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1、第三章 灰色系统模型,客观世界既是物质的世界，也是信息的世界，社会经济活动一刻也离不开信息。研究社会经济系统会常常遇到信息不完备的情况。1945年，美国控制论专家维纳（N.Wiener)曾用“黑箱”称呼内部信息未知的对象。此后，人们常用颜色深浅表示信息完备的程度，将系统分为三类。信息完全明确的系统称为白色系统，信息完全不明确的系统称为黑色系统，信息部分明确、部分不明确的系统称为灰色系统（Grey System)。1982年，邓聚龙教授发表了灰色系统理论的论文灰色系统的控制问题。随着灰色系统理论研究的不断深入和发展，已经在许多领域取得不少应用成果。,这里我们主要介绍灰色系统的四种方法：灰色关联分
2、析方法、灰色预测方法、灰色统计（灰色评价）、灰色局势决策。,因素分析的基本方法过去采用的主要方法是统计方法。如回归分析（包括线性回归、多因素回归、单因素回归、逐步回归、非逐步回归）。回归分析虽然是一种较通用的方法，但一般认为回归分析有下述不足： （1）要求大量数据，数据量少难以找到规律； （2）要求分布是线性的，或是指数的，或是对数 （3）计算工作量大； （4）有可能出现反常的现象，使正相关变成负相关，以致正确现象受到歪曲或颠倒。,1、灰色关联分析方法,灰色系统考虑到上述种种弊病和不足，采用关联分析的方法来作系统分析。作为一个发展变化的系统，关联度分析事实上是动态过程发展态势的量化分析。说得确
3、切一点，是发展态势的量化比较分析、发展态势的比较，也就是系统历年来有关统计数据列几何关系的比较。考虑有三个数据列，一个是某地区的年总收入，一个是某地区的养猪收入，一个是某地区的养兔收入。,从图中可以观察到，总收入曲线与养猪曲线趋势较接近，而与养兔曲线差距较大，因此可以认为该地区对收入影响较大的是养猪而不是养兔。,这种因素分析的比较，实质上是几种曲线间几何形状的分析比较，即认为几何形状越接近，则发展变化态势越接近，关联程度越大。因此按这种观点作因素分析，至少不会出现异常的，将正相关当作负相关的情况。此外对数据量也没有太高的要求，即数据量多或数据量少都可以分析。 （1）关联系数 作关联分析要指定参
4、考数据列和待比较的数据列 参考数据列表示为,待比较的数据列,也称为母序列,也称为子序列,下式称为序列 与 在时刻k的关联系数。,应该注意，对原始数据列计算关联系数时，要作无量纲化和初值化处理。 上式中0.5是分辩系数,记为,一般在0-1之间选取. （2）关联度 序列 各时刻关联系数的平均值称为子序列 对母序列 的关联度，记作,例1 果树产量因素分析 某农业研究所在研究果树的产量时发现影响果树单产的因素很多，有数据的因素就达12种之多。如树龄、剪枝、硝氨、磷肥、农肥、浇水、药物人防、畜耕人耕、弥雾、喷雾等等。经过详细的定量分析找出4种认为是对果树单产有较大影响的因素，其数据如下：,首先需要将数据
5、列进行无量纲化处理。,然后再计算各子数据列与母数据列的差值,计算极大差 和极小差,=0,=5.41,计算关联系数,计算关联度 计算得到的关联度分别如下：,因此，药物对果树单产的影响最大，农肥次之，剪枝再次之，浇水对果树单产的影响最小。,2、灰色预测模型 灰色系统理论认为，随机量可以看作是在一定范围内变化的灰色量。对于贫信息的灰色系统，灰色变量所取的值十分有限，并且数据变化无规律。对这些灰色变量作生成运算处理，处理后的数据变化有一定规律，与原始数据相比，增加了数据变化的确定性。从而在生成数据的基础上建立灰色系统模型。 灰色系统中数据的生成运算有累加生成运算AGO(Accumulated Gene
6、rating Operation)和累减生成运算IAGO(Inverse Accumulated Generating Operation) 。,(1)累加生成运算（AGO） 设有原始数据列,对 作一次累加生成运算,得到一次累加生成序列,对 作二次累加生成运算,得到二次累加生成序列,例如，某公司19901994年的产品销售额原始数据列为,其一次累加生成后的序列为,其二次累加生成后的序列为,生成前的序列,生成后的序列,(2)累减生成运算（IAGO） 累减生成运算是累加生成的逆运算。 累减生成运算公式为：,(3)灰色系统建模 用灰色系统理论和方法建立的模型称为灰色模型GM（Grey Model)。
7、一般的GM模型是一个n阶，h个变量的微分方程模型，简记为GM(n,h)。GM模型的建模机理是，将随机量看作是一定范围内变化的灰色量，对无规律的原始数据经过生成处理后，建立生成数据序列的微分方程模型。并用不同的数据生成建立不同模型来提高模型的精度。模型采用三种方式检验，即残差检验、关联检验和后验检验。,GM（1，1）模型 GM（1，1）是一阶常微分方程模型。 设有原始数据列,作一次累加生成后的数据列为,则可建立下述白化形式的微分方程,记参数列为,按最小二乘法求,白化形式的微分方程的解为：,综上所述，GM（1，1）模型建模的计算步骤： 1）对原始数据序列 作一次累加生成得到 2）用最小二乘法估计得
8、到参数 3）解一阶线性微分方程 得到时间响应函数 4）模型检验 5）利用模型进行预测,例题 某公司19901994年的年销售额（单位：百万元）数据为 试建立GM（1，1）模型并进行预测。,解：1）对原始数据作一次累加生成，得到,2）用最小二乘法估计得到参数,从而可得,得到一阶线性微分方程,其时间响应函数为,3）模型检验：这里仅对模型进行残差检验。用时间响应函数计算 ，用公式 计算还原数据，并求出各时期的残差值q(k)和相对误差值e(k) 。计算结果见下表,由此看出，模型的相对误差不超过3%。 4）利用模型进行预测 当k=5时，利用模型求得,GM（1，h）模型 GM（1，h）模型上含有h个变量的
9、一阶微分方程，形如,其中 为待估参数， 均为一次累加生成变量,模型反映了h-1个变量对因变量变化率的影响，故称GM（1，h）为h个序列的一阶线性动态模型。 与GM（1，1）建模原理相仿， GM（1，h）模型的建模步骤是： 设有h个变量组成的原始数据序列,1）对原始数据序列 作一次累加生成运算，得累加生成序列,2）计算GM（1，h）模型的待估参数 ，用最小二乘法得到估计值,其中，B为累加数据矩阵，YN为参数项向量，分别是,3）将参数的估计值代入方程，求得微分方程的解,4）模型检验。检验方法与GM（1，1）模型检验类似。,3、灰色统计模型(评价模型) 以灰数的白化函数为基础，将一些具体数据，按某种
10、灰数所描述的类别进行归纳整理，称为灰色统计。 记I、II、III为决策群体。 记1#、2#、3#为决策方案。 记1、2、3为决策的灰类。 记dij为i个决策群体，对第j个决策方案所提出的白化决策值，记为 dij 或i=I、II、III;j= 1#、2#、3# 则灰色决策的任务是将dij按灰类作白化函数生成，以明确I、II、III各个决策群体所提出的白化决策值，从整体来说属于哪几个灰类。 灰色决策可用在生产投资决策、教学安排、因子分析、农业计划等方面。不同场合，上述各要素的含义不同。,灰色统计评价模型按五步进行： 第一步，给出决策量白化值dij。 按不同i与j可得下述矩阵：,第二步，给出决策灰类
11、： 即给出决策灰类的灰数与灰数的白化函数。比如说投资量“多”这一灰类，指投资在80万以上，则对灰数 可给出下图所示的白化函数。用同样的方法可以得到投资“中”40万左右 的灰类 与投资“低”1万以下灰类的 白化函数。,1# 2# 3#,第三步，求决策系数 ： 记Ni为第i个决策群体中决策者人数。 记 k=1,2,3 表示灰类 i=I,II,III,Nb 为第i个决策群体对j决策方案所提的决策量白化值。 记 为第j决策方案属于第k个灰类的系数，则,第四步，求决策权 :,第五步，确定决策行向量rj：,按决策行分量最大确定决策方案属于的类别。 可以看出，灰色统计事实上是一种白数的灰化处理，或者说是白数
12、的灰化归纳。,例题：考虑产品投资决策问题。现有5个决策群体（如5位专家），三种产品，按“多”投资，“中”投资，“少”投资，“不”投资进行决策。 现取得5位置专家对于三种产品的投资额数据如下：,第一步：,第二步：给出决策灰类 灰类1：投资80万以上（多） 灰类2：投资40万左右（中） 灰类3：投资10万左右（少） 灰类2：投资1万以下（不）,给出白化函数：,80万,40万,1万,10万,多投资,中投资,不投资,少投资,第三步：求决策系数,假设5个决策群体的人数都1，即,则有：,由上图可知：,这即是5位专家对第一种产品按“多”投资的决策系数。 同理，可得到第一种产品按“中”投资的决策系数,第一种产
13、品按“少”投资的决策系数,第一种产品按“不”投资的决策系数,第四步，求决策权 :,产品1按多投资的决策权,产品1按中投资的决策权,产品1按少投资的决策权,产品1按不投资的决策权,第五步：按决策权最大进行决策。 产品1按决策权最大进行决策，应该多投资。 类似，可对产品2、产品3作出决策。,4、灰色局势决策,事件与对策的二元组合称为局势。而灰事件和灰对策所对应的为灰局势，在灰局势中，选择一组最好的局势的方法就称为灰色局势决策。 灰色局势决策的关键是局势效果的量化。对局势效果进行量化之前，一般要考虑如何从局势效果的白化值转化为各种目标可以比较的效果测度。效果白化值是指表示该局势的实际效果的数值。,注
14、:某个只知道大概的范围而不知道其确切的数,称为灰数.灰数并不是一个数,而是一个数集,一个数的区间.记灰数为 令a为区间,ai为a中的数,若灰数 在a区间内取值,则称ai为 的一个可能的白化值.,当效果白化值是静态值时，可用上限效果测度、下限效果测度、适中效果测度等。 上限效果测度： 记Sij为事件ai与对策bj的局势.,若Sij在目标p下，有效果白化值 ，考虑事件ai有好多个，比如事件有,若对策bj也有好多个，即,则局势Sij的上限效果测度为,上限效果测度主要是着眼于衡量白化值偏离最大白化值的程度。,下限效果测度： 下限效果测度的关系式是,下限效果测度表明，本测度只着限于白化值偏离下限的程度。
15、,适中效果测度： 适中效果测度的关系式为：,u0为指定的适中值，适中效果测度表明，白化值越接近固定值u0越好.,这三种测度分别适用于不同的场合：比如希望局势越大越好，则可用上限效果测度；希望局势损失越小越好，则用下限效果测度，希望效果是某个指定值的附近，则用适中效果测度。 作为一个决策问题，一般认为： （1）思维越多，意味着决策者思维越严密，意味着各种可能的情况都考虑到了； （2）对策越多，意味着对付同一个事件能够找出多种解决的途径，不局限于少数的措施。换句话说，对策多反映了决策的科学性，反映了决策者的足智多谋。,一般离散可数局势空间的决策，按下述步骤进行： 第一步：给出事件与对策； 第二步：
16、构造局势； 第三步：给出目标； 第四步：给出不同目标的白化值； 第五步：计算不同目标的局势效果测度； 第六步：将多目标问题化为单目标问题； 第七步：按最佳效果，选最佳局势，进行决策。,例题1：农业种植决策,第一步：给出事件与对策 事件a1：种大豆； 事件a2：种玉米； 事件a3：种向日葵。 给出对策 对策b1：黑土三年轮作； 对策b2：黑土不轮作； 对策b3：碳酸盐草甸土三年轮作； 对策b4：碳酸盐草甸土不轮作；,第二步：构造局势 S11=(a1,b1)（大豆，黑土三年轮作） S12=(a1,b2)（大豆，黑土不轮作）,第三步：给出目标 目标1：产量； 目标2：产值； 目标3：杆茎作为燃料的价值。,目标1 的白化值矩阵为：,第
