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1、一、复数域上的二次型的规范形,二、实数域上的二次型的规范形,三、小结,5.3 唯一性,问题的产生：,1、二次型的标准形不是唯一的，与所作的非退化,线性替换有关.,如：二次型,作非退化线性替换,得标准形,得标准形,2、二次型经过非退化线性替换所得的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关.,而秩(D) 等于D 的主对角线上不为零的元素的个数.,3. 问题：如何在一般数域P上，进一步“规范” 平方项非零系数的形式？（这样产生了唯一性的问题）,定义二次型 的秩等于矩阵A的秩，即秩 f 秩（A）.,、复数域上的二次型的规范形,复二次型的规范形的定义,标准形,再作非退化
2、线性替换,设复二次型,这里,则,注意： 复二次型的规范形中平方项的系数只有1和0两种. 复二次型的规范形是唯一的，由秩 f 确定.,2.（定理3）任一复二次型经过适当的非退化线性替换可化 为规范形，且规范形唯一.,推论1.任一复对称矩阵A合同于对角矩阵,推论2.两个复对称矩阵A、B合同,二、实数域上的二次型的规范形,再作非退化线性替换,实二次型的规范形的定义,则,称之为实二次型 的规范形., 实二次型的规范形中平方项的系数只有1，1，0., 实二次型的规范形中平方项的系数中 1 的个数与1的个数之和 = 秩= 秩(A)是唯一确定的., 规范形是唯一的.,注意,定理4 任一实二次型可经过适当的非
3、退化线性替换化成规范形，且规范形是唯一.,证明：只证唯一性.,2、惯性定理,化成规范形,（1）,只需证,（2）,用反证法，设,由(1)、(2)，有,（3）,（4）,则G可逆，且有,考虑齐次线性方程组,（5）,方程组（5）中未知量的个数为n，方程的个数为,所以（5）有非零解.,矛盾. 所以，,得,定义,中正平方项的个数 p 称为 的正惯性指数；,推论1、任一实对称矩阵A合同于一个形式为,指数.,的对角矩阵 .,推论3、实对称矩阵A、B合同,指数相等.,使,又 D=D, 且,使,即,则 r 的可能取值是0，1，2，,，n，,的正惯性,即有,证：任取实n元二次型,设,而对任意给定的,三、小结,基本概念,这里，r 秩( f ).,2、 n元实二次型 的规范形,这里， 秩( f )，p 称为 f 的正惯性指数；,称为 f 的负惯性指数；称为 符号差.,1、n元复二次型的规范形,基本结论,定理3 任意一个复系数二次型，经过一适当的,非退化线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的.,即，任一复对称矩阵A合同于一个对角矩阵,推论 两个复对称矩阵A、B合同,定理4 任意一个实二次型，经过一适当的非退化,线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的.,即，任一实对称矩阵A合同于一个对角矩阵,其中 的个数等于矩阵的秩.,推论 两个实对称矩阵A、B合同的充要条件是,正惯性指数相等.,且二次型 与 的,
