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1、第五章 相似原理与量纲分析 流动相似 相似准则 模型试验 量纲分析,51 流动相似 几何相似 运动相似 动力相似 初始条件和边界条件的相似,原型：流体实际流动的实物。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物，称为模型。 模型试验：依据相似原理把流体流动原型按一定比例缩小制成模型，模拟与实际情况相似的流体进行观测和分析研究，然后将模型试验的成果换算和应用到原型中，分析判断原型的情况。 关键问题：模型流体和原型流体保持流动相似。 流动相似：两个流动的相应点上的同名物理量（如速度、压强、各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这两个流动就是相似的。 模型和原型保证流动相似，应满
2、足： 几何相似 运动相似 动力相似 初始条件和边界条件相似,一、几何相似 几何相似是指原型与模型的外形相似，其各对应角相等，而且对应部分的线尺寸均成一定比例。 对应角相等 p = m 以角标p表示原型(prototype)，m表示模型(model)。 线性尺寸成比例,式中l长度比尺； lp原型某一部位长度； lm模型对应部位的长度。,面积比尺,由上式可知，几何相似是通过长度比尺l来表示的。只要任一对应长度都维持固定的比尺关系l，就保证了流动的几何相似。,体积比尺,二、运动相似 运动相似是指原型与模型两个流动的流速场和加速度场相似。要求两个流场中所有对应的速度和加速度的方向对应一致，大小都维持固
3、定的比例关系。,速度比尺,时间比尺,则,加速度比尺,由上可知，运动相似是通过长度比尺l和时间比尺t来表示的。长度比尺已由几何相似定出。 因此，运动相似就规定了时间比尺，只要对任一对应点的流速和加速度都维持固定的比尺关系，也就是固定了长度比尺l和时间比尺t，就保证了运动相似。,由于各相应点速度成比例，所以相应断面平均流速有同样的速度比尺，即,三、动力相似 动力相似是指原型与模型两个流动的力场几何相似。要求两个流场中所有对应点的各种作用力的方向对应一致，大小都维持固定比例关系。,即,式中 Fp原型某点上的作用力； Fm模型对应点上的作用力。,由牛顿第二定律：F = ma = V a,则力的比尺为,
4、因为,则,即,上式可写成,上式说明，两个流动动力相似，它们的牛顿数相等；反之两个流动的牛顿数相等，则两个流动动力相似。 在相似原理中，两个动力相似流动中的无量纲数，如牛顿数，称为相似准数。动力相似条件（相似准数相等）称为相似准则。, 无量纲数,在相似原理中称为牛顿数Ne,四、初始条件和边界条件的相似 初始条件：适用于非恒定流。 边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。如固体边界上的法线流速为零，自由液面上的压强为大气压强等 。 五、流动相似的含义 几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定两个流体运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，
5、必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。,52 相似准则 雷诺准则 佛汝德准则 欧拉准则,52 相似准则 在模型实验中，只要使其中起主导作用外力满足相似条件，就能够基本上反映出流体的运动状态。 一、雷诺准则 作用在流体上的力主要是粘性力。 牛顿内摩擦定律 粘性力,粘性力比尺,由于作用力仅考虑粘性力，F = T ，即,于是,上式说明，若作用在流体上的力主要是粘性力时，两个流动动力相似，它们的雷诺数应相等。反之，两个流动的雷诺数相等，则这两个流动一定是在粘性力作用下动力相似。,化简后,或者, 无量纲数,即 雷诺数,上式说明，若作用在流体上主要是重力，两个流动动力相似，它们的佛汝德数相等，反之，两个
6、流动的佛汝德数相等，则这两个流动一定是在重力作用下动力相似。,二、佛汝德准则 作用在流体上的力主要是重力。即：重力 G = mg = Vg 重力比尺,由于作用力F中仅考虑重力G，因而 F = G，即f = G,于是,化简得：,或, 无量纲量,佛汝德数,所以,上式说明，若作用在流体上的力主要是压力，两个流动动力相似，则它们的欧拉数应相等。反之，两个流动的欧拉数相等，则这两个流动一定是在压力作用下动力相似。,三、欧拉准则 作用在流体上的力主要是压力P。即：压力 P = pA,由于作用力F中只考虑压力P，因而 F = P，即,压力比尺,于是可得,化简得,则, 无量纲数,欧拉数,所以,53 模型试验
7、模型律的选择 模型设计,53 模型试验 模型的设计，首先要解决模型与原型各种比尺的选择问题，即所谓模型律的问题。,一、模型律的选择 在进行模型设计时，根据原型的物理量确定模型的量值，这就是模型律的选择，模型律的选择应依据相似准则来确定。 现在仅考虑粘性力与重力同时满足相似。 由雷诺准则,则,（1）,由佛汝德准则,通常g = 1，则上式为,（2）,二、模型设计 模型设计首先定出长度比尺 ，再以选定的比尺 缩小（或放大）原型的几何尺度，得出模型流动的几何边界。 通常，模型和原型采用同一种类流体，则 ，然后按所选用的相似准则确定相应的速度比尺，再按下式计算出模型流的流量：,按以上步骤，便可实现原型、
8、模型流动在相应准则控制下的流动相似。,或,例1：一桥墩长lp =24m，墩宽bp=4.3m，水深hp=8.2m，河中水流平均流速vp=2.3m/s，两桥台的距离Bp=90m。取 =50来设计水工模型试验，试求模型各几何尺寸和模型中的平均流速和流量。,水深,由给定的 = 50 直接计算,解：（1）模型的各几何尺寸,桥墩长,桥墩宽,桥台距离,（2）模型平均流速与流量 对一般水工建筑物的流动，起主要作用的是重力，所以模型试验只需满足佛汝德准则。即,所以,在此g = 1，则 ，模型的流速为,模型流量为,因为,由于 ，,例2：汽车高hp=1.5m，最大行速为108km/h，拟在风洞中测定其阻力。风洞的最
9、大风速为45m/s，问模型的最小高度为多少？若模型中测得阻力为1.50kN，试求原型汽车所受的阻力。 解：（1）求模型的最小高度hm 对于分析气体阻力问题，可按雷诺准则计算。雷诺准则为,故,此处 ， ，,（2）求原型汽车所受的阻力 由在推导牛顿数得到的力的比尺为,故,则,54 量纲分析 量纲和量纲和谐原理 量纲分析法,一、量纲(dimension)和量纲和谐原理 1、量纲 表示物理量的种类，称为这个物理量的量纲（或称因次）。 同一物理量，可以用不同的单位来度量，但只有唯一的量纲。在物理量的代表符号前面加“dim”表示量纲，例如速度v的量纲表示为dim v。 量纲可分为基本量纲和导出量纲。 基本
10、量纲必须具有独立性，不能从其它基本量纲推导出来，而且可以用它来参与表示其它各物理量的量纲。在流体力学中常用长度、时间、质量（L、T、M）作为基本量纲。 由基本量纲推导出来的量纲，称导出量纲。它可用三个基本量纲的指数乘积形式来表示。对于任何一个物理量x，其量纲可写作,（1）,导出量纲 速度 dim v = LT-1 加速度 dim a = LT-2 密度 dim = M L-3 力 dim F = M L T-2 压强 dim p = M L-1 T-2,物理量x的性质可由量纲指数，来反映。 如，有一个不为零，则x为有量纲量。 如，均为零，即dim x =L0 T0 M0 = 1,则称x为无量纲
11、量，也称纯数。 基本量与导出量适当组合可以组合成无量纲量。 无量纲量有如下特点： 量纲表达式中的指数均为零； 没有单位； 量值与所采用的单位制无关。 由于基本量是彼此互相独立的，故它们之间不能组成无量纲量。,2、无量纲量 量纲公式,问题1：运动粘度的量纲是： A. L/T2； B. L/T3 C. L2/T； D. L3/T。 问题2：速度v，长度l，重力加速度 g 的无量纲集合是： A. B. C. D. 问题3：速度v, 密度, 压强 p 的无量纲集合是： A. B. C. D.,(C),(D),(D),3、量纲和谐 量纲和谐原理：一个完整正确的物理方程，不仅其等号两边的数值相等，而且其中
12、各项的量纲也一定相同。 由于物理方程的量纲具有一致性，可以用任意一项去除方程两边，使方程每一项变为无量纲量，这样原方程就变为无量纲方程。例如，动能方程,量纲分析法就是应用量纲和量纲和谐来探求物理现象的函数关系，即建立物理方程的一种方法。,可改写为,又如，理想流体能量方程：,也可改写成,量纲和谐原理的重要性： 一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验经验公式的正确性和完整性。 量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。 可用来建立物理方程式的结构形式。,式中 k无量纲数； k1，k2，k3，kn待定指数。 设A、B、C为基本量纲，则各因素的量纲为,二、量纲分析法 1、瑞利法 某一物理现象，各物
13、理量间的函数关系为,式中x1、x2、x3、xn和y为影响物理现象的因素。,对上式进行量纲分析，以找出诸因素之间的数学表达式。上式可写成如下指数形式：,(i = 1, 2, 3, ,n),dim y = AaBbCc,上式为量纲和谐方程组，解这个方程组便得到指数k1，k2，k3，kn的数值，但因方程组中的方程数只有三个，当待定指数kn中的指数个数n3时，则有（n3）个指数需要用其它指数值的函数来表示。,量纲表达式,由量纲和谐原理可知，等号两边的基本量纲的指数必须一致，所以有,A：,B：,C：,例：根据观察、实验和理论分析，认为总流边界单位面积上的平均切应力0与流体密度、动力粘度、平均流速v、水力
14、半径R以及固体表面凸出的平均高度有关。 若令沿程阻力系数 ，可得 。,各物理量的量纲 dim= M L-1 T-2 （dim F = M LT-2） dim=M L-3 dim=M L-1 T-1 （的单位Ns/m2） dim v = L T-1 dim R = L dim = L,解：由已知条件有,指数乘积式,将上述指数代入原指数乘积式，得,量纲表达式,量纲和谐方程组 M： 1 = k1 + k2 L: 1 = 3k1 k2 + k3 + k4 + k5 T: 2 = k2 k3,以上方程组有五个未知数，三个方程。选定k3、k5为待定。,联立解上述方程组得 k2 = 2 k3 k1 = k3
15、 1 k4 = - 2 + k3 k5,瑞利法适用于比较简单的物理问题。, = ,又,则可得,若令,并代入上式得,2、定理 其内容为： 若物理方程f(x1，x2，xn) = 0，含有 n 个物理量，其中涉及到 m 个基本量纲，则这个物理方程可用（n m）个无量纲的项的关系式来表示，即 F（1，2，n-m）= 0 因为这些无量纲量用表示，所以就把这个定理称为定理。它首先由布金汉提出，也称布金汉定理。,现以实例来具体说明定理的推演过程。 设影响圆球在液体中运动的阻力FD与液体的密度和动力粘度，圆球直径 d、相对速度 v 等因素有关，则可得如下函数关系 FD = f(，v，d，) 上式两边除以，得,上式左边已无质量的量纲 M，由量纲和谐原理知，右边也必须无质量的量纲 M。上式可写成,（dim FD = M LT-2, dim= M L-1T-1）,注：左边量纲：L4T-2,进一步可使上式左边无时间量纲 T，两边除以 v2 得,则 1 =f(2) 或 F(1，2) = 0 上式说明n = 5个变量利用 m = 3个包含基本量纲量的乘除变换，消除 m 个基本量纲，便得 n m = 2 个无量纲的项。,由量纲和谐原理，上式右边也无时间的量纲。则上式可写
