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1、主要教学参考书,1 .概率论与数理统计 盛骤等编 高等教育出版社 (2002) .概率论与数理统计教程 魏宗舒等编 高等教育出版社（1983),本学科的ABC,本学科的应用,概率统计理论与方法的应用几乎遍及,所有科学技术领域、工农业生产和国民经,济的各个部门中. 例如,1. 气象、水文、地震预报、人口控制,及预测都与概率论紧密相关；,2. 产品的抽样验收，新研制的药品能,否在临床中应用，均要用到假设检验；,4. 电子系统的设计, 火箭卫星的研制及其,发射都离不开可靠性估计;,3. 寻求最佳生产方案要进行实验设计,和数据处理；,5. 处理通信问题, 需要研究信息论；,水库调度、购物排队、红绿灯转
2、换等，都,可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知,装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、,6. 许多服务系统，如电话通信、船舶,识就是 排队论.,目前, 概率统计理论进入其他自然科学,领域 , 特别是经济学中研究最优决策和经,济的稳定增长等问题 , 都大量采用概率统,统计方法.,领域的趋势还在不断发展. 在社会科学领,课程评分方法 总分 (100) = 平时成绩(30)+期末 (70),答疑 时间:待定 地点:,作业 每周二上午收发,我的联系方式 Email: Office:理A312,学时安排,第一章 概率论的基本概念 8 学时,第二章 随机变量及其分布 8 学时,第三章 多维随机变量及其分布
3、 5 学时,第四章 随机变量的数字特征 5学时,第五章 大数定理及中心极限定理 4学时,第六章 样本及抽样分布 4学时,第七章 参数估计 6 学时,第八章 假设检验 6 学时,合计：48 学时,概率论,数理统计,总复习 2学时,确定性现象,随机现象 ,每次试验前不能预言出现什么结果 每次试验可能出现的结果不止一个 在相同的条件下进行大量观察或试 验时，出现的结果有一定的规律性 称之为统计规律性,1.1 随机事件,对某事物特征进行观察, 统称试验.,若它有如下特点,则称为随机试验,用E表示,试验前不能预知出现哪种结果,1.1,可在相同的条件下重复进行,试验结果不止一个,但能明确所有的结果,样本空
4、间 随机试验E 所有可能的结果,样本空间的元素, 即E 的每个结果, 称为,随机事件 S的子集, 记为 A ,B ,它是满足某些条件的样本点所组成的集合.,组成的集合称为样本空间 记为S,样本点(or基本事件) 常记为 ，S = ,其中T1,T2分别是该地区的最低与最高温度,观察某地区每天的最高温度与最低温度,观察总机每天9:0010:00接到的电话次数,投一枚硬币3次，观察正面出现的次数,例1 给出一组随机试验及相应的样本空间,基本事件 仅由一个样本点组成的子集 它是随机试验的直接结果,每次试验必定发 生且只可能发生一个基本事件.,必然事件全体样本点组成的事件,记为S, 每次试验必定发生的事
5、件.,随机事件发生 组成随机事件的一个样 本点出现,不可能事件不包含任何样本点的事件, 记为 ,每次试验必定不发生的事件.,A,S,随机事件的关系和运算 雷同集合的关系和运算,文氏图 ( Venn diagram ), A 包含于B,事件 A 发生必 导致事件 B 发生,A,B,S,且,1. 事件的包含,2. 事件的相等,事件 A与事件B 至 少有一个发生,发生,的和事件 ,的和事件 , A 与B 的和事件,S,3. 事件的并(和),事件 A与事件B 同时 发生,发生,的积事件 ,的积事件 , A 与B 的积事件,4. 事件的交(积), A 与B 的差事件,5. 事件的差, A 与B 互斥,A
6、、 B不可能同时发生,两两互斥,两两互斥,6. 事件的互斥(互不相容), A 与B 互相对立,每次试验 A、 B中有且只有一个发生,A,称B 为A的对立事件(or逆事件)， 记为,注意：“A 与B 互相对立”与“A 与B 互斥”是不同的概念,7. 事件的对立,8. 完备事件组,若 两两互斥，且,则称 为完备事件组,或称 为 的一个划分,吸收律,幂等律,差化积,重余律,对应,交换律,结合律,分配律,反演律,运算顺序： 逆交并差，括号优先,B,C,A,C,分配律 图 示,A,A,B,B,红色 区域,黄色 区域,例2 用图示法简化,A,A,例3 化简事件,解 原式,例4 利用事件关系和运算表达多 个
7、事件的关系,A ,B ,C 都不发生,A ,B ,C 不都发生,例5 在图书馆中随意抽取一本书，,表示数学书，,表示中文书，,表示平装书., 抽取的是精装中文版数学书, 精装书都是中文书, 非数学书都是中文版的，且,中文版的书都是非数学书,则,事件,习题,作业: P5 习题 1 2,1.2 概率的定义及计算,1.2 概率定义计算,历史上概率的三次定义,苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出,设在 n 次试验中，事件 A 发生了m 次，,则称 为事件 A 发生的 频率,频率的性质,事件 A, B互斥，则,可推广到有限个两两互斥事件的和事件,投一枚硬币观察正面向上的次数,n = 4040, nH =2048,
8、 f n( H ) = 0.5069,n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016,n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005,频率稳定性的实例,蒲丰( Buffon )投币,皮尔森( Pearson ) 投币,例 Dewey G. 统计了约438023个英语单词 中各字母出现的频率, 发现各字母出现 的频率不同：,A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389 E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573 I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.00
9、60 L: 0.0394 M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186 Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987 U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016 Y: 0.0202 Z: 0.0006,频 率 的 应 用,第五章指出:当试验次数较大时有,事件发生 的概 率,事件发生 的频 率,概率的 统计定义,在相同条件下重复进行的 n 次,试验中, 事件 A 发生的频率稳定地在某一,常数 p 附近摆动, 且随 n 越大摆动幅度越,小, 则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A).,优点
10、：直观 易懂,缺点：粗糙 模糊,不便 使用,设 是随机试验E 的样本空间，若能找到 一个法则，使得对于E 的每一事件 A 赋于一个 实数，记为P ( A ), 称之为事件 A 的概率，这种 赋值满足下面三个条件：,非负性：,归一性：,可列可加性：,其中 为两两互斥事件,概率的 公理化定义,公理化定义,概率的性质,若,对任意两个事件A, B, 有,B,B=AB+(B A),P(B)=P(AB)+ P(B AB),加法公式：对任意两个事件A, B, 有,推广：,一般：,问题:右端共有多少项?,例1 小王参加“智力大冲浪”游戏,他能答出甲、乙 二类问题的概率分别为0.7和0.2,两类问题都 能答出的
11、概率为0.1.求小王,解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题”,(1),(1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率,(2),(3),例1,由题意,例2 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何条件下， P(AB) 取得最大(小)值？ 最大(小)值是多少？,解,最小值在 时取得, 最小值, 最大值,最大值在 时取得,例2,问题:,答：不成立 ！,是否成立?,设 随机试验E 具有下列特点：,基本事件的个数有限 每个基本事件等可能发生,则称 E 为 古典(等可能)概型,古典概型中概率的计
12、算：,记,则,概率的 古典定义,古典概型,排列组合有关知识复习,加法原理：完成一件事情有n 类方法，第 i 类 方法中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情 共有,种不同的方法,乘法原理：完成一件事情有n 个步骤，第 i 个 步骤中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情 共有,种不同的方法,排列 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放 回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有,全排列,可重复排列 从 n 个不同的元素中可重复地 取出 m 个排成一排, 不同的排法有,种,组合 从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放 回地）组成一组， 不同的分法共有,E1: 球编号, 一次取 m 个球,记
13、下颜色,1:,记事件 A 为m个球中有k个白球，则,因此,称超几 何分布,例3 袋中有a 只白球，b 只红球，从袋中按 不放回与放回两种方式取m个球（ ), 求其中恰有 k 个 （ ）白球的概率,解 （1）不放回情形,（2）放回情形,E2: 球编号, 任取一球, 记下颜色, 放回去, 重复 m 次,2:,记 B 为取出的 m 个球中有 k 个白球, 则,称二项分布,设有 k 个不同的球, 每个 球等可能地落入 N 个盒子中（ ）, 设 每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:,（1）某指定的 k 个盒子中各有一球；,（4）恰有 k 个盒子中各有一球；,（3）某指定的一个盒子没有球；,（2）某指
14、定的一个盒子恰有 m 个球( ),（5）至少有两个球在同一盒子中；,例4 （分房模型）,例4,设有 k 个不同的球, 每个 球等可能地落入 N 个盒子中（ ）, 设 每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:,（1）某指定的 k 个盒子中各有一球；,例4 （分房模型）,例4,（2）某指定的一个盒子恰有 m 个球( ),设有 k 个不同的球, 每个 球等可能地落入 N 个盒子中（ ）, 设 每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:,（4）恰有 k 个盒子中各有一球；,（3）某指定的一个盒子没有球；,例4 （分房模型）,例4,设有 k 个不同的球, 每个 球等可能地落入 N 个盒子中（ ）, 设 每
15、个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:,（5）至少有两个球在同一盒子中；,例4 （分房模型）,例4,例4的“分房模型”可应用于很多类似场合,信封,信,钥匙,门锁,女舞伴,生日,人,男舞伴,例5 “分房模型”的应用,生物系二年级有 n 个人，求至少有两,人生日相同（设为事件A ) 的概率.,解,为 n 个人的生日均不相同,这相当于,本问题中的人可被视为“球”，365天为,365只“盒子”,若 n = 64，,每个盒子至多有一个球. 由例4（4）,例5,1o 明确所作的试验是等可能概型,2o 计算古典概率时须注意应用概率计算的有关公式, 将复杂问题简单化.,59,解,例6 在0,1,2,3, ,9中不重复地任取四个数， 求它们能排成首位非零的四位偶数的概率.,设 A为“能排成首位非零的四位偶数”,四位偶数的末位为偶数, 故有 种可能,而前三位数有 种取法,由于首位为零的四,位数有 种取法,所以有利于A发生的取,法共有
