表很容易证明这些公式的正确性。如证明AB=BA:,求证: (17式) A+BC=(A+B)(A+C),证明:,右边 =(A+B)(A+C),=AA+AB+AC+BC,=A +A(B+C)+BC,=A(1+B+C)+BC,=A 1+
4、BC,=A+BC,=左边,课本上用真值表证明,二、常用公式,1. A+AB =,A(A+B)= A(A+B)=,A,A+B A+B,AB AB,证明:,A+AB =(A+A) (A+B) ;分配律 =1(A+B) =A+B,A+BC=(A+B)(A+C),3. AB+AB =,4. A(A+B )=,证明: A(A+B )=AA+AB =A+AB =A(1+B) =A,(A+B ) (A+B )=,注: 红色变量被吸收掉!也称 吸收律,A,A,A,5. AB+AC+BC =,证明:,AB+AC+BC =AB+AC+(A+A)BC =AB+AC+ABC+ABC =AB(1+C) +AC(1+B)
5、 =AB +AC,AB+AC+BCD =,AB+AC,AB+AC,冗余定律或 多余项定理 或包含律,(A+B)(A+C)(B+C) =,(A+B)(A+C),(A+B)(A+C)(B+C+D) =,(A+B)(A+C),冗余定律或多余项定理的其他形式,同理:此多余项可以扩展成其他形式,证明:,A(AB) =A(A+B) =AA+AB = AB,A(AB) =A(A+B) =AA+AB = A(1+B) =A,AB,A,一、代入定理,任何一个含有变量A的等式,如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替,则等式仍然成立。这个规则称为代入定理。,例如,已知等式 ,用函数Y=BC代替等式中的B,根据
6、代入定理,等式仍然成立,即有:,2.4 逻辑代数的基本定理,二、 反演定理,对于任何一个逻辑表达式Y,如果将表达式中 的所有“”换成“”,“”换成“”,“0” 换成“1”,“1”换成“0”,原变量换成反变量, 反变量换成原变量,那么所得到的表达式就是函 数Y的反函数Y(或称补函数)。这个规则称为反 演定理。,应用反演定理应注意两点:,1、保持原来的运算优先顺序,即如果在原函数表 达式中,AB之间先运算,再和其它变量进行 运算, 那么非函数的表达式中,仍然是AB之 间先运算。 2、不属于单个变量上的反号应保留不变。,三、 对偶定理,对于任何一个逻辑表达式Y,如果将表达式中的所有“”换成“”,“”
7、换成“”,“0”换成“1”,“1”换成“0”,而变量保持不变,则可得到的一个新的函数表达式 YD, YD称为Y的对偶式。,对偶定理:如果两个逻辑式相等,则它们的对偶式也相等。,利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。,(2)式,(12)式,2.5 逻辑函数及其表示方法,一、逻辑函数,如果以逻辑变量作为输入,以运算结果作为输出,当输入变量的取值确定之后,输出的取值便随之而定。输出与输入之间的函数关系称为逻辑函数。Y=F(A,B,C,),二、逻辑函数表示方法,常用逻辑函数的表示方法有:逻辑真值表(真值表)、逻辑函数式(逻辑式或函数式)、逻辑图、波形图、卡诺图及硬件描述语言。它们之间可
8、以相互转换。,例:一举重裁判电路,设A、B、C为1表示开关闭合,0表示开关断开; Y为1表示灯亮,为0表示灯暗。得到函数表示形式:,真值表,函数式,逻辑图,波形图,1、真值表:将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。,一输入变量,二种组合,二输入变量,四种组合,三输入变量,八种组合,四输入变量,16种组合,请注意,n个变量可以有2n个组合,一般按二进制的顺序,输出与输入状态一一对应,列出所有可能的状态。,3、逻辑函数式,把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式,即逻辑代数式,又称为逻辑函数式,通常采用“与或”的形式。,比如:,4、逻辑图:,把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表
9、示出来。,5、各种表示方法之间的相互转换,1)、真值表逻辑函数式,方法:将真值表中为1的项相加,写成 “与或式”。,2)、逻辑式真值表,方法:将输入变量取值的所有组合状态逐一带入逻辑式求函数值,列成表即得真值表。,例2.5.2,0,1,1,1,1,1,1,0,3)、逻辑式逻辑图,方法:用图形符号代替逻辑式中的运算符号,就可以画出逻辑图.,例2.5.3,4)、逻辑图逻辑式,方法:从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式,即得到对应的逻辑函数式.,5)、波形图真值表,0,1,1,0,0,1,0,1,1、最小项:,在n变量逻辑函数中,若m为包含n个因子的乘积项,而且这n个变量都以原变量或反变
10、量的形式在m 中出现,且仅出现一次,则这个乘积项m称为该函数的一个标准积项,通常称为最小项。,3个变量A、B、C可组成 8(23)个最小项:,4个变量可组成 16(24)个最小项,记作m0m15。,三、逻辑函数的两种标准形式,编号方法:使最小项值为1的二进制编码对应的十进制数作为该最小项的编号。,若两个最小项仅有一个因子不同,则称这两个最小项具有相邻性。例: 和 ,这两个最小项相加时能合并,并可消去1个因子。,最小项的性质:,任意一个最小项,只有一组变量取值使其值为1。,任意两个不同的最小项的乘积必为0。,全部最小项的和必为1。,具有相邻性的两个最小项可以合并,并消去一对因子。,只有一个因子不
11、同的两个最小项是具有相邻性的最小项。,例如:,将它们合并,可消去因子:,= BC,ABC 和 ABC 具有逻辑相邻性。,ABC+ABC =,(A+A) BC,任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和,称为标准与或表达式,也称为最小项表达式。,逻辑函数的最小项表达式,对于不是最小项表达式的与或表达式, 可利用公式AA1 和A(B+C)ABAC 来配项展开成最小项表达式。,例2.5.6,如果列出了函数的真值表,则只要将函数值为1的那些最小项相加,便是函数的最小项表达式。,在n变量逻辑函数中,若M为包含n个因子的和项,而且这n个变量都以原变量或反变量的形式在M 中出现,且仅出现一次,则这个和
12、项M称为该函数的一个标准和项,通常称为最大项。 n个变量有2n个最大项,记作i 最大项的性质: 在输入变量的任何取值下必有一个最大项且仅有一个最大项的值为0; 全体最大项之积为0;即 任意两个最大项之和为1; 只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。,2、最大项:,例: 写出函数 Y=A(B+C)的标准或与表达式。 解:,Y=A(B+C) =(A+BB+CC)(AA+B+C) =(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C) =(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C),3、 最小项与最大项的关系,相同编号的最小项
13、和最大项存在互补关系,即:,mi =,Mi =,若干个最小项之和表示的表达式Y,其反函数Y可用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。,=,=,四、逻辑函数形式的变换,根据逻辑表达式,可以画出相应的逻辑图,表达式的形式决定门电路的个数和种类。在用电子器件组成实际的逻辑电路时,由于选择不同逻辑功能类型的器件,因此需要将逻辑函数式变换成相应的形式。,1、最简与或表达式,最简与或表达式,与门的输入端个数少,2、最简与非-与非表达式,在最简与或表达式的基础上两次取反,用摩根定律去掉内层的非号,3、最简或与表达式,求出反函数的最简与或表达式,利用反演规则写出函数的最简或与表达式,4、最简或非-或非表达
14、式,求最简或与表达式,两次取反,用摩根定律去掉内部的非号,、最简与或非表达式,求最简或非-或非表达式,用摩根定律去掉内部非号。,方法一:,求出反函数的最简与或表达式,求反,得到最简与或非表达式,方法二:,2.6 逻辑函数的化简方法,一、公式化简法,并项法:,吸收法:,A+AB =A,消项法:,消因子法:,配项法:,例2.6.1 试用并项法化简下列函数,=B,例2.6.2 试用吸收法化简下列函数,= A+BC,例2.6.3 用消项法化简下列函数,例2.6.4 用消因子法化简下列函数,例2.6.5 化简函数,解:,; A+AA,例2.6.6 化简函数,解:,; A+A1,例2.6.6 化简函数,解
15、二:,; 消去,消去,解三:,; 消去,消去,;增加冗余项,;增加冗余项,例2.6.7 化简逻辑函数,解:,吸收法,1、逻辑函数的卡诺图表示法,将n变量的全部最小项各用一个小方块表示,并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上相邻排列,得到的图形叫做n变量最小项的卡诺图。,1)卡诺图的定义:,二、卡诺图化简法,逻辑相邻项:仅有一个变量不同其余变量均相同的两个最小项,称为逻辑相邻项。,2)卡诺图的表示:,(1)一变量全部最小项的卡诺图,一变量Y=F(A),,Y,A,0,1,A,Y,A,0,1,m0,m1,全部最小项:,A,,A,卡诺图:,下面我们根据逻辑函数变量数目的不同分别介绍一下:,A,A,B,Y,0,1,0,1,m0,m1,m2,m3,Y,AB,00,01,11,10,A B,AB,AB,A B,00,01,11,10,m0,m1,m3,m2,Y,A,BC,0,1,00,01,11,10,m0,m1,m4,m5,m3,m2,m7,m6,(2)二变量全部最小项的卡诺图,Y= F(A、B),Y,AB,C,00,01,11,10,0,