《函数的连续性（116）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数的连续性（116）（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、函数增量的概念,则称,记作,即,也可以是负的.,当 为正,时,当 为负时,小于初值,注:,而是一个不可分割的,记号 不是 与 的积,记号.,定义1,定义.,函数,则称,连续函数的概念,定义2,如果当自变量在点 的增量 趋于零时,函数,或,则称函数 在 处连续,称为 的连续点.,注:,该定义表明,函数在一点连续的本质特征是:自,变量变化很小时,对应的函数值的变化也很小.,例如,函数 在点 处是来连续的,因为,在定义2中,若令,即,则当 时,即当 时,有,因而,函数在点 处连续的定义又可叙述如下:,定义3,有定义.,如果函数 当 时的极限存在,即,例 1,试证函数,证,又,由定义2知，,函数的左连
2、续与右连续,且,且,定理1,例 2,讨论,在,处的连续性.,解,右连续但不左连续,例 3,已知函数,解,则,即,连续函数与连续区间,在区间内每一点都连续的函数,叫做在该区间内,的连续函数,或者说函数在该区间内连续.,并且在左端点,处右连续,则称,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如,例 4,证,证明函数,例 5,讨论,在,处的连续性.,解,所以,例 6,解,讨论函数,所以 在 处不连续,例 7,处的连续性.,解,讨论函数,在,因为,例 8,讨论函数,解,性.,且,不存在.,例 9,取何值时，,解,要使,必须,连续函数的四则运算,定理1,则,例如,故,在其定义域内连续.,复合函数的连续
3、性,定理3,且,则复合函数,例如,注:,根据这个定理,例 10,求,解,初等函数的连续性,定理4,一切初级函数,在其定义区间内都是连续的.,定理4的结论非常重要,因为微积分的研究遇到的,函数基本上是初等函数,其连续性的条件总是满足,的,从而使微积分具有强大的生命力和广阔的应用,前景.,此外,根据定理4,求初等函数在其定义区,间内某点的极限,只需求初等函数在该点的函数值,即,定义区间).,例11,求,义区间内的点,于是,最大值和最小值定理,定义,如果,有,例如,定理5(最大值和最小值定理),在闭区间上连续的函数,一定有最大值和最小值.,定理6(有界性定理),在闭区间上连续的函数,一定在该区间上有界.,零点定理,定义,的零点.,定理7(零点定理),且,(即,即至少有,一点,使,那么在开区,例 12,证,证明方程,少有一个实根 .,令,又,由零点定理 ,使,即,方程,根,内容小结,1.,函数的连续与间断,连续函数的概念,函数的左连续与右连续,连续函数与连续区间,函数的间断点及其分类,2.,连续函数的运算,连续函数的四则运算,连续函数的复合运算,3.,闭区间上连续函数的性质,最大最小值定理与有界性定理,零点定理与介值定理,
