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1、2017-2018学年度第二学期高二期中考试数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）将正确的答案填在题中的横线上1. 已知集合，则_【答案】【解析】试题分析：考点：集合的表示方法和交集的运算.2. 已知复数z满足，则复数的模为_【答案】【解析】分析：由，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案详解：由（1i）z=i，得=，则z的模为：故答案为：点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，复数模的求法，属于基础题.3. 某校共有400名学生参加了一次数学竞赛，竞赛成绩都在50，100内，且频率分布直方图如图所示(成绩分组为50，60)，60，70)，
2、70，80)，80，90)，90，100，则在本次竞赛中，得分不低于80分的人数为_【答案】120【解析】分析：由频率分布直方图求出得分不低于80分的频率，由此能求出得分不低于80分的人数详解：由频率分布直方图得：得分不低于80分的频率为：1（0.015+0.025+0.030）10=0.3，得分不低于80分的人数为：4000.3=120人故答案为：120点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布
3、直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和4. 如图是一个算法流程图，则输出的的值是_【答案】127【解析】分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的a的值，当a=127时，满足条件a64，退出循环，输出a的值为127详解：执行程序框图，可得a=1a=3不满足条件a64，a=7不满足条件a64，a=15不满足条件a64，a=31不满足条件a64，a=63不满足条件a64，a=127满足条件a64，退出循环，输出a的值为127故答案为：127点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条
4、件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.5. 某单位要在4名员工(含甲、乙两人)中随机选2名到某地出差，则甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率是_【答案】【解析】试题分析：在四名员工（含甲乙两人）中随机选两名，共有6种方法，其中甲乙两人都未被选中，有1种方法，所以甲乙两人中至少有一人被选中有5种方法，故所求概率为考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通
5、过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.6. 函数的定义域为_【答案】【解析】分析：利用真数大于零与被开方式大于等于零布列不等式组，解出范围即可.详解：函数的定义域为：,解得0xe故答案为：点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)yx0的定义域是x|x0(5)yax(a0且a1)，ysin x，ycos x的定义域均为R.(6)ylogax(a0且a1)的定义域为(0，)7. 设实数x，y满足，则的最大值为_【答案】2【
6、解析】分析：作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论详解：作出不等式组对于的平面区域如图：设z=2x+y，则y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点C时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，解得，即C（1，0），此时zmax=21+0=2，故答案为：2点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.8. 若曲线与曲线在处的两条切线互相垂直
7、，则实数的值为_【答案】【解析】分析：分别求出两个函数的导函数，求得两函数在x=1处的导数值，由题意知两导数值的乘积等于1，由此求得a的值详解：由y=ax3x2+2x，得y=3ax22x+2，y|x=1=3a，由y=ex，得y=ex，y|x=1=e曲线C1：y=ax3x2+2x与曲线C2：y=ex在x=1处的切线互相垂直，3ae=1，解得：a=故答案为：点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为9. 若圆锥的侧面展开图是半径为且圆心
8、角为的扇形，则该圆锥的体积为_【答案】【解析】圆锥侧面展开图的半径为5，圆锥的母线长为5设圆锥的底面半径为r，则 ，解得r=3，圆锥的高为4圆锥的体积 .点睛：旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状10. 若抛物线的焦点到双曲线C：的渐近线距离等于，则双曲线C的离心率为_【答案】【解析】分析：求出抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得a，b的关系，再由离心率公式，计算即可得到详解：抛物线的焦点为（0，1），双曲线C2：=1（a0，b0）的一条渐近线为bx+ay=0，则焦点到渐近线的距离d=，即有b2=4a2，则c2=5a2，即有双曲线的离心率为：故答案为
9、：点睛：本题考查了双曲线的几何性质离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程，得到a,c的关系式是解得的关键，对于双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a,c，代入公式；只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，转化为a,c的齐次式，然后转化为关于ee的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e的取值范围)11. 已知直线（其中a，b为非零实数）与圆相交于A,B两点，O为坐标原点，且，则的最小值为_【答案】8【解析】【分析】由直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=4相交于A，B两点，且，可得圆心O（0，0）到直线ax+by=1的距离
10、d=，可得2a2+b2=1再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出【详解】直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，且，圆心O（0，0）到直线ax+by=1的距离d=1，化为2a2+b2=1+=（+）（2a2+b2）=2+2+4+2=8，当且仅当b2=2a2=取等号+的最小值为8故答案为：8【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值.12. 在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点（点为靠近点的三等分
11、点），则的值是_【答案】【解析】因为，因此，【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解视频13. 已知数列是递增的等比数列且，设是数列的前项和，数列前n项和为，若不等式对任意的恒成立，则实数的最大值是_【答案】【解析】【分析】由已知求出等比数列的公比，得到等比数列的通项公式和前n项和公式，代入bn=，整理后利用裂项相消法求得数列bn的前n项和Tn，然后求出Tn的最小值即可.【详解】设
12、等比数列an的公比为q，由a1+a4=9，a2a3=8得a1+a4=9，a1a4=8即a1，a4是方程x29x+8=0的两根解得或数列an是递增的等比数列，a1=1，a4=8则，q=2则，bn=Tn =1Tn =1是关于n的单调增函数，1不等式对任意的恒成立即，实数的最大值是故答案为：【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.14. 设函数，其中，若仅存在两个的整数使得，则实数的取值范围是_【
13、答案】【解析】分析：设g（x）=ex（2x1），y=axa，则存在两个整数x1，x2，使得g（x）在直线y=axa的下方，由此利用导数性质能求出a的取值范围详解：函数f（x）=ex（2x1）ax+a，其中a1，设g（x）=ex（2x1），y=axa，存在两个整数x1，x2，使得f（x1），f（x2）都小于0，存在两个整数x1，x2，使得g（x）在直线y=axa的下方，g（x）=ex（2x+1），当x时，g（x）0，当x=时，g（x）min=g（）=2当x=0时，g（0）=1，g（1）=e0，直线y=axa恒过（1，0），斜率为a，故ag（0）=1，且g（1）=3e1aa，解得ag（2）2aa，
14、解得a，a的取值范围是， ）故答案为： 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解二、解答题（本大题共6个小题，共90分,需写出必要的解题过程）15. 在ABC中，已知角所对的边分别为，且.(1) 求角的大小；(2) 若，求边的长【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由三角形内角关系及诱导公式、两角和正切公式得 ，再由三角形内角范围得（2）已知两角一边，求另一边，应用正弦定理得，所以先根据同角三角函数关系求对应角正弦值：，再代入可得试题解析：（1）因为，所以2分，4分又，所以6
