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1、平面向量应用举例,用向量的方法研究平面几何,平面几何中的向量方法,向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。,问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？,猜想：,1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？,2.
2、类比猜想，平行四边形有相似关系吗？,例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和,已知：平行四边形ABCD。 求证：,解：设 ，则,分析：因为平行四边形对边平行且相 等，故设 其它线段对应向 量用它们表示。,你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？,（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。,用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：,简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形,例2 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、
3、DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？,猜想： AR=RT=TC,解：设 则,由于 与 共线，故设,又因为 共线， 所以设,因为 所以,线，,故AT=RT=TC,练习、证明直径所对的圆周角是直角,分析：要证ACB=90，只须证向 量 ，即 。,解：设 则 ， 由此可得：,即 ，ACB=90,思考：能否用向量 坐标形式证明？,（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。,小结：,用
4、向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：,作业：,课本P125 1,2,2.向量在物理中的应用举例,情境1:一个人静止地双手垂挂在单杠上时,手臂的拉力与手臂握杠的姿势有什么关系?,情境2：两人一起提一个重物时,怎样提它最省力?,实例一：提重物问题（力的合成与分解）,用两根等长的细绳挂一个物体。绳子的最大拉力为T,物体重量为G,分析绳子受到的拉力大小F1与两绳子间的夹角的关系？,问题:,建立数学模型:,（1） 逐渐增大时， |F1|如何变化？,（2） 为何值时， |F1|最小，最小值是多少？,（3） |F1|能等于|G|吗？为什么？,（4）如果绳子的最大承受力恰与重物G的 重量相等 ，在什么范围内，绳子才不会断？,探求|F1|与夹角之间的关系,情景1：两人一起提一个重物时,怎样提它最省力?,夹角越小越省力,两臂的夹角越小,手臂就越省力,回归问题:,情景2:一个人在单杠上做引体向上时, 手臂怎样握杠才省力?,实例二：轮船过河问题（速度的合成与分解）。,
