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1、第6期 王如意： 一道高考模拟题的解法探究和溯源拓展 3 3 一 道 高 考 模 拟题 的解 法探 究 和 溯 源 拓展 王如意 ( 惠贞书院浙江宁波3 1 5 0 1 6 ) 数学课本 中， 很多 习题都有很深的背景 ， 有进 一 步拓展其数学功能、 发展功能和教育功能的可行 性 ， 教学 中应尽力 寻找高考题、 模拟题在课本 中的 “ 影子” ， 充分挖掘课本习题的潜能， 以激发学生的 潜力 本文通过对 2 0 1 4年浙江省宁波市高三数学一 模考试理科第 1 7 题的解法探究， 寻找它在课本中 的“ 影子” ， 追根溯源对其解法进行探究， 并作一些 简单拓展 1 考题再现 例 1 已知
2、O为 AA B C的外心 ， A B=4 ， A C= 2 ， B A C=1 2 0 。 ， 若A O= A 1 A B+A 2 A C ， 贝 0 A 1 + A2= 考试结束后， 笔者问了基础一般的学生， 他们 都没有很好的思路 ， 感觉不知所措 ， 能做出来 的学 生是平时 比较拔尖的 由此可见， 这样一道高考模拟题对普通学生的 “ 杀伤力” 有多大， 同时也反映了我们在高考的复习 中对教材的挖掘之浅， 对课本习题的研究浮于表面 2追根溯源 如图 1 ， 在圆 C中， 是不是 只需 知道 圆 C的半 径或弦 A B的长度 ， 就可以求船 A C 的值 分析此题 为人教 A版教 材 必修
3、 4 第 1 0 8页B组第 4 题 因为 图1 ： l 1I I ： I I ， A A =l BII A CI 。 ： I A BI ， 所以本题中只需要知道弦 A B的长度就可以求出 A B 的值 这个结论在最近几年的高考模拟题 中已出现过几次 ， 由此探究例 1的解法 3解法探究 平面向量类试题基本上可 以从以下 4个方 面 人手 ： ( 1 ) 传统法( 基底法) ； ( 2 ) 几何意义 ； ( 3 ) 建系； ( 4 ) 其他性质 笔者从以上这 4个方面结合三角形的一些 知 识对本题解法进行探究 解法 1 ( 基底法) 由 A D A B=( A l A B+A 2 A C )
4、A B= 1 6 A1 4 A2： =8， A D A C=( A 1 A B+A 2 A C ) A C= 一 4 A1+4 A2= =2， 得 A = 詈 A 2 = ， 从而 A 1 + 本题无 明显的几何意义 ， 但我们看到AA B C已 确定 ， 各边大小和夹角都可 以求 出来 解法2 ( 几何意义) 在A A B C中由余弦定理 得 BC =AC +A B 一 2 A C AB C O S LB A C 即B C= 一 2 2 x 4 c o s l 2 0 。 = 2 在AA B C中由正弦定理得 BC = 2 R =2 D， s i n 鲋 C 一 即 = 。， 消去 A， 得
5、 ， b l f ， ， ， J 1 A 6 ， 【 Y ， 2 2 一 1 2=1 口 u 当A= 0时， 直线 E P与 G Q的交点M 亦满足方程 一 = l， a2 b 因此直线 E P与 G Q的交点 M 的轨迹为双 曲线 厂： 2 2 2一 2=1 1 3 4 中学教研 ( 数学) 从而 A O：R： 24 = = I 7 ， 。 B 2 得 c o s 又( A ： ) ：( 一 A ) ：( ) 一 2 I AO I I A l A B 1 c o s _O A B+( A 1 ) ， 得( 2 A 2 _ 2 4 A ， c o s _O A R+( 4 A1 ) J 3 将
6、 c 。 s _O A B： 玳 入上式可得 4 7 A ：=了7 4 A + 4 A ， ( 1 ) 目埘 c 同理可得c o s c_ = 又( A 。 ) ： ( Y 5一 A ) ： - 一。 一一一 ( A O) 一 2 I A OI I A ， A Cl C O S O A C+( A ， A C ) ， 得( 4 A = 一 2 2 A 2 - c 0 s _ O A C+ ( 2 A ) 4 3。 将 。 。 s _O A C： 代入上 式可得 4 A = _ A 2 + A ， ( 2 ) 联立式( 1 ) ， 式( 2 ) 得 詈 = ， 从而 Al + 解法 3 ( 建
7、系) 以点A为原点、 A B为 轴 、 垂 直于 A B的直线为 Y轴建立平面直角坐标系， 则 A( O， 0 ) ， B ( 4 ， 0 ) ， C(一1 ， ) ， 从 而AA B C的外心 为 A B， A C的垂直平分线的交点， 即 r =2， iy 萼= 芋 ( + ) ， 得 D ( 2 竽) 于是 A O =A 1 A B+A 2 A C， 即 ( 2 ，竽) = (4 A 一 A 2 , z ) ， 得 詈 ， A 2 = 詈 ， 从而 A 1 + 对于思路 4 ( 其他性质) ： 笔者还没有想到一些 重要的性质可 以适 用 ， 暂时还未能有 更巧妙 的方 法 综合以上， 我们
8、可 以很清晰地看到： 传统法 ( 解法 1 ) 、 建系( 解法 3 ) 更 易于被学生接受 ， 因此 我们在平时复习备考的过程中要立足双基 ， 追求通 性通法 ， 这在浙江高考中尤为重要 4开拓创新 我们 可以再从 以下几个角度作一些拓 展： ( 1 ) 三角形化； ( 2 ) 函数化； ( 3 ) 方程化 ； ( 4 ) 最值 化 以研究教材来促进高考复习， 开拓创新 变式 1 已知 O 为 AA B C 的外 心 ， A C=7， A B ： 3 ， 求 赢 分析此题将结论 隐藏在三角形 中 事 实上 ， 只要将 换成 一 i - AA O 即可转化为课 本习题 变式 2已知 0为锐角A
9、A B C的外心 ， A B=4 ， A C：2 若 ： +y ， 求 + y的取值范围 分析此题将高考模拟题中的角度隐去， 加了 一 个锐角三角形 ， 这样就可 以转化 为求 +Y的取 值范围 同样 ， 利用A D A B= I A Bl ， A O A C= I I I ， 将 换成 A B+Y 分别代人上式 ，可 I A c I ， 将A 0 换成 + c 分别代人上式， 可 得 一 ( A B+yA C) A B= A B +Y A B A C= 4 ： 8 ， 得 即 同理可得 联立方程可得 1 6 x+8 y c o s A =8 2 +y c o s A =1 4x c o s
10、A +2 y ：1 第6期 王如意： 一道高考模拟题的解法探究和溯源拓展 3 5 c o s A 一2 2c o s A l 4c o s 2 A - 4 Y 2 cos2 A 一2 从而 + y= 5 c o s A- 4 至此我们把 目标 函数转化 为关 于 c o s A的函数 ， 下 面只要求出c o s A的范围即可 在锐角 AA B C中， 设 a为角 A所对 的边 由于 角 A， B， C均为锐角 ， 可得 c 一 筹 cos =譬等 c o s c =譬 又在三角形中满足 ( 0 ， 1 ) ， 即 24， 2 4 + 2 口 ， 【 口+4 2 得 20 )D 存在最大值 ，
11、 则 A的取值范围为 图2 3 6 中学教研 ( 数学) A 1 ) B ( 1 3 ) c ( 丢 ，2 ) 。 3 ) 分析此题在变式 3的基础上引进“ 最值 ” 问 题 结合三角函数的“ 工具性” ， 考查了类似于恒成 立问题 这与 2 0 1 3年浙江省数学高考理科试题第 7题有“ 异曲同工” 之处 解 由 ： 一O A+ ) ， 两边 同时平方 ，可得 ( ) ： ( ) + ( y -6 -g + 2 x y 一O B 又 因为 A A O B= 6 0 。 ， 所 以 + + =1， 配方可得 等 ) 2 O 0 00) 存在 最 大 值， 只要 ，即 A 2 故选 c 现在 ，
12、 各校都在提倡高效课 堂， 从教材挖掘 这 一 角度来说大有文章可作 ， 而且近几年的高考试卷 与教材关联越来越密切 ， 很多试题的背景都来源于 课本又高于课本 作为一名高中数学教师， 对课本 例题和习题要有针对性地进行探索发现 ， 并作相应 拓展， 做到低起点、 高要求， 在师生共同研究的氛围 中提高学生分析问题、 创新问题的能力， 使学生能 学会知识的迁移和创新 ， 能够透过现象发现本质 “ 你若 发 现 了一株 蘑菇 ， 便 可 以发 现 一群 蘑 菇 ” 作为教师， 要善于抛出一株蘑菇， 引导学生寻 找一群蘑菇 ， 让学生在探究 中感受知识 的活力 ， 在 感悟中发展 自己 的思维 与能力 ， 真正做 到走 出题 海， 让学生感受到课本就是一个很大的宝库， 最终 走 进 研究 性 学 习
