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1、齐次线性方程组 AX=0 由于 r(A)=r(A,0), 所以恒有解 当r(A)=n时，A可逆，方程组有唯一解：零 当r( A)n时，方程组有无数解，才有非零解 1 例：设有线性方程组 123 123 123 (1) 0, (1) 3, (1). xxx xxx xxx +=+=+=+= +=+=+=+= +=+=+=+= 问 取何值时，此方程组有(1) 唯一解；(2) 无解；(3) 有无 限多个解？并在有无限多解时求其通解 1110 1113 111 B + + + + =+=+=+=+ + + + + 解法1：对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵 1110 + + + + 111+
2、+ + + 1113 111 + + + + + + + + 13 1113 1110 rr + + + + + + + + 21 31 (1) 111 03 0(2)(1) rr rr + + + + + + 32 111 03 00(3)(1)(3) rr + + + + + + + + + 附注： ?对含参数的矩阵作初等变换时，由于+1，+3 等因式可 能等于零，故不宜进行下列的变换： ?如果作了这样的变换则需对+1 = 0（或+3 = 0）的情 21 1 1 rr + + + + 3 (3)r + / 2 r ?如果作了这样的变换，则需对+1 = 0（或+3 = 0）的情 况另作讨论
3、1110111 1113 03 11100(3)(1)(3) r B + =+=+=+=+ + 分析： 讨论方程组的解的情况，就是讨论参数取何值时，r2 、r3 是非零行是非零行 在 r2 、r3中，有 5 处地方出现了，要使这 5 个元素等于零， = 0，3，3，1 实际上没有必要对这 4 个可能取值逐一进行讨论，先从方程 组有唯一解入手 1110111 1113 03 11100(3)(1)(3) r B + =+=+=+=+ + 于是 当 0 且3 时，R(A) = R(B) = 3 ，有唯一解 当= 0 时) = 1) = 2 ，无解当= 0 时，R(A) = 1， R(B) = 2
4、，无解 当= 3 时，R(A) = R(B) = 2 ，有无限多解 1110 1113 111 B + + + + =+=+=+=+ + + + + 解法2：因为系数矩阵 A 是方阵，所以方程组有唯一解的充 分必要条件是 |A| 0 2 111 |111(3) 111 A + + + + =+=+=+=+=+=+=+=+ + + + + 于是当 0 且3 时，方程组有唯一解 当当当当 l l l l = 0 = 0 = 0 = 0 时时时时， R R R R( ( ( (A A A A) = 1) = 1) = 1) = 1， R R R R( ( ( (B B B B) = 2 ) = 2
5、) = 2 ) = 2 ，方程组无解方程组无解方程组无解方程组无解 11101110 1113 0001 11100000 r B = = = = 21101011 r 当当当当 l l l l = = = = 3 3 3 3 时时时时， R R R R( ( ( (A A A A) = ) = ) = ) = R R R R( ( ( (B B B B) = 2 ) = 2 ) = 2 ) = 2 ，方程组有无限多个解方程组有无限多个解方程组有无限多个解方程组有无限多个解，其通解为其通解为其通解为其通解为 1213 0112 11230000 r B = 1 2 3 11 12 10 x x
6、c x =+ =+ =+ =+ 定理：矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, B) 定理：设 AB = C ，则 R(C) minR(A), R(B) 证明：因为 AB = C ，所以矩阵方程 AX = C 有解 X = B， 于是 R(A) = R(A, C) 于是 R(A) = R(A, C) R(C) R(A, C) ，故 R(C) R(A) 又 (AB)T= CT，即 BTAT = CT，所以矩阵方程 BTX = CT 有解 X = AT ，同理可得，R(C) R(B) 综上所述，可知 R(C) minR(A), R(B) 问： 能否改成= ？ 定义：n
7、个有次序的数 a1, a2, , an 所组成的数组称为n 维向 量（vector），这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai称 为第 i个分量 ? 分量全为实数的向量称为实向量 ? 分量全为复数的向量称为复向量 向量向量向量向量组组组组及其及其及其及其线线线线性性性性组组组组合合合合 备注： ?本书一般只讨论实向量（特别说明的除外） ?行向量和列向量总被看作是两个不同的向量 ?所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量 ?本书中，列向量用黑体小写字母 a a a a, , , , b b b b, , , , , , , , 等表示，行向量则用 a a a aT
8、 T T T, , , , b b b bT T T T, , , , T T T T, , , , T T T T表示 定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为 向量组 ? 当R(A) n 时，齐次线性方程组 Ax = 0 的全体解组成的向量组 含有无穷多个向量 有限向量 组 11121314 3421222324 31323334 aaaa Aaaaa aaaa = = = = ( ( ( () ) ) ) 1234 , = = = = 1 2 3 T T T = = = = 结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应 组 定义：给定向量组 A：a1, a2, , am ，
9、对于任何一组实数 k1, k2, , km，表达式 k1a1 + k2a2 + + kmam 称为向量组 A 的一个线性组合 k1, k2, , km 称为这个线性组合的系数(linear combination) 定义：给定向量组 A：a1, a2, , am 和向量 b，如果存在一组实 数 l1, l2, , lm，使得 b = l1a1 + l2a2 + + lmam 则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组 A 线性表示 例例例例：设设设设 ( ( ( () ) ) ) 123 100 ,010 001 Ee e e = 100 2 03 17 0 001 =+=+=+=+ 123 237eee=+=+=+=+ 2 3 7 b = = = = 那么那么那么那么 e1, e2, e3的的的的 线线线线性性性性组组组组合合合合 线性组合的系数线性组合的系数线性组合的系数线性组合的系数 一般地一般地一般地一般地，对于任意的对于任意的对于任意的对于任意的 n 维向量维向量维向量维向量b ，必有必有必有必有 123 1000 0100
