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1、一、空间直线的点向式方程 和参数方程,二、空间直线的一般方程,三、空间两直线的夹角,第五节 空间直线及其方程,第八章 向量代数 空间解析几何,设 M(x, y, z)是直线 L 上任意一点，,设直线 L 过点 M0(x0, y0, z0)，,是直线 L 的向量.,由两向量平行的充要条件可知,方程组 称为直线的点向式方程或标准方程,(当 m，n，p 中有一个或两个为零时， 就理解为相应的分子是零).,M,x,L,s,y,z,M0,一、空间直线的点向式方程和参数方程,若直线 L 的方程为,平面 的方程为,则直线 L 与平面 平行的充要条件是 mA + nB + pC = 0 .,直线 L 与平面
2、垂直的充要条件是,在直线方程 中，,记其比值为 t ，,则方程组,称为直线的参数方程，t 为参数.,所以可取s = n，,例 1,求过点 M( 2, 0, 3 )且垂直于平面 :,4x + y z + 5 = 0 的直线方程.,解,设所求的直线方程为,由于直线垂直于平面 ，,即,s = m , n , p = 4 , 1 , 1 ，,故所求的直线方程为,例 2,求过点 M1 (x1, y1, z1)，,M2(x2, y2, z2)的直线方程.,解,设所求的直线方程为,由于直线过点 M1，M2 ,所以可取向量,为直线的方向向量 s .,故所求的直线方程为,例 3,求过点(1, 3, 2),且平行
3、于两平面 3x y + 5z + 2 = 0,及 x + 2y 3z + 4 = 0 的直线方程.,解,设所求的直线方程为,因为所求直线平行于两平面，,故直线的方向向量 s 垂直于两平面的法向量,n1 = 3 , 1 , 5 及 n2 = 1 , 2 , 3 .,所以,因此所求的直线方程为,即,显然 P 点的坐标应同时满足已知的直线方程与平面方程.,与平面 2x + y -z - 5 = 0 的交点.,例 4,解,设所求交点为 P(x, y, z)，,解方程组,得 t = 4 ，,代入参数方程得 x = 3，y = 6，z = 5，,即交点 P 的坐标为(3, 6, 5).,由于 L 的参数方
4、程为,例 5,求点 P(1, 1, 4)到直线 L：,的距离.,解,过点 P 且垂直于直线 L 的平面 的法向量为 n = 1, 1, 2，,则平面方程为,( x1 ) + ( y 1 ) + 2( z 4 ) = 0，,即,x + y + 2z 10 = 0 .,x = 2 + t，,y = 3 + t，,z = 4+ 2t，,将 代入 ， 得,6t + 3 = 0，,即,将 代入 得交点 Q 的坐标为,所以点 P 到 L 的距离,称为空间直线的一般方程.,二、空间直线的一般方程,方程组,表示这两个平面的交线，,例如方程组,表示 z 轴所在的直线方程，,而,表示 y 轴所在的直线方程.,因为
5、 s 分别垂直于两平面的法向量,即点( 2, 0, 0 )在直线上.,例 6,将直线方程,化为点向式方程及参数方程.,解,令 z = 0,代入原方程得 x = 2， y = 0，,n1 = 1, 1, 2，,n2 = 2, 1, 3.,所以,所以直线的点向式方程为,令上式等于 t，,得已知直线的参数方程为,又因已知直线,例 7,一直线过点 M5, 0, 2，,且与直线,平行，求该直线方程.,解,因为所求直线过点(5, 0, 2)，,所以它的方程为,的方向向量 s 为：,即,s = m, n, p =2, 5, 11 ，,因此， 所求直线方程为,三、空间两直线的夹角,两直线方向向量的夹角称为两直线的夹角.,设直线 L1 和 L2 的方程为,那么 L1 和 L2 的夹角 的余弦为,两直线 L1，L2 垂直的充要条件是:,通常规定， 0 , .,易知,两直线 L1，L2 平行的充要条件是：,确定下列各方程组所表示的直线或直线与平面间的位置关系：,例 8,解,(3)直线 L3 / 平面 1;,(4)直线 L4 在平面 2 上;,(5)直线 L5平面 3 .,例 9,求直线 L1 :,和,的夹角.,解,由公式可得,所以,
