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1、第第第四四四章章章线线线性性性空空空间间间在代数、分析及几何中通常会遇到一些对象, 需要对它们实施加法或乘法(数乘)运算, 如实数、复数、 几何中平面或空间中的向量、分析中给定的函数等等. 也许有人认为这些对象本质上是不同, 它们定义的加法和乘法或数乘运算相互之间除了名称相同之外没有共同之处. 但是若关注这些不同类型对象上定义的运算, 会发现这些运算本身具有很多相同的性质, 例如这些对象相加的结果与被加项的次序无关(交换律), 又如相加还满足结合律, 乘法(数乘)与加法还满足分配律等. 因此本章引入的线性空间将关注这些不同对象间运算时共同的东西, 而不拘泥于具体的对象, 若将这些具有不同性质的
2、对象视作集合, 也就是集合中的对象间能够实施“加法”及乘法(数乘)”运算, 又满足一些规律, 这个集合将被称作线性空间. 当然在具体对象的性质没有明确之前不能说明它们之间是如何进行运算的, 但可以先假定这些运算服从一定的算术规律, 再以适当的形式将这些规律叙述成公理的形式.在给出线性空间的严格定义之前, 先简单介绍运算、代数系统、域等概念.设 F 为给定的集合, F 上的二元运算(用符号 表示该运算)定义为: : F F F其中 F F 为集合 F 的笛卡尔积, 这个定义可以推广到 n元运算. 若运算的结果还是 F 中的元素, 则称运算是封闭的. 关于运算定义了下列性质:1. 可结合: x,y
3、,z F 有 (x y) z = x (y z).2. 可交换: x,y F 有 x y = y x.以及跟运算相关的特殊元素:1. 单位元(identities): e F, 使得 x F 都有 e x = x e = x, 则称 e 为运算 的单位元.2. 逆元(inverse): x F 若存在元素 y F 使得 x y = y x = e, 则称 y 为 x 关于运算 的逆元.代数系统是指由集合 F 及其上定义的一些运算构成的系统, 表示为?F,运算1,运算2,.,运算k?.域是一种代数系统, 指在集合 F 上定义了“ 加法”和“ 乘法”的二元运算(分别用符号“+” 和“” 表示),
4、这两个运算在 F 上封闭, 且它们还满足下述规则:11. 运算“+” 可结合.2. 运算“+” 可交换.3. F 中存在加法单位元 “0”.4. x F 存在加法逆元 y F 使得 x + y = 0, 通常将 y 记成 x, 称加法逆元为负元.5. 运算“” 可结合.6. 运算“” 可交换.7. F 中存在乘法单位元 “1”.8. F 中任意非“0”元素x, 存在乘法逆元, 常记成 x1.9. 运算 对 + 成立分配律, 即: x,y,z F 有 x (y + z) = x y + x z.则代数系统hF,+,i称为域. 在不产生混淆的前提下, 为了方便, 两个元素相乘 a b时, 就直接写
5、成 ab.例例例 1. 考虑整数集 Z上的加法和乘法, 因除了1之外其它非零整数不存在乘法逆元, 因此 hZ,+,i 不是域.不难验证有理数集Q、实数集 R、复数集 C 上定义的加法和乘法构成的都是域. 这也是为什么有理数集、实数集或复数集常被称作有理数域、实数域或复数域, 而没有人会称整数域或自然数域.例例例 2. 集合 F2= 0,1上定义模2加法“2”和乘法“2”, 即 x,y F2x 2y=x + y mod 2x 2y=xy mod 2易证代数系统 hF2,2,2i 是域, 通常被称作二进制域.当构成域的集合是有限集时, 也称为有限域.4.1线性空间的概念4.1.1线性空间的定义定定
6、定义义义 4.1. 集合 V 是由定义在数域 F 上的对象构成的非空集合, 称这些对象为元素,关于这些元素及数域定义了“加法”和“ 数乘”运算, 若运算若满足下列公理I. 封闭性公理(1) 加法运算封闭, 即 x,y V 则 x + y V .(2) 数乘运算封闭, 即 F,x V 则 x V .II. 关于加法的公理(3) 加法可交换, 即 x,y V 有 x + y = y + x.(4) 加法可结合, 即 x,y,z V 有 (x + y) + z = x + (y + z).(5) V 中存在零元0(加法单位元), 使得 x V 有 x + 0 = 0 + x = x.2(6) V 中
7、任意元素 x 都存在负元x(加法逆元) 使得 x + (x) = 0.III. 关于数乘的公理(7) 数乘运算可结合, 即 x V 以及数域中的任意数k,l F 成立:k(lx) = (kl)x(8) 存在数乘的单位元“1”, x V , 有1x = x(9) 数乘对 V 中加法成立分配律, 即 k F及x,y V , 有k(x + y) = kx + ky(10) 数乘对数域 F 中的加法成立分配律, 即 k,l F及 x F 有(k + l)x = kx + lx就称 V 为数域 F 上的线性空间.线性空间定义中的加法是 V V V 的映射, 数乘是 F V V 的映射, 与数域 F上的加
8、法、乘法运算之间有本质区别, 虽然在符号使用上为了方便没有区别,但要清楚它们之间是不同的.例例例 3. 考虑平面上所有过原点的向量, 它有长度和方向特征, 采用平行四边形法则(或三角形法则)定义向量之间的加法, 而数乘为实数与向量相乘, 数乘结果是向量, 它的方向与数乘前向量的方向一致( 0)或则反向( 0), 它的长度是数乘前向量长度的|倍. 若所有这些向量构成的集合表示成 V , 则 V 是定义在实数域上(向量长度、方向用实数表示), 可以验证向量加法和数乘运算满足线性空间空间定义中的所有条件, 所以它构成线性空间. 在解析几何中讨论这些向量时, 常将平面向量表示uvu + vuvu +
9、v平行四边形法则三角形法则uu( 0)u( 0)(a) 加法(b) 数乘图 4.1: 几何向量的加法、数乘运算成:?x1x2?T, 它的长度为px21+ x22, 方向表示成向量与x轴的夹角, 即向量的集合(记为 R2)为:R2=?xy?x,y R?定义向量加法和数乘运算:加法:?xuyu?+?xvyv?=?xu+ xvyu+ yv?数乘:?xuyu?=?xuyu?3xyuvu + vxuyuxvyvxu+ xvyu+ yvxyuu0uxuyuxuyu0xu0yu 00 0(a) 加法(b) 数乘图 4.2: 解析几何中向量的加法、数乘运算易证 R2是线性空间, 若推广到n(非零自然数)阶向量
10、, 即Rn=x1x2xn?xi R(i = 1,2,.,n)结论也成立. 因 Rn常与几何向量联系在一起, 所以也称为 n 阶向量空间. 若 Rn是定义在实数域 R 上, 也称实线性空间或实向量空间. 若定义在复数域 C 上, 称 Cn为复线性空间或复向量空间.例例例 4. 设集合 V 由定义于数域F上的所有 m n阶矩阵构成, 按前述章节中给出的矩阵加法和数乘运算易证构成数域 F 上的线性空间, 通常也将 V 记成 Fmn, 若F = R, 称为m n阶实矩阵(线性)空间, 记为 Rmn, 若 F = C, 称为 m n 阶复矩阵(线性)空间, 记为 Cmn.例例例 5. 数域 F 上所有一
11、元多项式(多项式系数是F中元素)全体构成的集合记为 Fx,按通常的多项式加法和多项式数乘运算, 构成数域F 上的线性空间. 若将数域F 上次数不超过n 次的一元多项式全体构成的集合记为Fxn, 在多项式加法和数乘下也构成线性空间.例例例 6. 设集合 Ca,b 是由区间 a,b上所有连续实函数构成, 按通常方法定义函数加法和数乘(实数与函数相乘)运算, 构成的也是线性空间.根据线性空间定义可知它具有下列性质:1. V 中的零元“0” 是唯一的.证 由公理(5)可知V 中存在零元, 假设 01和 02是两个零元, 根据公理(5)01= 01+ 02= 02= 02. x V 其负元是唯一的.证
12、假设 x 存在两个负元 x1和 x2, 根据公理(6)有x1= x1+ 0 = x1+ (x + x2) = (x1+ x) + x2= 0 + x2= x2= x3. 0 是数域F 中的零元, x V 成立 0x = 0(其中等式右端的 0 是 V 中的零元).4证 根据公理(8)、(9) 有0x + x = 0x + 1x = (0 + 1)x = 1x = x在等式两端加上 x 的负元x, 有等式左端:0x + x + (x) = 0x + 0 = 0x等式右端:x + (x) = 0因此0x = 04. 0 是V 的零元, F 有 0 = 0.证 根据公理(10)有0 = 05. x
13、V 它的负元为 (1)x(其中 1 为域 F 中 1的负元).证 由公理(8)、(9) 有x + (1)x = 1x + (1)x = (1 + (1)x = 0x = 0根据公理(6)知: (1)x 是 x 的负元.6. F, x V , 有 ()x = (x) = (x).(利用性质5证明)7. 若 x = 0 则 = 0 或 x = 0.(利用性质3和4证明)4.1.2线性子空间许多问题中, 一个“大”的线性空间的一部分, 关于该线性空间的加法和数乘还可形成线性空间, 例如: 几何空间中, 任意一个过原点的平面关于几何向量的加法和数乘运算也构成线性空间(满足线性空间公理). 显然, 该平
14、面是几何空间的一部分,且关于几何空间的运算构成线性空间. 为此, 引入子空间的概念.定定定义义义 4.2. 给定数域F上的线性空间V , 设 S 是V 的一个非空子集, 同时S 关于 V 上的运算也构成线性空间, 则称S为V 的一个线性子空间.为了说明线性空间V 的一个子集S是否为线性空间, 不一定要按线性空间的十条公理一一验证, 仅需检查下列三条是否成立:定定定理理理 4.1.1. S是数域F上线性空间V 的非空子集, 则当且仅当S满足封闭性公理(1)、(2)时, 它是V 的子空间.证:必要性显然, 下面证充分性:S是V 的子集, 因此公理(1)(4) 和(7)(10) 在S 上自然成立.由
15、S 非空,则 x S,根据封闭性公理 F, x S, 取 = 0, 则 x = 0 S,因此, 公理(5)满足.x S, 取 = 1, 由封闭性知 (1)x S, 且x + (1)x = 0根据性质(5)可知 (1)x是x的负元, 因此公理(6)满足.显而易见, 仅包含V 的零向量的集合和V 本身都是线性空间V 的子空间, 称它们为平凡子空间.5例例例 7. 设A Rmn, 将满足方程 Ax = 0 的解构成的集合记为N(A), 即N(A) =?x?x Rn Ax = 0?易证N(A)满足定理4.1.1, 因此它是 Rn的子空间, 称为矩阵A 的核或零空间.例例例 8. 设A Rmn, 集合R
16、(A) Rm定义为R(A) = y|y = Ax x Rn则R(A)也满足定理4.1.1.所以,它是 Rm的子空间, 称为矩阵A 的值域. 另外,对R(A)中的任意向量y, 由定义可知它是矩阵A的列向量的线性组合, 所以R(A)也称为A的列空间, 记为Col(A).例例例 9. 例6中的线性空间C a,b 的子集E a,b定义为E a,b =?f(x)?f(x) C a,b f(x) = f(x)?则E a,b 满足定理4.1.1, 它是C a,b的子空间.例例例 10. 设 f(x) = aex+ bex, 其中a,b R, 称f(x) 为函数 ex和 ex的线性组合,则a,b所有不同取值下
17、的函数 f(x), 构成集合S, 则 S 满足封闭性性定理, 它是R上的连续函数空间C的子空间.例例例 11. 设 1,2,.,k是数域F上的线性空间 V 的一组向量, 定义集合L(1,2,.,k) =(kXi=1ii?i F (i = 1,2,.,k)可验证L(1,2,.,k)满足定理4.1.1的封闭性公理, 它是 V 的子空间, 常称它为由1,2,.,k生成(或张成)的子空间, 记成:span(1,2,.,k), 其中1,2,.,k为生成元.例例例 12. 如线性空间R3的两组不同向量a1,a2和 b1,b2,b3, 生成两个子空间:L1(a1,a2) 及 L2(b1,b2,b3), 其中
18、a1=0.510,a2=011和 b1=131,b2=1.521,b3=102. 生成的子空间L1(a1,a2) 表示的平面满足下列方程2x1+ x2+ x3= 0易证向量b1,b2,b3的端点恰好是该平面上的三个不共线的点, 因此生成子空间L2与L1表示的是同一个子空间(平面).例12说明, 两组不同的向量可能生成相同的子空间. 那么, 当给出多个线性空间或线性子空间时, 如何描述线性空间及它们之间的关系? 因此将引入刻画线性空间特征的基、维数等概念.6x2x1x3a1a2b3b1b2图 4.3: 例124.2线性空间的基、维数和坐标4.2.1基与维数定定定义义义 4.3. 线性空间V 中的
19、一组线性无关的向量 1,2,.,n, 若V 中的任意向量都可表示成它们的线性组合, 则称这组向量为线性空间V 的基.线性空间的基不唯一, 但组成基的向量个数是唯一的.定定定义义义 4.4. 线性空间V 的一个基中含有的向量个数称为线性空间V 的维数, 记为dimV .例例例 13. 在Rn空间中, 向量组e1=100.00,e2=010.00, ,en=000.01线性无关, 并且x Rn, 有x =nXi=1xiei其中 xi(i = 1,2,.,n) 为向量 x的分量. 它构成线性空间Rn的一组基, 通常称为自然基或常用基, 空间Rn的维数为dimRn= n.例例例 14. Rmn是所有m
20、 n阶实矩阵构成的线性空间, 考察一组m n阶矩阵:eij(i =1,2,.,m;j = 1,2,.,n), 其中矩阵 eij的第i行第j列元素为1,其它元素为0. 这组矩阵线性无关, 并且A Rmn均可表示为A = aijmn=mXi=1nXj=1aijeij显然, 这组矩阵构成Rmn的一组基, 并且 dimRmn= m n.7例例例 15. 考虑矩阵A的零空间N(A)和值域(列空间)R(A) = Col(A), 由线性方程组的解理论可知, 方程组Ax = 0 的基础解系构成空间N(A)的一组基, 且dimN(A) =n rank(A). 由空间 Col(A) 定义可知 Col(A) = s
21、pan(a1,a2,.,an), 其中ai(i =1,2,.,n)为矩阵A的列向量, 因此 A的列向量中线性独立的向量构成R(A)的基,且 dimR(A) = dimCol(A) = rank(A).4.2.2坐标系对于线性空间V , 指定一组基的重要原因就是给V 引入一个“坐标系”, 如空间Rn中的向量x一般是在自然基e1,e2,.,en下的表述. 坐标系将使得 V 像Rn一样便于操作.定定定义义义 4.5. 设向量组B = 1,2,.,n 是线性空间V 的一个基, 则 x V , 有x = x11+ x22+ . + xnn(4.1)则称 x1,x2,.,xn为向量x在基B下的坐标, 表示
22、成x1,x2, ,xnT.坐标系的存在依赖于下列唯一表示定理定定定理理理 4.2.1. (唯一表示定理) 设B = 1,2,.,n 是V 的一个基, 则 x V 可唯一表示成式(4.1).证:假设x V 在基B下的表示不唯一, 即除了式(4.1)还存在另一种关于基B的线性组合x =nXi=1x0ii(4.2)等式(4.1)和(4.2)相减, 得nXi=1(xi x0i)i= 0若 xi6= x0i, 说明存在不全为零的一组数使i的线性组合为零, 这与B 是 V 的一个基矛盾.因此 xi= x0i(i = 1,2,.,n), 即表示式(4.1)唯一.例例例 16. 设 x 是R2中任一向量, x
23、 在基a,b 下的坐标如图4.4所示.abx = x1a + x2bx1x2图 4.4: 例16例例例 17. 设R2的一个基1=?10?,2=?12?, 向量x =?16?, 求x 在基1,2下的坐标.8解: 事实上, x =?16?是在自然基下的坐标, 即x = 1 e1+ 6 e2. 设 x =x11+ x22, 其中 x1,x2为待求的x 在基1,2下的坐标.?12?x1x2?=?e1e2?16?1102?x1x2?=?16?求得x1= 2,x2= 3, 即 x = (2)1+ 32.例例例18.实数域上的3次多项式空间Rx3,已知B1=?1,1 + x,1 + x + x2,1 +
24、x + x2+ x3?和B2=?1 x,1 + 2x + 3x2,1 + x + x2+ x3,5 2x2+ x3?是 两 组 基,求f(x)=x + 5x2 x3在B1,B2下的坐标.解:设 f(x) 在B1下的坐标为 1,2,3,4, 则有?11 + x1 + x + x21 + x + x2+ x3?1234?T= x + 5x2 x31+ 2+ 3+ 4=02+ 3+ 4=13+ 4=54=11=12=43=64=1设 f(x) 在B2下的坐标为 1,2,3,4, 则有1(1 x) + 2(1 + 2x + 3x2) + 3(1 + x + x2+ x3) + 4(5 2x2+ x3)
25、 = x + 5x2 x31+23+54=01+22+3=132+324=53+4=11=11/82=11/83=3/84=5/8例18说明(1) 线性空间的基不唯一; (2) 向量在不同的基下的坐标一般也不同;4.3线性空间同构开始介绍同构之前先引入映射的概念.4.3.1映射定定定义义义 4.6. 设 S,T 为两个集合, 若存在一个法则, 使得对集合S中每个元素, 按法则, 都有T 中唯一确定的元素与它对应, 则称为从集合S到集合T的映射, 记作 : S 7 T. 把 称为在映射下的像, 常写成 = (), 而也称为在映射下的一个原象.通常将集合S称为映射的定义域, 而S在映射下的像的全体
26、称为值域, 记为 (S), 它是T的一个子集, 即 (S) T.(1) 若 (S) = T, 则称映射为满射的.(2) 对S中任意两个不同的元素1,2, 在映射下的像也不同, 即若 16= 2, 则 (1) 6= (2), 就称映射为单射的.9(2) 若映射既是满射又是单射, 就称为一一映射或双射.例例例 19. 设 : N 7 Z, 其中 x N, (x) = (1)xx, 是单射.例例例 20. 设 : Z 7 0,1, 其中 x Z, (x) = x mod 2, 表示任意整数x除以2以后的余数, 是满射.例例例 21. 设 : R 7 R+, 其中R+表示正实数集, x R, (x)
27、= ex, 则 是双射.设 : S 7 T, : T 7 U, 将 称为映射的合成, 且 : S 7 U, 常写成 ( (). 如例19和例20的映射合成后为 N到0,1的映射, 即对任意自然数x, ( (x) = (1)xx mod 2.4.3.2同构定定定义义义 4.7. 给定数域F上的线性空间 V 和 W, 设 是 V 7 W 的映射, 若映射满足:(1) 任意, V , 有 ( + ) = () + ().(2) 任意数c F 和任意 V , 有 (c) = c ().称为线性映射. 当V = W时, 线性映射又称为线性变换.线性变换将在下一章讨论, 这里考虑下面特殊的线性映射.定定定
28、义义义 4.8. V 和W是数域F上的线性空间, 若从V 到W的线性映射是一一映射(双射),则称该线性映射为同构映射. 这时的线性空间V 和W 称为同构(isomorphism), 记为V= W.定定定理理理 4.3.1. 设数域F上的线性空间V= W, 则同构映射将V 的零向量映射到W的零向量.证:设 : V 7 W 为同构映射, 0V,0W分别为线性空间V 和W的零向量, 根据线性空间性质(3)有: 0V= 0x, 其中0 F, x V , 因此 (0V) = (0x) =0 (x) = 0W.例例例 22. 数域R 上的二次多项式空间Rx2=?a0+ a1x + a2x2?ai R,i
29、= 0,1,2?与线性空间R3之间的对应关系如下:a0+ a1x + a2x2a0a1a2显然, 这是一一映射关系, 而且它是线性空间Rx2与R3之间的同构映射, 且对任意a0+ a1x + a2x2, b0+ b1x + b2x2和c R, 满足a0+a1x+a2x2+b0+b1x+b2x2(a0+ b0)+(a1+ b1)x+(a2+ b2)x2a0a1a2+b0b1b2=a0+ b0a1+ b1a2+ b2c ?a0+ a1x + a2x2?=(ca0) + (ca1)x + (ca2)x2ca0a1a2=ca0ca1ca2因此 Rx2= R3.10定定定理理理 4.3.2. 数域F上两
30、个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数.证:设U,V 均为数域 F上为n维线性空间, BU= 1,2,.,n 和 BV=1,2,.,n 分别为U和V 的基. 则对x U, 可唯一表示成 x =nXi=1xii,定义U到V 的映射, 它满足对 x V (x) =nXi=1xii可证明它是U 7 V 的线性映射, 因为对任意 x,y U, 有x =nXi=1xii,y =nXi=1yii Ux + y =nXi=1(xi+ yi)i (x + y) =nXi=1(xi+ yi)i=nXi=1xii+nXi=1yii= (x) + (y)对任意c F, x U, cx =nXi=1cx
31、ii, 则 (cx) =nXi=1cxii= cnXi=1xii= c (x)由上面两式可见映射是U到V 的线性映射.现证明是一一映射: 设 x1=nXi=1x1ii, x2=nXi=1x2ii U, 若 (x1) = (x2) =nXi=1x1ii=nXi=1x2ii因任何向量在基下的坐标唯一, 有 x1i= x2i(i = 1,2,.,n), 因此 x1= x2, 由此是单射的.对任意向量y V , y 可唯一表示成y =nXi=1yii, 存在nXi=1yii= x U 与它对应, 即 (x) = y, 因此是满射的. 由此证明了是U 7 V 的一一映射又是线性映射, 因而是U到V 的同
32、构映射, 即U= V .11反之, 若 U= V , 则存在 : U 7 V 的线性一一映射, 1是V 到U的一一线性映射. 且将线性空间的零向量0U映射到V 的0V. (因0U= 0x, 所以 (0U) = (0x) = 0 (x) = 0V), 同理 1将0V映射到0U.假设m = dimU 6= dimV = n, 不妨设m n. 设1,2,.,m是U的一个基,在线性映射下, 令yi= (i),i = 1,2,.,m因是双射, 所以1(yi) = i. 现假设向量组yini=1线性相关, 则存在不全为零的一组数ci(i = 1,2,.,n) 使得mXi=1= 0V, 则1 mXi=1ci
33、yi!=mXi=1cii= 1(0V) = 0U若ci不全为零与i是U的一个基矛盾, 因此yi线性无关, 由此dimV 只能等于m = dimU.定定定理理理 4.3.3. 同构是线性空间空间之间的一种等价关系.证:(1). 线性空间V 自身之间恒等映射是V 7 V 的同构映射, 因此, 同构关系是自反的.(2). 若线性空间V= W, 则存在V 7 W的一一映射, 则 1 就是 W 7 V 的同构映射, 因此, 同构关系是对称的.(3). 若线性空间U= V , V= W, 则存在映射,分别是 U 7 V 和V 7 W的同构映射, 则 是 U 7 W的同构映射, 因而同构关系是传递的.如上所
34、证, 同构关系有自反、对称、传递的性质, 所以它是线性空间之间的等价关系.设B = 1,2,.,n) 是线性空间V 的一个基, x 是V 的任意向 量, 用xB表示x在基B下的坐标, 用V B表示V 中所有向量在基B下的坐标构成的集合, 因为关于坐标的加法和数乘满足线性空间的定义, 因此V B是线性空间.定定定理理理 4.3.4. 设 B是线性空间V 的基, V B是V 中所有向量在基B下的坐标构成的集合, 则 V= V B.证明略两个同构的空间虽然术语或记号可能不同, 但都作为线性空间往往可以不加区分,每一个V 中的计算可以等同的出现在V B中, 所以, 利用坐标亦可研究向量组的线性相关性.
35、例例例 23. 证明Rt2中的多项式1 + 2t2,4 + t + 5t2,3 + 2t是线性相关的.12证:取基B =?1,t,t2?, 在B下多项式的坐标分别为?1 + 2t24 + t + 5t23 + 2t?B=143012250只需证明?1 + 2t24 + t + 5t23 + 2t?B线性相关. 采用初等变换:143012250143012036143012000可解得:5102 2415+320= 0事实上5(1 + 2t2) 2(4 + t + 5t2) + (3 + 2t) = 0定定定理理理 4.3.5. 设1,2,.,k为线性空间V 的一组向量, 取基B = 1,2,
36、,n, 则1,2,.,k线性相关的充要条件是矩阵?12k?B的秩小于k, 即rank?12k?B? k(4.3)证:已知?12k?= B?12k?B(4.4)1,2,.,k线性相关不全为零= = =c1,.,ck?12k?c1c2ck?T= 0(4.4)代入= =B是基B?12k?B?c1c2ck?T= 0B是基= = =两边同乘B?12k?B?c1c2ck?T= 0不全为零= = =c1,.,ckrank?12k?B? k推推推论论论 1. 定理4.3.5中的向量1,2,.,k线性无关的充要条件为rank?12k?B?= k(4.5)4.3.3坐标变换设线性空间V 的两个基分别为B1= 1,
37、2,.,n和B2= 1,2,.,n, 则有1=m111+m212+mn1n2=m121+m222+mn2n.n=m1n1+m2n2+mnnn记为B2= B1M(4.6)13其中M =m11m12m1nm21m22m2n.mn1mn2mnn称矩阵 M 为由基B1到 B2的过渡矩阵. 过渡矩阵有如下性质:(1) 过渡矩阵M可逆.(2) x V , 有xB1= MxB2(4.7)证: (1) 由定理4.3.5的推论1可知rank(M) = n, 因此M可逆.(2) 因x = B1xB1= B2xB2, 将式(4.6)代入后有x = B1xB1= B1MxB2由定理4.2.1知V 中任意向量在基B1下
38、的表示唯一, 有xB1= MxB24.4欧式空间对度量大家并不陌生, 如几何中的向量具有长度和夹角等度量性质, 但在更一般的线性空间中到现在只有向量的线性运算, 还没有类似的度量. 为此, 在线性空间中引入内积(inner product)概念, 在此基础上给出长度和夹角的定义.4.4.1内积欧式几何空间中, 定义了向量之间的点积运算, 即 a b = | a|b|cos(4.8)其中 | a|,|b| 表示向量 a,b的长度, 为 a,b之间的夹角. 根据点积定义有14xyba(xa,ya)(xb,yb) ab(a)xyz ab axy azbxybz(b)图 4.5: 解析几何中向量点积|
39、 a| = a a,|b| =pb bcos = a b| a|b|由式(4.8)可知, 点积满足交换律, 而且点积也成立分配率, 即 a ?b + c?= a b + a c在解析几何中, 设 a,b R2根据点积定义有如下关系(如图4.5(a): a b = | a|b|cos = | a|b|cos(b a)=| a|b|(cosbcosa+ sinbsina)=xaxb+ yayb同样, 对 a,b R3(如图4.5(b), 将它门分解为 a = axy+ az和b =bxy+bz, 利用点积成立分配律, 有 a b = ( axy+ az) ?bxy+bz?= axybxy+ azb
40、z= xaxb+ yayb+ zazb(利用向量正交性)将上述点积的定义推广在线性空间Rn, 即 x,y Rn,x =?x1x2xn?T,y =?y1y2yn?T有x y =nXi=1xiyi(4.9)例例例 24. 设x =210和 y =423是 R3中的两个向量, 则x y = y x = 2 (4) + (1) 2 + 0 3 = 10事实上, 矩阵代数中关于矩阵A,B乘法的定义, 其结果矩阵中的第i,j个元素就是矩阵A的第i个行向量与矩阵B的第j个列向量的点积.定定定义义义 4.9. 设V 是R上的实线性空间, 用符号 (u,v) 表示 V V 7 R 的映射(其中u,v V ),
41、并且x,y,z V 和任意实数c, 该映射满足下列公理:(1) (x,y) = (y,x)(对称性).(2) (x,y + z) = (x,y) + (x,z)(线性性).(3) c(x,y) = (cx,y)(齐次性).(4) x V , 有(x,x) 0, 且(x,x) = 0 当且仅当x = 0(非负性).则称映射(u,v) 为线性空间V 上的内积.15定义了内积的实线性空间V 称为实欧式空间(Real Euclidean Space). 若考虑复线性空间V (复数域C上的线性空间), 则(u,v)是V V 7 C的映射, 并且将上述对称性公理(1) 用下列公理代替:(1) (x,y)
42、= (y,x)(Hermit对称性或复对称性).其中“”表示对“”取复共轭. 复线性空间中满足上述公理的映射称为厄米特内积(Hermitian Inner Product). 定义了厄米特内积的复线性空间称为复欧氏空间(Complex Euclidean Space). 在本节中主要讨论实欧式空间, 但很多结论可推广到复欧式空间. 更一般地, 将定义了内积的线性空间称为内积空间(Inner ProductSpace).注意: 在实线性空间中, 根据对称性和齐次性公理(3) 有结论 (x,cy) = (cx,y),但在复线性空间中,根据复对称性和齐次性公理(3) 有(x,cy) = (cy,x)
43、 =c(x,y) = (cx,y).例例例 25. 在线性空间Rn中, 可验证向量点积满足内积的四个公理. 由乘法的可交换性可知,向量点积具有对称性. x,y,z Rn, x(y + z) =nXi=1xi(yi+ zi) =nXi=1xiyi+nXi=1xizi= xy+xz c R, (cx) y =nXi=1cxiyi= cnXi=1xiyi= cx y x Rn, x x =nXi=1x2i 0, 并且当且仅当 x = 0, 有x 0 = 0.因此, 向量点积满足内积公理.例例例 26. 在R2中将任意两个向量x =?x1x2?T, y =?y1y2?T映射到实数:2x1y1+ x1y
44、2+ x2y1+ x2y2. 显然这种映射满足实欧式空间内积的四个公理.事实上, 用矩阵形式可将它表示成:(x,y) = xT?2111?y通常也称它为加权内积.例25和26说明在满足内积公理的前提下, 线性空间V 中的内积可以有不同的定义.例例例 27. 例6中的线性空间C a,b上, f(t),g(t) C a,b, 令(f(t),g(t)M=Zbaf(t)g(t)dt易证(f(t),g(t)满足内积公理.16例例例 28. 线性空间Rmn中, 对任意A = aij,B = bij Rmn, 定义映射(A,B) = trace?ATB?(4.10)其中 trace() 是求矩阵(方阵)对角
45、元素之和. 令C = ATB, 则C的对角元素为cii=mXk=1akibki(i = 1,2,.,n).trace?ATB?=nXi=1mXk=1akibki将矩阵写成列向量形式A =?a1a2an?,B =?b1b2bn?, 则trace?ATB?=nXi=1(ai bi)利用例24的结论可证, 映射(4.10)满足内积公理, 所以它是线性空间 Rmn的内积.数域F上的欧式空间V 的内积具有下列性质:(1) x V , (0,x) = (x,0) = 0.(2) 设a1,a2, ,am;b1,b2,bn V ,mXi=1ai,nXj=1bj=mXi=1nXj=1(ai,bj)4.4.2向量
46、的长度、夹角与标准正交基采用式(4.9)为内积的欧式空间中(后续讨论中无特殊说明,均采用此内积定义),类似几何向量长度定义, 将p(x,x)(4.11)叫作向量x 的长度, 也称作向量x的2-范数, 记为kxk.设x是欧式空间V 中向量,对任意的常数c有kcxk =p(cx,cx) = |c|kxk通常将长度为1的向量称为单位向量. 若x 6= 0, 则1kxkx是单位向量, 将1kxk乘向量x,称为将x单位化或标准化.定定定理理理 4.4.1. 对欧式空间V 的任意两个向量 x,y成立下列关系:(1) 柯西许瓦兹(CauchySchwarz)不等式:|(x,y)| kxkkyk(4.12)当
47、且仅当存在某个数c使x = cy时, 不等式中的等号成立.(2) 三角不等式:kx + yk kxk + kyk(4.13)17证:(1). 当x = 0 或y = 0 时, 不等式(4.12)成立. 设x 6= 0,y 6= 0, t为变数, 由0 (x ty,x ty) = (x,x) + t2(y,y) 2t(x,y)令 t =(x,y)(y,y), 有0 (x,x) 1(y,y)(x,y)2(x,y)2 (x,x)(y,y)|(x,y)| kxkkyk当xcy = 0时, 等号成立. 反之, 若(x cy,x cy) = 0, 则xcy = 0.(2). 由kx + yk2= (x +
48、 y,x + y) = (x,x) + (y,y) + 2(x,y)利用不等式(4.12)得kx + yk2 kxk2+ kyk2+ 2kxkkyk = (kxk + kyk)2根据范数的非负性, 有kx + yk kxk + kyk. 等号成立的充要条件同柯西许瓦兹不等式.欧式空间中的任意向量x,y的范数, 还成立下列等式(读者自行证明)kx + yk2+ kx yk2=2kyk2+ 2kyk2(4.14)kx + yk2 kx yk2=4(x,y)(4.15)相应地, 非零向量x,y间的夹角定义为cos =(x,y)kxkkyk = cos1?(x,y)kxkkyk?,(0 )(4.16)
49、例例例 29. 设x,y R4, 且x =?1312?T,y =?1/3001/3?T则kx| =p(x,x) = 3,kyk =2/3cos =12, = cos1 22!=34欧式空间中, 若向量x,y的内积为零, 即(x,y) = 0(4.17)则称这两个向量相互垂直或正交, 记为 x y. 此时, 两个非零向量正交的概念与几何中向量垂直或正交是一致的, 根据夹角的定义, 此时它们的夹角是2.18定定定理理理 4.4.2. (勾股定理推广) 欧式空间V 中两个向量x,y 正交的充要条件是kxk2+ kyk2= kx + yk2(4.18)一般将两两正交的一组向量称为正交向量组, 则正交向
50、量组有下列性质:定定定理理理 4.4.3. 欧式空间中两两正交的一组非零向量 x1,x2,.,xk必然线性无关.证:假设这组向量线性相关, 则存在不全为零的一组数c1,c2,.,ck, 使下式成立:c1x1+ c2x2+ + ckxk= 0不妨设ci6= 0(1 i k). 将向量xi与上式中两边求内积, 再利用前提条件这组向量两两正交有:(xi,0) =xi,kXj=1cjxj= ci(xi,xi) = 0因xi6= 0,(xi,xi) 6= 0, 只能ci= 0, 这与假设矛盾. 所以, 这组向量必线性无关.定定定义义义 4.10. n维欧式空间V 中, n个两两正交的非零向量组构成空间的
51、正交基, 若同时又均是单位向量, 则称为标准正交基.设1,2,.,n是欧式空间V 的基, 为了得到正交基, 对这个基实施下列操作后,得到正交的向量组: 1,2,.,n.(1) 1= 1.(2) i= ii1Xk=1tkik, 由 i与前面已求向量之间满足正交条件:(i,k) = 0,k = 1,2,.,i 1将i的表达式代入上式, 可得:tki=(i,k)(k,k),(k = 1,2,.,i 1)(3) i从2迭代到n用矩阵形式将上述过程描述为:?12n?=?12n?1t12t1n01.t(n1)n001(4.19)其中矩阵T为n阶单位上三角阵, T 非奇异, 由定理4.3.5的推论知 1,2
52、,.,n线性无关, 它们构成正交基. 将这一方法称为Gram-Schmidt正交化过程, 以纪念方法的提出者数学家Jrgen Pedersen Gram和Erhard Schmidt, 该方法适用于任意一组线性无关向量的正交化.19定定定理理理 4.4.4. 任何n维欧式空间V (n 1)必有正交基.证: 对V 的任意基实施Gram-Schmidt正交化, 可得到正交基.例例例 30. 设线性空间S = spanx1,x2,x3, 其中x1=1111,x2=0111,x3=0011求S的正交基.解:易证 x1,x2,x3线性无关.(1). 令1= x1=1111.(2). 2= x2(x2,1
53、)(1,1)1=0111341111=143111(3). 3= x3(x3,1)(1,1)1(x3,2)(2,2)2, 求得(x3,1)(1,1)1=12,(x3,2)(2,2)=16,3=0011121111163111=1302111,2,3是线性空间S的正交基.更进一步将正交基的向量单位化, 可得到标准正交基.推推推论论论 2. 任何n维欧式空间(n 1)均存在标准正交基.例例例 31. 设x1,x2,x3是欧式空间R4的一组向量, 其中x1=1010,x2=0121,x3=2101试求: (1) 生成子空间span(x1,x2,x3)的标准正交基;(2) 将此标准正交基扩充成R4的标
54、准正交基.20解: (1) 先确定向量组的线性相关性,?x1x2x3?=102011120011R1(1)+R3 102011022011R2(2)+R3 R2(1)+R4102011000000其中x1,x2线性无关, 对它们实施GramSchmdit正交化:1= x12= x2(x2,1)(1,1)1=?1111?T标准化: 01=1k1k=121010, 02=2k2k=121111.则01,02为span(x1,x2,x3)的标准正交基.(2) 因 dimR4= 4 而 dimspan(x1,x2,x3) = 2, 需再增加两个基向量才能扩充成 R4. 根据题意扩充的向量与子空间 sp
55、an(x1,x2,x3) 的基向量正交而且线性无关, 它等价于求下列线性方程租的基础解系, 然后再对它正交标准化,可得到扩充的标准正交基向量.(01)T(02)T#y = 0或xT1xT2xT3y = 0即y1+y3=0y1+y2+y3+y4=0求得基础解系为:?1210?T,?0101?T, 再将它们标准正交化, 得03=661210,04=361113,因此 01,02,03,04为R4的标准正交基.设 A Rmn为列满秩矩阵, 若将矩阵 A =?a1a2an?线性无关的列向量应用GramSchmidt方法(包含向量标准化), 可得到A的一种分解形式.定定定理理理4.4.5. 设A Rmn
56、为列满秩矩阵, 则A可以分解为A = QR, 其中Q为mn矩阵, 且Q的列向量组标准正交. R为n阶可逆上三角阵, 且对角元素均大于零.通常将这种分解称为矩阵的QR分解.21证: 因矩阵A的列向量线性无关, 对它应用GramSchmidt方法:(1) i = 1: a0i= ai, bi=p(a0i,a0i) = ka0ik, qi=1bia0i.(2) i = i + 1:a0i= aii1Xj=1tjiqj, 其中 tji由条件 (a0i,qj) = 0 (1 j i) 确定, 即tji= (ai,qj),j = 1,2,.,i 1bi=p(a0i,a0i) = ka0ik 及 qi=1b
57、ia0i(3) 若 i 0 (i = 1,2,.,n). 类似式(4.19)将此过程表示为矩阵形式:A =?q1q2qn?b1b200.bn1t12t1n01.t(n1)n001将上述等式中最右的单位上三角阵记为T, 对角阵记为B = diag(b1,b2,.,bn),并令Q =?q1q2qn?mn则有A = QBT令R = BT, 易知R是上三角阵, 且其对角元就是B中对角元. 而Q 中的列向量是相互正交的单位向量, 即 QTQ = En.例例例 32. 求矩阵A的QR分解.A =59173515解:(1) b1= ka1k = 6,q1=16a1.(2) a02= a2 t12q1,t12
58、= (a2,q1) = 2,a02=?1513?T,b2= ka02k = 6,q2=16a02T =?1201?,B =?6006?22Q =1651153113,R = BT =?61206?定定定义义义 4.11. 设 i(i = 1,2,.,n) 是 n 维线性空间 V 的一组向量, 则称下列矩阵(1,1)(1,2)(1,n)(2,1)(2,2)(2,n).(n,1)(n,2)(n,n)= (i,j)nn(4.20)为向量组 i(i = 1,2,.,n) 的 Gram 矩阵.定定定理理理 4.4.6. 线性空间 V 的一组向量 1,2,.,k线性无关, 则这组向量对应的Gram 矩阵非
59、奇异.证:设 c1,c2,.,ck为任意一组数, 令 y =kXi=1cii, 将 i(i = 1,2,.,k) 分别与 y 求内积, 则下列等式成立:(1,1)(1,2)(1,k)(2,1)(2,2)(2,k).(n,1)(n,2)(k,k)=(1,y)(2,y).(k,y)当取 y = 0, 则上列等式的右端项为向量 0, 而向量 i(i = 1,2,.,k)线性无关时, ci(i = 1,2,.,k)只能取 0. 而上述矩阵只有零解时, 由方程组解理论可知当且仅当系数矩阵列满秩, 也就是 Gram 矩阵(方阵)是满秩矩阵, 即非奇异.定定定理理理 4.4.7. 设B = 1,2,.,n
60、是n维欧式空间V 的一组标准正交基, 若?12n?= BM则1,2,.,n是标准正交基的充要条件为 M是正交矩阵, 即MTM = E.23证:设 1,2,.,n是标准正交基, 则(i,j) = ij=?1,i = j0,i 6= j即 1,2,.,n的 Gram 矩阵等于 En,(1,1)(1,2)(1,n)(2,1)(2,2)(2,n).(n,1)(n,2)(n,n)= En而i= Bmi,j= Bmj其中, mi, mj是矩阵 M 中的第 i 和 j 列. 因 B是标准正交基, 它对应的 Grame矩阵也是单位阵, 有E = (i,j) = (BM)TBM = MTM反之, 若M是正交矩阵
61、, 满足MTM = E, 则1,2,.,n是V 的基, 且(i,j) = (Bmi,Bmj) = (mi,mj) = ij=?1,i = j0,i 6= j其中mi,mj是矩阵M的第i,j列. 因此1,2,.,n是两两正交的标准基.4.5子空间之间关系4.5.1子空间的交与和定定定义义义 4.12. 设V1,V2是欧式空间V 的两个子空间, 将V1 V2称为子空间V1和V2的交.定定定理理理 4.5.1. 欧式空间V 的任意两个子空间的交仍是V 的子空间.证:(1) 因0 V1且 0 V2, 所以 V1 V2非空.(2) x,y V1 V2, x + y V1同时 x + y V2, 所以 x
62、 + y V1 V2.(3) 任意数c和V1 V2的任意向量x 的数乘 cx, cx1 V1又 cx V2, 所以 cx V1 V2.由定理4.1.1 知 V1 V2是V 的子空间.定定定义义义 4.13. V1,V2是欧式空间V 的两个子空间, 定义集合:V1+ V2=?x + y?x V1,y V2?(4.21)称V1+ V2是子空间V1与V2的和.定定定理理理 4.5.2. 欧式空间V 的任意两个子空间V1、V2的和仍是V 的子空间.24证:(1) V1+ V2非空, 因 0 = 0 + 0 V1+ V2.(2) 设 x,y为V1+ V2的任意两向量, 根据定义它们可表示为x = x1+
63、 x2,y = y1+ y2,其中x1,y1 V1,x2,y2 V2.所以x + y = (x1+ y1) + (x2+ y2) V1+ V2.(3) x V1+ V2, c为任意数, 则 cx = cx1+ cx2 V1+ V2.由定理4.1.1知 V1+ V2是V 的子空间.关于欧式空间V 的子空间的交与和还有下列性质:(1) V 的任意有限个子空间的交仍是V 的子空间.(2) V 的任意有限个子空间的和仍是V 的子空间.(3) V1,V2是V 的子空间, 则 V1 V2是V1+ V2的子空间.例例例33.设x1,x2,.,xm和y1,y2,.,yk是 欧 式 空 间V 的 两 组 向量,
64、令L1=span(x1,x2,.,xm),L2=span(y1,y2,.,yk),L3=span(x1,x2,.,xm;y1,y2,.,yk), 证明: L1+ L2= L3.证: b L1+ L2, 根据子空间和的定义有: b = b1+ b2, 其中 b1 L1, b2 L2, 则b1=mXi=1cixib2=kXi=1diyib =mXi=1cixi+kXi=1diyi L3因此 L1+ L2 L3.反之, b L3, 则b =mXi=1cixi+kXj=1djyj令b1=mXi=1cixi,b2=kXj=1djyj显然b1 L1,b2 L2b L1+ L2因此 L3 L1+ L2. 最
65、后有 L1+ L2= L3.定定定理理理 4.5.3. (维数公式)设 V1,V2是欧式空间空间V 的子空间, 则dimV1+ V2= dimV1+ dimV2 dimV1 V2(4.22)25证: 设dimV1= m, dimV2= l, dimV1 V2= k, Z= z1,z2,.,zk 为V1 V2的基, 从Z开始, 通过从V1中扩充m k个适当的向量(线性无关)X = x1,x2,.,xmk, 使向量组 X Z 为 V1的基. 同理由向量组Z开始扩充l k个线性无关的向量组Y = y1,y2,.,ylk, 使向量组Y Z构成V2的基. 显然有 V1= span(X Z), V2= s
66、pan(Y Z), 由例33可知 V1+ V2=span(X Y Z).下面证明向量组X,Y,Z张成V1+ V2的基, 即向量组 X Y Z 线性无关. 考察下列线性组合式c1x1+cmkxmk+d1z1+dkzk+e1y1+elkylk= 0 (4.23)令a = c1x1+ + cmkxmk+ d1z1+ + dkzk= e1y1 elkylk由上式可知 a V1同时 a V2, 所以 a V1 V2. 所以 a可由 z1,z2,.,zk线性表示, 即a = f1z1+ f2z2+ + fkzk于是f1z1+ f2z2+ + fkzk+ e1y1+ + elkylk= 0由 Y,Z是V2的
67、基可知, f1= f2= = fk= e1= e2= = elk= 0. 同时又根据向量组X线性无关(是V1基的一部分), 要使得式(4.23)成立, 只有c1= c2= = cmk, 从而向量组 X Y Z线性独立, 它是 V1+ V2的基. 因此, 有dimV1+ V2= m + l k = dimV1+ dimV2 dimV1 V2推推推论论论 3. V1,V2是欧式空间V 的子空间, 则dimV1+ V2 dimV1+ dimV2(4.24)当且仅当 V1 V2= 0 时等号成立.推推推论论论 4. V1,V2,.,Vm是欧式空间V 的子空间, 则dimV1+ V2+ + Vm dim
68、V1+ dimV2+ + dimVm(4.25)例例例 34. 设 V1= span(1,2,3), V2= span(1,2), 其中1=1020, 2=2011, 3=1011;1=3312, 2=1303.求子空间 V1 V2和 V1+ V2的基.26解:?12312?=12131000332111001123R1(2)+R3 12131000330335201123R4(3)+R3 1213100033000111101123R2(11/3)+R3 12131000330000001123 10100011010001100000由上式可知 dimV1= dimV2= 2, 2= 1
69、2, 3= 1+ 21,2,1是 V1+ V2的基, 即V1+ V2= span(1,2,1). dim(V1+ V2) = 3由 2= 1 2得 1 2= 2 (V1 V2), 因此 dim(V1 V2) = 1定定定义义义 4.14. 设 V1, V2是欧式空间 V 的子空间, 若x V1+ V2都能唯一地表示成x = x1+ x2,x1 V1,x2 V2(4.26)则称 V1+ V2为两个子空间的直和(Direct Sum), 记为 V1 V2.定定定理理理 4.5.4. V1,V2是欧式空间 V 的两个子空间, 则下列结论相互等价:(1) V1+ V2是直和;(2) V1 V2= 0;
70、(3) dim(V1+ V2) = dimV1+ dimV2;证: (2)(3)已由维数公式证明.(1)(2): 设 x V1 V2, 则 x 可分解成 x = 0 + x = x + 0, 其中 0 V1, x V2或 x V1, 0 V2, 由直和分解的唯一性, 可知 x = 0.(2)(1): 设向量 x = x1+ x2= x01+ x02(假设分解不唯一), 其中 xi,x0i Vi(i =1,2), 0 = x x = (x1 x01) + (x2 x02) V1 V2, 因此 x1 x01= x02 x2=0 V1 V2, 有 xi= x0i(i = 1,2),由此证明了分解唯一
71、.定定定理理理 4.5.5. 设V1是n维欧式空间V 的子空间, 则一定存在V 的一个子空间V2, 使得V = V1 V2满足上述条件的子空间V2称为V1的补子空间(Complementary Subspace).证: 设 x1,x2,.,xm为 V1的基, 则可扩充 n m 个向量 y1,y2,.,ynm使x1,.,xm,y1,.,ynm为 V 的基, 则令 V2= span(y1,y2,.,ynm), 有V = V1+ V2且 V1 V2= 0. 因此 V = V1 V2.27例例例35. 欧式空间R3中 V1为任意过原点的平面, V1是R3的一个子空间, 设 x为不在平面 V1上的向量,
72、 令 V2= span(x), 则R3= V1 V2, 若 y 是不在平面V1上的 另一向量, 则 V02= span(y) 与 V1的直和也等于R3. 这说明子空间V1的补子空间不唯一.(如图4.6)xyV2V02OV1图 4.6: 补空间不唯一直和概念可以推广到多个子空间的直和.定定定义义义 4.15. 设V1,V2,.,Vm是欧式空间V 的子空间, 若对和空间 V1+V2+Vm的任意向量 x 都能唯一地表示成x = x1+ x2+ + xm,xi Vi,(i = 1,2,.,m)则称这个和为直和, 记为 V1 V2 Vm或mMi=1Vi.定定定理理理 4.5.6. 设V1,V2,.,Vm
73、是欧式空间V 的子空间, 则下列结论互相等价:(1) V1+ V2+ + Vm是直和;(2) 对i = 1,2,.,m 有 VimMj=1,j6=iVj= 0;(3) dim(V1+ V2+ + Vm) = dimV1+ dimV2+ + dimVm;将多个空间的直和写成V1V2Vm1与Vm的直和, 可采用定理4.5.4的类似证明方法归纳证明.4.5.2子空间正交下面讨论子空间之间的正交关系定定定义义义 4.16. 设V1和V2是欧式空间V 的两个子空间, 若对任意的x V1,y V2, 恒有(x,y) = 0则称子空间V1与V2是正交的, 记为V1 V2. 若V 的某个非零向量x与V1的任意
74、向量y,成立(x,y) = 0则称向量x与子空间V1正交, 记为x V1.与自身正交的向量只有零向量, 因此(1) 若 V1 V2, 则 V1 V2= 0.(2) 若 V1, 且 V1, 则 = 0.定定定理理理 4.5.7. 若欧式空间V 的子空间V1,V2,.,Vm两两正交, 则V1+ V2+ + Vm= V1 V2 Vm28证: 当 k=2 时, V1V2, 有V1 V2=0, 由 定 理4.5.4的(2)可 知:V1+ V2= V1 V2.设 k m 时, V1+ V2+ + Vk= V1 V2 Vk成立.当k = m时, 令 W = V1V2Vm1, 设 x 为 VmW的任意向量,
75、因 x W所以它可唯一分解成x = x1+ x2+ + xm1,xi Vi(i = 1,2,.,m 1)同时 x Vm, 由 Vm与 Vi(i = 1,2,.,m 1)正交可知: x xi,由此得 x x(即 (x,x) = 0), 只能 x = 0, 同样根据定理4.5.4(2)有W + Vm= W Vm= V1 V2 Vm.定定定义义义 4.17. 设V1,V2是欧式空间V 的两个子空间, 若 V1 V2, 且 V1+ V2= V , 则称V2是 V1的正交补.定定定理理理 4.5.8. n维欧式空间V 的任一子空间W都存在唯一的正交补, 记为W.证: 若W = 0, 则W= V (因x
76、V,(x,0) = 0). 同理, 若W = V 则W= 0且是唯一的.若W为V 的非平凡子空间设, 设W的一个标准正交基为 1,2,.,k(0 k n, 即 W = span(1,2,.,k). 通过基扩充得到V 的一个标准正交基:1,2,.,k,k+1,.,n则 W= span(k+1,k+1,.,n).(唯一性)假设W1和W2都是W 的正交补, 即W W1= W W2= V,W W1,W W2对x1 W1, 显然 x1 V , 根据 V = W W2, x1又可分解成x1= x + x2,x W,x2 W2根据正交性:0 = (x1,x) = (x + x2,x) = (x,x) + (
77、x2+ x) = (x,x)得x = 0, 即 x1= x2 W2 W1 W2. 同理可得W2 W1. 因此,W的正交补是唯一的.根据定理4.5.8,V = W W, 则对于V 中的任意向量x, 可唯一分解成x = x1+ x2,x1 W,x2 W称向量x1为x 在W上的内投影(或正投影).例例例 36. 设W是欧式空间R4的一个子空间, W = span(u1,u2), 其中u1=?4222?T,u2=?3511?T求W和向量 z =?6785?T在 W 上的正投影.29解: 设 W中的向量为 x =?x1x2x3x4?T, 则(uT1x = 0uT2x = 0(4x1+2x22x3+2x4
78、=03x15x2+x3x4=0上述齐次方程的基解为x1=?0011?T,x2=?4170?T则 W= span(x1,x2). 根据 V = W W可知 B = (u1,u2,x1,x2) 是V 的基, 下面求 zB, 求非齐次方程组的解(有唯一解):?u1u2x1x2?zB=?6785?T求得 zB=?2231?T, 即z = 2u1+ 2u2+ 3x1 x2则 z在 W上的内投影为2(u1+ u2) =?2622?T.4.5.3最佳逼近问题设S是n维欧式空间Rn的一个子空间, 对x Rn, 往往需要在S中寻找一个向量 x, 使得它能最大程度的逼近x,习题四1. 判断下列集合关于指定的运算是
79、否构成线性空间, 若不是线性空间请说明理由(违反了哪条公理).(a) 实数域R上定义集合?x + jy?x,y R?,其中j =1, 关于数的加法和数乘.(b) 有理数数域Q上定义集合S =?a + b2?a,b Q?, 关于数的加法和数乘.(c) 平面中第一象限中点构成的集合?xy?x,y R且x 0,y 0?, 关于向量加法和数乘.(d) 实数域R上的正实数集R+, 关于如下定义的加法(+)和数乘.加法(+)定义: 对x,y R+, x(+)y = xy;数乘定义: k R,x R+, k x = xk;(e) 平面中单位元内的点?xy?x2+ y2 1?, 关于向量加法和数乘.(f) 实
80、数域上集合?f(x)?f(x + 2) = f(x)?, 关于函数的加法和数乘.(g) 定义在实数域上的集合?p(x)q(x)?p(x),q(x)是实系数的多项式?, 关于有理多项式加法和数乘.30(h) Ca,b =?f(x)?f(x)为区间a,b上连续实函数,且2f(a) = f(b)?, 函数加法和数乘.(i) I0,1 =nf(x)?R10f(x)dx = 0o, 关于函数加法和数乘.2. 集合S =?xy?x,y R?, 以下关于集合元素之间的“加法”与“数乘”的定义中, 有哪些使S为线性空间, 如果不构成线性空间, 请指出违反了哪条公理.(a)?x1y1?+?x2y2?=?x1+
81、x2y1+ y2?;a?xy?=?ax0?;(b)?x1y1?+?x2y2?=?x1+ x20?; a?xy?=?axay?;(c)?x1y1?+?x2y2?=?x1y1+ y2?; a?xy?=?axay?;(d)?x1y1?+?x2y2?=?|x1+ x2|y1+ y2|?; a?xy?=?|ax|ay|?;3. 设 Rx 是指所有实系数多项式构成集合, 关于多项式加法和数乘构成线性空间,判断下列集合是否构成 线性子空间: (a)?a + x2?a R?; (b)?ax2?a R?;4. 判断下列集合是否是R3的线性子空间.(a)x1x2x3?x1+ x2+ x3= 1(b)x1x2x3?
82、x1+ x2+ x3= 0(c)3a + 1aa 5b?a,b R(d)a 3b04b?a,b R5. 判断下列集合是否是Rnn的线性子空间(关于矩阵加法和数乘).(a)?X|X Rnn,且与A相似?其中 A Rnn为给定矩阵.(b)?X|X Rnn,X是上三角阵?(c) X|X Rnn,AX = 0, A Rnn是固定矩阵.(d) X|X Rnn,AXB = 0, 其中 A Rmn, B Rnk是固定矩阵.6. 证明: 下列向量组是R4的基.1=1212,2=2301,3=1311,4=1213并求向量?71412?T在此基下的坐标.7. 若1,2线性无关, 是不同于1,2的非零向量, 则
83、1+ 和 2+ 是否线性相关?8. 设 V 是数域F上的n阶对称矩阵的集合.(a) 证明: 在矩阵加法和数乘下V 是线性空间.(b) 求V 得维数及基.31(c) 若V 是所有反对称矩阵的集合, 它是线性空间吗? 如果是, 求它的维数.9. 讨论当a,b取何值时, 向量可由1,2,3唯一线性表示, 此时 (1,2,3) 是否为 R3的基? 为什么?1=120,2=1a + 23a,3=1b 2a + 2b, =13310. 设 S 是线性空间V 的一个有限子集, 它具有性质: x V , x 均可唯一的表示成 S中元素的唯一线性组合, 证明: S 是 V 的一个基.11. 设S1=?x + 1
84、,x2+ x,x3+ 1,x3+ x2+ 2x + 2,(x2 1)2?,S2=?1 + x,1 x2,2 + 2x + x3,x3?求空间span(S1) 和 span(S2)的维数(由Si(i = 1,2)中元素张成的空间), 并给出他们的一组基.12. 设多项式空间Rxn的一个基为1,x ,(x )2,.,(x )n(为常数). 求多项式 f(x) = a0+ a1x + a2x2+ + anx2在这个基下的坐标.13. 利用坐标证明多项式空间Rx2中的多项式1 + 2x2,4 + x + 5x2,3 + 2x 是线性相关的.14. 设S,T是线性空间V 的子集, span(S)表示由S
85、中元素生成的子空间, 试证明下列结论:(a) 当且仅当span(S) = S时, S是V 的子空间.(b) 若S T, 则span(S) span(T).(c) span(S T) span(S) span(T)15. R3的两组基分别如下:121,233,371,113,324,1311求在这两个基下有相同坐标的所有向量.16. 已知R3的两个基为:B1=111,011,001,B2=101,110,011求由B1到B2的过渡矩阵矩阵.17. 已知1,2,3是R3的一个基, 有1= 1 2+ 23,2= 21 2+ 23,3= 1+ 32 53(a) 证明1,2,3也是R3的一个基.(b)
86、若 = 1 32+ 53, 求 在1,2,3下坐标.3218. 设x,y Rn, 其中x =?x1x2xn?T, y =?y1y2yn?T. 判定如下关于(x,y)的定义中哪些是内积, 哪些不是. 如果不是, 请指出它不符合内积的哪个条件.(a) (x,y) =nXi=1xi|yi|.(b) (x,y) =?nXi=1xiyi?.(c) (x,y) =nXi=1xinXj=1yj.(d) (x,y) = nXi=1x2iy2i!1/2.(e) (x,y) =nXi=1(xi+ yi)2nXi=1x2inXi=1y2i.19. 对于实欧式空间空间中的任意向量x,y, 下列结论是否成立, 若成立请
87、证明.(a) (x,y) = 0 当且仅当 kx yk = kx + yk 成立.(b) (x,y) = 0 当且仅当对任意实数c, 式 kx + cyk kxk成立.(c) 当且仅当kxk = kyk时, (x + y,x y) = 0.20. 在多项式空间Rxn上, 对f(x),g(x) Rxn, 在 x 的取值区间 0,1 上定义:(f,g) =nXk=0f?kn?g?kn?(a) 证明 (f,g) 是Rxn在区间 0,1 上的内积.(b) 当f(x) = x,g(x) = ax + b时, 求(f,g).(c) 当f(x) = x时, 求与f正交的非零多项式g.21. 欧式空间中称d(
88、x,y) = kx yk 为元素x和y 之间的距离, 证明: d(x,y) d(x,z) + d(y,z).22. 设1,2,.,n为欧式空间Rn的一个基, 证明下列结论.(a) 向量x Rn满足(x,i) = 0(i = 1,2,.,n), 则x = 0(b) 向量x1,x2满足对y Rn成立(x1,y) = (x2,y), 则x1= x2.23. 证明本章中式(4.14).24. 证明定理4.4.2.25. 设1,2,.,n是欧式空间Rn的n个向量, 证明: 它构成Rn的一个基的充要条件是它的Gram行列式6= 0, 其中Gram行列式定义为:(1,1)(1,2)(1,n)(2,1)(2,
89、2)(2,n).(n,1)(n,2)(n,n),其中(i,j)为i与j内积.3326. 设S1,S2,.,Sk是线性空间V 的k个非平凡子空间, 证明: 必存在V 中的一个向量, 它不属于这些子空间中的任何一个.27. 用Gram-Schmidt法将空间R4的一个基B 标准正交化, 并给出由B到正交化基之间的过渡矩阵.B =1101,2130,1100,011128. 设矩阵A =122212121, 采用Gram-Schmidt法A表示成QR, 其中Q为正交矩阵, R为上三角阵.29. 设多项式空间Rx2中定义内积:f(x),g(x) Rx2, (f,g) =Z11f(x)g(x)dx,选择
90、1,x,x2为基, 采用Gram-Schmidt法构造 Rx2的标准正交基.30. 在R5中, 向量组1=?10001?,2=?11010?,3=?21100?求子空间span(1,2,3)的标准正交基.31. 设 线 性 空 间V 中 非 零 向 量 1,2,3,4, 线 性 无 关, 子 空 间 S1=span(1+ ,2+ ), S2= span(2,3), S3= span(3+ ,4), 求S1S2,S2S3,S1 S3.32. 设S1,S2,S3是线性空间V 的子空间, 若S1S2= 0, S2S3= 0, S3S1=0, 问S1+ S2+ S3是否为直和, 举例说明.33. 在R
91、3中, 单位向量组 1,2,3构成 R3的一个基B, 则对x R3, 在这个基下可表示为x = BxB, 其中xB为x在基B下的坐标. 设xB=?x1x2x3?T.(a) 令S1= span(1,2), S2= span(3), 证明: R3= S1 S2.(b) 采用书中内积定义式(4.9), 任意向量x R3, 令 y = x(x,3)3, 是否有y S1? 为什么?(c) 若采用向量的坐标定义向量距离, 即 dB(x,y) = kxB yBk, 试举例比较它与习题21中距离定义之间的区别. 若基向量之间正交, 两者区别又如何?(d) 因kxk =p(x,x), 那么采用怎样的坐标向量的内积定义, 才能使得上述两种距离一致?34
