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1、方程的根与函数的零点,邯郸市荀子中学-胡明,“巍巍深山藏古寺， 寺内不知几多僧， 寺内有碗三百六十四， 看看用尽不差争。 三僧共用一碗饭， 四僧同用一碗羹。 寺中僧人有几何？”,问题1,+,=364,x=624,设有x个僧人,我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题。如约公元50年100年编成的九章算术，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法,花拉子米(约780约850) 给出了一次方程和二次方 程的一般解法。,阿贝尔(18021829) 证明了五次以上一般 方程没有求根公式。,方程解法史话:,方程,x22x+1=0,x22x+3=0,f(x) = x22x3,f(x)
2、 = x22x+1,函数,函 数 的 图 象,方程的实数根,x1=1,x2=3,x1=x2=1,无实数根,函数的图象 与x轴的交点,(1,0)、(3,0),(1,0),无交点,x22x3=0,f(x) = x22x+3,问题2：求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象，并写出函数图象与x轴交点的坐标。,方程ax2 +bx+c=0 (a0)的根,函数 f(x)=ax2+bx+c (a0)的图象,判别式 =b24ac,0,=0,0,函数的图象 与 x 轴的交点,有两个相等的 实数根x1 = x2,没有实数根,(x1,0) , (x2,0),(x1,0),没有交点,两个不相等 的实数根x
3、1 、x2,问题3 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？,结论： 二次函数ax2 +bx+c=0 (a0)图象与x轴交点的 横坐标就是相应方程f(x)=ax2+bx+c (a0)的 实数根。,推广： 函数y=f(x)的图象与x轴交点和相应的方程 f(x)=0的根有何关系呢？,结论: 函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标 就是方程f(x)=0的实数根。,对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。,函数零点的定义：,注： （1）函数零点是一个实数，不是一个点坐标； （2）函数的零点
4、也就是函数图象与x轴交点 的横坐标； （3）求零点就是求方程f(x)=0的实数根。,方程f(x)=0有实数根,等价关系,1.观察下面函数y=f(x)图象：哪个函数在区间(a,b)内有零点？,练习：,2.函数 的零点是:（ ） A.（-1，0），（3，0）； Bx=-1； C x=3； D-1和3,练习：,D,示例练习,1.求下列函数的零点 （1） （2） （3） （4）,2,2 , 3,0,无零点,2.函数 有一个零点为 ， 则 ( ) A.0 B.10 C.-3 D.由m而定的其他常数,A,小结：求函数零点的方法：,代数法,图象法,问题4： 函数y=f(x)在某个区间上是否一定有零点？,怎样
5、的条件下，函数y=f(x)一定有零点？,0,1,2,3,4,5,-1,-2,1,2,3,4,5,-1,-2,-3,-4,x,y,探究,(1)观察二次函数 的图象：,1. 在区间 上有零点_； _0（或）. 2. 在区间 上有零点_； _0（或）,-1,3,（2）观察下面函数y=f(x)图象,1. 在区间 上_(有/无)零点； _0（或） 2. 在区间 上_(有/无)零点； _0（或),有,有,(3)观察下面函数y=f(x)图象： 哪个函数在区间(a,b)内有零点？ 满足什么条件函数 y=f(x)在区间(a,b)内必有零点？,结论: 如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是 连续不断的一条曲线
6、， 并且有f(a)f(b)0 ， 那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点， 即存在c(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就 是方程f(x)=0的根。,函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)f(b)0,函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点,试一试： 1.对于定义在R上的函数y=f(x),若f(a).f(b)0 (a,b R,且ab),则函数y=f(x)在(a,b)内（ ） A .只有一个零点 B .至少有一个零点 C .无零点 D .无法确定有无零点,B,例题解析： 画出函数 的图象，判断函 数在以下区间（-1.5，-1），（0，0.5）， （0.
7、8，1.5）内有无零点，并判断零点的个数。,试一试： 2.已知函数 ，问方程 在区间-1,0内有没有实数根？为什么？,试一试： 3.函数 在（-1，1）上存 在 ，使 ，则a的取值范围是（ ） A. -1 C.a D.a-1,C,4.若方程 在R内恰有一解， 则a的取值情况是（ ） A.a-1 B.a = C.-1a1 D.0 a1,B,5.若方程 在（0，1）内恰有一 解，则a的取值范围是（ ） A.a1 C.-1a1 D.0 a1,B,1、函数y=f(x)的零点的定义。,2、三个等价关系。,3、函数y=f(x)的零点存在性的判定。,小结,布置作业：,P88 练习 第1题 第2题,函数零点方程根， 形数本是同根生。 函数零点端点判， 图象连续不能忘。,一首小诗,谢 谢 ！,再 见,
