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1、3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型课时过关能力提升基础巩固1.下列函数中,增长速度最慢的是()A.y=6xB.y=log6xC.y=x6D.y=6x答案:B2.某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢.若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用()A.一次函数B.二次函数C.指数型函数D.对数型函数答案:D3.若x(0,1),则下列结论正确的是()A.2xx12lg xB.2xlg xx12C.x122xlg xD.lg xx122x解析:当0x20=1,0x121=1,lg xx12lg x.答案:A
2、4.下表是函数y随自变量x变化的一组数据,由此判断它最符合的函数模型是()x3456789y3.385.067.5915.3947.09125.631 038.44A.一次函数B.二次函数C.指数函数D.对数函数答案:C5.已知某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍,则该工厂这一年中的月平均增长率是()A.117-1B.712C.127-1D.711解析:设月平均增长率为x,1月份产量为a,则有a(1+x)11=7a,则1+x=117,故x=117-1.答案:A6.加工爆米花时,爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:min)满足函数关
3、系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为()A.3.50 minB.3.75 minC.4.00 minD.4.25 min解析:由题中图象可知点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)在函数图象上,因此有0.7=a32+b3+c,0.8=a42+b4+c,0.5=a52+b5+c,解得a=-0.2,b=1.5,c=-2.故p=-0.2t2+1.5t-2,其对称轴方程为t=-1.52(-0.2)=154=3.75.所以当t=3.75时,p取得最大值.故选B.答案:B7.函数y=x2与y=ln x2在(0,+)
4、内增长较快的一个是.解析:由y=lnx2=2lnx,则在同一坐标系中画出y=x2,y=2lnx的图象比较得y=x2在(0,+)上增长较快.答案:y=x28.某种细菌在培养过程中,每15分钟分裂一次(由1个分裂成2个),这种细菌由1个分裂成4 096个需经过小时.解析:设1个细菌分裂x次后有y个细菌,则y=2x,令2x=4096=212,则x=12,即需分裂12次,需1215=180(分钟),即3小时.答案:39.某工厂生产某种产品的月产量y与月份x之间满足关系y=a0.5x+b.现已知该厂今年1月份、2月份生产的该产品分别为1万件、1.5万件,则3月份该产品的产量为万件.解析:由已知得0.5a
5、+b=1,0.25a+b=1.5,解得a=-2,b=2,故y=-20.5x+2,当x=3时,y=1.75.答案:1.7510.每年的3月12日是植树节,全国各地在这一天都会开展各种形式、各种规模的义务植树活动.某市现有树木面积10万平方米,计划今后5年内扩大树木面积,有两种方案如下:方案一:每年植树1万平方米;方案二:每年树木面积比上年增加9%.你觉得哪个方案较好?解:方案一:5年后树木面积是10+15=15(万平方米).方案二:5年后树木面积是10(1+9%)515.386(万平方米).15.38615,方案二较好.能力提升1.当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是()A.y=10
6、0xB.y=log100xC.y=100xD.y=x100解析:由于指数函数的增长是爆炸式增长,故当x越来越大时,函数y=100x的增长速度最快.答案:C2.某地为了加强环境保护,决定使每年的绿地面积比上一年增长10%,若从今年起,x年后绿地面积是今年的y倍,则函数y=f(x)的大致图象是()解析:设今年绿地面积为m,则有my=(1+10%)xm,即y=1.1x.故仅有D项符合题意.答案:D3.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加数y关于年数x的函数关系较为近似的是()A.y=0.2xB.y=110(x2+2x
7、)C.y=2x10D.y=0.2+log16x解析:当x=1时,排除B;当x=2时,排除D;当x=3时,排除A,故选C.答案:C4.在某种金属材料的耐高温实验中,温度随着时间变化的情况如图所示.现给出下列说法:前5 min温度升高的速度越来越快;前5 min温度升高的速度越来越慢;5 min以后温度保持匀速升高;5 min以后温度保持不变.其中正确的说法是.解析:因为温度y关于时间t的图象是先凸后平,即5min前每当t增加一个单位增量t,则y相应的增量y越来越小,而5min后y关于t的增量保持为0,则正确.答案:5.某商场2016年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势,现有三种模型:f
8、(x)=pqx(q0,且q1);f(x)=logpx+q(p0,且p1);f(x)=x2+px+q.能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为(填序号).若所选函数满足f(1)=10,f(3)=2,则f(x)=.解析:f(x)=pqx,f(x)=logpx+q都是单调函数,函数f(x)=x2+px+q的图象先下降后上升.选择函数f(x)=x2+px+q.又f(1)=10,f(3)=2,1+p+q=10,9+3p+q=2,p=-8,q=17,f(x)=x2-8x+17.答案:x2-8x+176.在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象,并比较它们的增长情况:(1)y=0.1ex-1
9、00,x1,10;(2)y=20ln x+100,x1,10;(3)y=20x,x1,10.解:图象如图所示,由图象可以看到:函数y=0.1ex-100,x1,10以爆炸式速度增长;函数y=20lnx+100,x1,10增长速度缓慢,并逐渐趋于稳定;函数y=20x,x1,10以稳定的速度增长.7.下面给出f(x)与f(x+1)-f(x)随x取值而得到的函数值列表:x123452x2481632x214916252x+7911131517x11.414 21.732 122.236 1log2x011.585 022.321 92x+1-2x2481632(x+1)2-x23579112(x+1
10、)+7-(2x+7)22222x+1-x0.4140.317 80.267 90.236 10.213 4log2(x+1)-log2x10.585 00.415 00.321 90.263 0x6789102x641282565121 024x2364964811002x+71921232527x2.449 52.645 82.828 433.162 3log2x2.585 02.807 433.169 93.321 92x+1-2x641282565121 024(x+1)2-x213151719212(x+1)+7-(2x+7)22222x+1-x0.196 30.182 70.171
11、60.162 30.154 3log2(x+1)-log2x0.222 40.192 60.169 90.152 00.137 5试问:(1)函数f(x)随x增大,函数值有什么共同的变化趋势?(2)函数f(x)增长的快慢有什么不同?(3)根据以上结论,体会以下实例的现实意义.一个城市的电话号码的位数,大致设置为城市人口以10为底的对数;银行的客户存款的年利率,一般不会高于10%.解:(1)随x的增大,函数f(x)的函数值都在增大.(2)通过f(x+1)-f(x)的函数值可以看出:函数f(x)增长的快慢不同,其中f(x)=2x增长最快,而且越来越快;增长最慢的,刚开始是f(x)=x,到后来是log2x,而且增长的幅度越来越小.(3)电话号码升位,会涉及千家万户,无疑是一件大事.将电话号码的位数设为城市人口以10为底的对数将保证即使人口有较大增长,电话号码也不必马上升位,保证了电话号码的稳定性.按复利计算,存款以指数函数增长,如果利率设置太高,存款增长将越来越快,银行将难以承担利息付出.
