线系统的时域分析法

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1、第3章 线性系统的时域分析法,内容重点： 典型响应的性能指标 一阶系统的时域分析 二阶系统的时域分析 稳态分析,本章主要内容,本章介绍了控制系统时域性能分析法的相关概念和原理。包括各种典型输入信号的特征、控制系统常用性能指标、一阶、二阶系统的暂态响应、脉冲响应函数及其应用、控制系统稳定性及稳定判据、系统稳态误差等。,本章重点,通过本章学习，应重点掌握典型输入信号的定义与特征、控制系统暂态和稳态性能指标的定义及计算方法、一阶及二阶系统暂态响应的分析方法、控制系统稳定性的基本概念及稳定判据的应用、控制系统的稳态误差概念和求取等内容。,.1 典型响应和性能指标,一.典型初状态,符合一般物理规律,时域

2、分析法：以时间为自变量分析系统在某种典型输入下系统输出的动态和稳态规律，并分析其结构和参数对动态和稳态性能的影响，并指出改善性能的方向。,二典型外作用 1 阶跃函数,图3.1 典型外作用,a t=0 a为常数,0 t0,a,at,t,t,t,2. 斜坡函数at,3.单位理想脉冲,4正弦asint,L(t)=1,5.加速度函数,6.余弦函数acost,三 典型时间响应 1. 单位阶跃响应 （s）*R(s)=(s)*1/s h(t)=L-1 (s)*1/s 2. 单位斜坡响应 Ct(s)= （s）*R(s)= (s)*1/s Ct (t)=L-1 (s)*1/s2 3. 单位脉冲响应 K(s)=

3、（s）*R(s) =（s）*1=（s） K(t)=L-1(s)与传递函数的信息相同,4.任意输入下系统的响应,任意输入x(t),k(t)为脉冲响应。输入函数分为N段,每段 ，N趋于无穷间隔趋于零。输入信号相当于N个脉冲信号。在 时刻输入信号的强度为 由叠加原理有系统的输出为,t,N等分,X(t),与传递函数的定义结论相同,系统的动态和静态过程,动态过程：系统在典型信号下系统输出量从初态到终态的响应过程。过程一般表现为衰减、振荡，收敛。用动态特性描述。 稳态过程：系统在典型信号下，时间趋于无穷时系统输出量的表现方式。用稳态性能描述。一般指稳态误差。 系统在典型信号下的性能指标由动态性能和稳态性能

4、组成。,四阶跃响应的性能指标,图3.2 单位阶跃响应曲线及性能指标,tr,误差带,td,超调量,描述稳定系统在单位阶跃函数作用下动态过程随时间变化的指标称为动态性能指标。 、峰值时间tp 指输出响应超过稳态值而达到第一个峰值所需时间。 、超调量% 指暂态过程中输出响应的最大值超过稳态值的百分数。 3、延迟时间tr：响应第一次到达终值一半的时间,4、调节时间ts 指当c（t）和c（）之间误差达到规定允许值（一般取c（）的，有时取）并且以后不再超过此值所需的最小时间。 5、上升时间： 振荡系统响应从0到第一次上升到终值所需时间或响应从终值10%上升到终值90%所需时间 6、稳态误差ss （稳态性能

5、指标控制精度和抗扰能力的量度） 对单位负反馈系统，当时间t趋于无穷大时，系统的单位阶跃响应的实际值（即稳态值）与期望值（即输入量（t）之差，定义为稳态误差，即ss =1-(),6、延迟时间td响应时间第一次到达终值一半时间。 3-2 一阶系统分析 一、 数学模型,图3.3一阶系统典型结构,（s）=C(s)/R(s)=1 / (Ts+1),一阶系统微分方程,二、 单位阶跃响应,响应是初值为零指数规律上升到稳态的曲线,图3.4一阶系统单位阶跃响应曲线,（2）响应曲线的初始斜率为1/T,随时间变化减小。 可以用初始斜率确定T，或判别是否为一阶系统,1/T,响应特点（1）可以用T来衡量输出数值，如上图

6、,%=0或无意义，tp不存在 ts=3T(对应5%误差带) ts=4T(对应2%误差带)可见T反应系统的惯性 ess=1-h()=1-1=0 性能由定义求出,性能指标,三,解： 1. ts=3T=3*0.1=0.3秒 2.,例3.1 一阶系统如图所示，试求系统单位阶跃响应的调节时间ts.如果要求ts =0.1秒，试问系统的反馈系数应调整为何值？,T=0.01/ KH ts=3T=0.03/ KH 0.1=0.03/ KH KH=0.3,图3.5 系统结构图,-,3-3典型二阶系统分析 一、 数学模型,K1/S,K2/(TS+1),R,C,参数关系如下,阻尼比 自然频率 开环增益,二、 单位阶段

7、响应h(t)的一般式,C1=n2/( s1 -s2)s1; C2=n2/( s2 -s1)s2,图.二阶系统动态结构,则单位阶跃响应一般式,R(s),C(s),二阶系统的响应特点和特征根的性质 1称过阻尼，由上知，s1 ，s2为两个不等的负实根。 =1 称临界阻尼，s1 ，s2为一对相等的负实根-n 01称为欠阻尼，特征根将为一对实数部为负的共轭复数。 =0称0阻尼，s1 ，s2由上可看出为一对虚实部的特征根 0则称负阻，系统将出现正实部的特征根。,1、 过阻尼二阶系统的单位阶跃响应,图3.8过阻尼二阶系统h(t)曲线,=0.7,5%误差带,响应特点非振荡,2、 临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应

8、 s1,2= -n,1,3、欠阻尼二阶系统单位阶跃响应,输出为 响应由两部分稳态为1，瞬态为阻尼正弦震荡频率为 称为阻尼振荡频率。收敛速度由指数函数的幂决定 为衰减系数。 wn为自然频率,欠阻尼二阶系统的动态性能分析,在图中称为阻尼角,无零点欠阻尼二阶系统的动态性能指标计算公式 （1）延迟时间 的计算,在绘制出 ntd 和 之间的关系曲线，利用曲线拟合方法，当阻尼比在欠阻尼时,或,（2）上升时间 的计算,多点值为1，由物理意义取最小值,结论：极点远离虚轴延迟时间变快,（3）峰值时间 的计算,（4）超调量 的计算,根据超调量的定义，并考虑到,系统的超调量由系统的阻尼比唯一决定 （5）调节时间 的

9、计算 为了简化调节时间的计算，一般用包络线来代替实际响应估算调节时间。,在 ，误差带 时，可用以下近似估算公式：,也可以用以下公式估算：,调节时间的计算过程,利用包络线计算过程如图，系统的响应在包络线内，包络线方程为 利用,1,包络线与误差带的交点来近似计算，结果较保守。,t,二阶系统单位阶跃响应的性能指标归纳如下：,或,实际上，上述各项性能指标之间的存在矛盾，例如上升时间（响应速度）和超调量（阻尼程度或相对稳定性）,性能与参数K的关系,1、K值增大 阻尼减小上升超调 增大 过渡过程平稳性变坏，响应时间变快， 说明调节K使系统的平稳性 和快速性矛盾。 K值减小情况与增大情况相反。 、性能与参数

10、T的关系,T值减小阻尼增大超调减小过渡过程平稳性,变好，ts减小响应时间加快。 T值增大阻尼减小超调增大过渡过程平稳性变坏，响应时间变长。 调节参数T可使系统的性能变好，但是参数T为系统固有一般无法调节。 性能与参数 的关系 阻尼比增大超调减小，响应加快。反之系统性能变坏。 性能与自然频率的关系：与超调无关，自然频率增加，响应加快。反之变慢。,4、过阻尼二阶系统的动态过程分析,过阻尼系统响应缓慢，对于一般要求时间响应快的系统过阻尼响应是不希望的。 但在有些应用场合则需要过阻尼响应特性： 例如（1）大惯性的温度控制系统、压力控制系统等。 （2）指示仪表、记录仪表系统，既要无超调、时间响应尽可能快

11、。 另外，有些高阶系统可用过阻尼二阶系统近似。,过阻尼,动态性能指标：延迟时间、上升时间、调节时间 因为求上述指标，要解一个超越方程，只能用数值方法求解。利用曲线拟合法给出近似公式，或绘制曲线查表使用,（1）延迟时间 计算,（2）上升时间 计算,（3）调节时间 计算,利用wntr关系曲线查表计算,1、工程上绘出T1/T2与ts/T1的关系曲线，然后查表计算。2、T14T2时,系统近似一阶系统。极点为-1/T1,3-4二阶系统的单位斜坡响应,一、欠阻尼单位斜坡响应,ess,单位斜坡响应曲线,误差响应曲线,稳态误差，峰值时间，最大偏移量，调节时间表示单位斜坡响应性能。阻尼比减小使系统的tp和误差减

12、小。ts和最大偏移量增大，动态性能变差。,二、临界阻尼单位斜坡响应,三、过阻尼单位斜坡响应,结论：利用斜坡响应可以计算系统的性能，但不如阶跃响应计算性能方便,例：单位负反馈二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示。试确定系统的闭环传函。,解 依图可知,tp=0.4,0.4,C(t),系统结构图如下,由响应图形可知系统与典型二阶系统有一定的区别,k=0.8,k,C(t),根据终值定理,四、二阶系统性能的改善,改善二阶系统性能的两种方法：附加开环零点和局 部反馈。其中附加开环零点有两种方案,（方案1）比例-微分控制,理论分析：比例-微分控制对系统性能的影响,原系统Td=0,开环增益和新系统一致。对稳态误

13、差没影响,称为有零点二阶系统其性能指标需要按照定义重新计算。,我们是否可以利用典型二阶系统的性能公式呢？为了应用典型二阶系统 的性能指标公式。对新系统引入惯性环节，约去零点.同时还能过滤输入噪声。此时系统的结构图如下。,1/（TdS+1）,TdS+1,k/(Ts+1),结论：1、比例-微分控制不改变系统的自然频率。 2、比例微分控制可增大系统阻尼，减小阶跃响应的 超调量，缩短调节时间；改善了系统的动态性能。,3、开环增益不变，稳态误差没有影响； 4、微分对于噪声（高频噪声）有放大作用，在输入端噪声较强时，不用比例-微分控制。可以输入端引入滤波环节。 5、适当选择开环增益和微分时间常数，既可减小

14、系统斜坡输入时的稳态误差，又可使系统具有满意的阶跃响应性能。（稳定性，快速性提高）,（方案b）测速反馈控制,开环增益与原系统相比下降。影响稳态误差,结论：（1）测速反馈可以增加阻尼比，但不影响系统的自然频率； （2）测速反馈不增加系统的零点，对系统性能改善的程度与比例-微分控制是不一样的； （3）测速反馈会降低系统原来的开环增益，通过增益补偿，可不影响原系统的稳态误差。 上述两种方案对比： 1、附加阻尼来源不同：PD阻尼来自误差信号的速度，测速反馈来自输出端响应速度，后者稳态误差较大 2、使用环境不同：方案1对噪声有放大作用，当输入有严重噪声时不宜采用。方案2对输入噪声有滤波作用。应用较广。,

15、3、对开环增益和自然频率的影响：方案1,对开环增益和自然频率没有影响。方案2对自然频率无影响，但降低了开环增益。影响稳态误差。解决办法，增大开环增益。但导致系统的自然频率增大，容易引起共振 4、动态性能影响：方案1相当加入系统实零点，加快上升时间。相同条件下方案1的超调量大于方案2。,引入局部反馈法,如果时间常数可以调节那么系统的性能调节方便了。结构图如下,K1/(Ts+1),K2/s,a,R,C,局部反馈的等效,对比原环节发现从等效的角度新系统的时间 时间常数减小了变为 使系统的动态性能变好了。,结论 （1）可见增大了阻尼比，减小超调，调节时间变快。改善的系统的动态性,能，自然频率不变。 （2）系统的开环增益下降，稳态误差有影响。可以通过调节系统的增益来解决。 （3）实现的关键为局部反馈信号是否能引出 例：已知系统如图 1、K=4,T=0时计算 系统的Ts和Mp,K/s(s+1),Ts+1,传函和参数的计算,，,T不为零时：,T=0.457(s) Mp=4.3% ts=2.12(s) 可见引入测速反馈后系统的动态性能得到改善。,3-5高阶系统的动态分析,1.闭环传递函数为：,2.输入为：,