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1、第5讲 量子力学哲学,统计热力学,经过玻尔兹曼、麦克斯韦等人的工作，用统计方法 来研究分子热运动已被证明是很成功的。麦克斯韦 发现统计热力学的一条重要规律单原子气体的 速度分布律：,最可几速度：,气体分子服从能量均分定律： E为气体总动能，N为分子数。,，分子平均动能：,相空间,在某外力作用下，一个粒子按照牛顿定律运动，其路径集合是由无数的向任意方向发展且可相互交叉的连续曲线和所有的单个点组成的一个集合。 更有条理的理解是引入相空间。要在3维空间中确定一个点的位置，我们要确定粒子在3维坐标上的三个值。如果要确定一个粒子的速度，我们需要另外三个值，即粒子在x,y,z轴上的速度。设想有一6维空间，
2、用6维空间中的一个点来描述某时刻的单粒子系统的所有动力学状态。我们用前三个坐标来表示其位置，用另外三个坐标来表示其速度。这样的空间被称作相空间，以区别于3维位置空间。,单摆的相空间,横坐标代表动量， 纵坐标代表位置,阻尼摆和钟摆的相空间图,多粒子体系,6N维空间中的一点可以表示在3维空间中运行的一个多粒子系统的位置和速度。在相空间中，两个动力学系统的轨迹不可能相交。 有时会使用空间表示：用6维空间中（不是6N维空间）的N个点来描述由N个粒子组成的系统的全部动力学状态。这样，N条轨迹线就描述出所有粒子的运动。在这种描述中，经典的决定论就被表述成：在某一时刻，各由N条轨迹线组成的两组轨迹集不可能完
3、全重合。我们把这样的空间叫做空间。对于单粒子体系而言，空间与相空间是重合的。 在一定能量的超曲面上，无论初始条件是什么，系统的演变必须使它能达到给定能量超曲面上的所有点，这就是遍历系统。一个有限的且相对复杂的系统的能量超曲面上的非遍历点所占的面积近乎为零。,多粒子体系,任何物理系统的各种不同的宏观状态以及各种可能存在的热力学状态都可能对应着该系统在相空间中的不同区域。在日常使用的语言中，我们把整个宇宙的相空间划分为若干个块。热力学第二定律的统计力学描述的核心论断是：上述划分是极不均衡的，其中的某些块要比其他的块大得多。巨块的平衡态实际上是“所有快的事情都发生了，所有慢的事情都未发生”。 玻尔茨
4、曼早先把在长时间内观察到系统处于Si 状态的时间i的时间之比的极限（令）： i/定义为系统处于Si 状态的几率，爱因斯坦喜爱这个定义，而对几率的配容数定义不满。,微观配容数,以一个长方体的容器内的气体为例来研究空间，将该空间先划分为若干个大小相等的正方体单元。把N个相同气体粒子中某个粒子处于某个单元这样的描述称作一种排列，而把某个单元内的粒子数量这样的描述称作一种分布，这里的分布不是指哪些特定的粒子处于哪些特定的单元里。这样，一种分布就必然和若干种不同的排列对应；一种分布所能传达的信息也要比一种排列所传达的信息少得多。 N个粒子在相空间的r个“相格”中分布，其中在第i格中的粒子数为ni ,则N
5、个粒子的微观态 Wx =N!/n1!n2!nr ! 总而言之，粒子的分布越分散，排列的种类就越多，N代表的数越大，排列的种类也越多。,分布 （宏观态）,详细分布 （微观态）,1 4 6 4 1,微观态数（热力学几率） W,熵的几率解释,统计力学的一个基本假设是所有微观态都是等几率发生的。如果组成一个系统有种方式（是所有W的总和），那么经过一段较长时间后，系统处于某个特定宏观态X的概率是Px =Wx /，式中Wx是对应于宏观态X的微观排列数。 玻尔茨曼通过把一个分布的热力学熵作为与之相对应的排列数的因变量，建立了一个表达式：S=klnW。 宏观状态的熵是与之相对应的微观状态的相空间体积的度量单位
6、；如果微观状态不是连续的，它也是与之对应的微观状态数量的度量单位。这意味着熵与信息有某种联系。某一宏观态的熵越大，其对应的相空间体积就越大，也更容易出现，但携带的信息量就越少，混乱度越大。,刘维定理与彭加勒定理,可到达态：一个态的性质如果与系统的规定一致，这个态就是该系统的可到达态。 这意味着这个态的能量必定在系统规定的能量范围内，所代表的粒子数必定等于系统规定的粒子数。 设想相空间中一系列的点，某个地区，某个斑点。思考此斑点中的每一点的发展，后一系列一定会组成另一个斑点，此斑点假定和第一个相比有不同的形状，处于相空间的不同位置。刘维定理是说，那两个斑点的体积必须是相同的。在相空间中点的运动和
7、不可压缩液体中的水有着同样的数学结构。 根据彭加勒的回归定理，任何限制在它的相空间内的有限区域内的经典系统在不久的将来总是会回到它的原始状态，或任意地停止在它的原始状态（相邻微观态有26N 个）。,复杂体系的不可遍历性,因此，基于牛顿力学的统计力学不满足热力学不可逆性。但由于宇宙在复杂有机分子的复杂性层次上是不可遍历的，宏观不可逆性成了不可还原的突现属性。复杂体系肯定不是原子与分子随机碰撞形成的，而是存在着不同层次的自组织机制，如同元件先组装为部件，不同层次的部件再组装为机器。 比如，将200种氨基酸以不同的编码组成蛋白质链，因为在200个位置上，每一个都有20种选择，那么长为200的可能的蛋
8、白质的数量就是20100，相当于10260 。按照普朗克时标（10-43 秒），宇宙充其量只能随机创造10221 个长为200的蛋白质。,黑体辐射,1859年，通过基尔霍夫等人的研究，已经证明黑体辐射的“成分”（能量按频率的分布）只依赖于周围腔壁的温度而不依赖于腔壁的材料，或者说：“在相同的温度下的同一波长的辐射，其发射率和吸收率之比，对于所有物体都是相同的。”这里涉及的就是某个确定温度的黑体，电磁辐射和粒子处于平衡态。 dE=c(,T)d 黑体辐射光谱是连续的，光谱中间没有间隙 光谱的能量分布与温度有关，与物质性质无关。,维恩位移定律（1893）和斯蒂藩（1870）玻耳兹曼定律（1884）,
9、维恩定律是经验公式 斯蒂藩定律也是经验公式，后被玻耳兹曼所证明。,1900年，瑞利和琼斯根据能量均分原理计算出，物体的所有能量都会被场吸收完没有极限！此处发生了物理上荒谬的事情紫外灾难：如果物质和辐射振子按照经典观念是完全连续的，物体分子和原子热运动的能量就会不断地跑到电磁场中去，用来激发越来越高的频率的电磁辐射振荡，从而使热平衡永远无法达到，因为热平衡意味着需要无穷大的辐射能，即“紫外灾难”。 琼斯提出了“琼斯立方体”形象地表达了这一佯谬。 (,T)=(82/c3 )kT. 另一个维恩公式在短波段与实验事实一致，而在长波段有较大误差: (,T)=( 83/c3 )a e-a/T .,紫外灾难
10、,紫外灾难破缺热力学第三定律,有重物体是原子等小颗粒构成的系综，内部自由度是有限的。电磁场是连续的三维体，它的自由度是连续的无穷大。当我们考虑电磁场与物体的相互作用时，特别是考虑二者的能量平衡时，我们就在自由度方面遇到分立有限值和连续无限值的对立。 假如能量均分原理还能成立，只要有那么一点点极微弱的电磁场，则当场和物体之间的相互作用达到能量平衡（热力学平衡）时，每一个物体的温度都只能是绝对零度，而全部能量都被吸收到了电磁场中去。这个紫外灾难问题的深入分析得出的结论是，连续的电磁场和分立的质点体系在能量均分条件下达到热平衡态时，必然破缺热力学第三定律。在能量均分原理应当取得胜利的地方，事实上却存
11、在着遮断阳光的“乌云”。连续电磁波的假设也无法解释高强度低频光为何不能轰击金属电子来引发光电效应。,普朗克的探索过程,普朗克（1858-1947）研究黑体辐射的第一阶段是电磁阶段。根据经典电动力学，带电粒子作加速运动时会辐射电磁波；反过来，凡是能辐射电磁波的物体，一定可以比拟为是带电粒子在作加速运动。因此，普朗克就把黑体看成是一些作简谐运动的普朗克振子所组成的物理体系。1899年，普朗克得出了一个黑体辐射公式：(,T)= 83 u /c3 ，式中u为频率为的一个振子的平均能量。 第二阶段是热力学阶段。他发现，瑞利-琼斯公式与维恩公式所代表的热力学体系，它的熵S与能量u的关系分别是 d2 S/d
12、u2 =-c/u2 ，c为常数， d2 S/du2 =-1/au 。 比较这两个式子，普朗克得到启示：正确的黑体辐射公式，其热力学体系的熵和能量的关系很可能是： d2 S/du2 =a/u(u+) ，式中和是两个常数。普朗克有了这个猜想后，就得到了正确的黑体辐射公式。,能量子假说,1900年10月19日,普朗克推导出了跟实验吻合的黑体辐射能量-频率分布定律,这就是普朗克定律,它在低温时与瑞利-琼斯定律一致,在高温时与维恩定律一致。 =(82/c3)(h/exph/kT-1) 在研究的第三阶段（统计力学阶段），他引入了两条假设论证u= h/exph/kT-1 。一是量子假设，即谐振子系统总能量是
13、由有限个大小为E=h的不可分解的能包所组成；二是记数假设，即计算谐振子的熵时，把粒子视为全同粒子。于是，P个能量子在N个振子中进行分配时，配容数不同于玻尔茨曼分布： W=(N+P-1)!/(N-1)!P!,能量子假说的意义,普朗克的量子假说打破了“自然界无飞跃”的古老观念，把经典物理学中被视为连续的，无限可分的物理量理解为由不可再分的单位（能量子）组成的间断性分布,实际上是“牛顿以来最伟大的发现”。量子假说可以看作是加在能量均分原理上乃至整个经典统计物理学上的一种限制和修正，它避免了原子的电塌缩，以及电磁场与有重物体达到热平衡时破缺热力学第三定律等经典物理学的困境。 普朗克常数的引入，意味着自
14、然而然地扬弃紫外灾难：要激发越来越高的振荡频率，就要有越来越大的能量份数，以至使这种过渡的几率急剧降低，对于充分高的频率来说，它迅速趋向于零。 由于能量子的发现，普朗克获得了1918年度的诺贝尔物理学奖。,爱因斯坦与光电效应,1905年，爱因斯坦发表了关于光的产生和转化的启发性观点一文，根据维恩猜想，把黑体辐射本身看作是一个热力学体系，类比为理想光子气体系综。研究了辐射的熵密度，从中引申出光量子假说。按照爱因斯坦观点，作为辐射基本单位的光量子，是一些携带着能量和动量而运动的粒子，作为光子气体系综的黑体辐射与理想气体非常相似。爱因斯坦成功地解释了光电效应等现象，并因此获得1921年诺贝尔物理学奖
15、。 1909年，爱因斯坦在关于辐射的本质中发现，辐射压的能量与动量起伏似乎有两个原因：第一种机制（独立的光量子）将导致维恩定律，第二种机制（经典波）将单独导致瑞利-金斯定律，只有两种机制的结合才能导致普朗克定律。 1924年，玻色直接用能量量子化和光量子不可区别假设来推导普朗克公式，彻底解决了这个问题。1925年，爱因斯坦指出，玻色-爱因斯坦气体满足热力学第三定律。,普朗克与爱因斯坦,康普顿效应,根据经典电磁理论，散射的光波长是不会改变的。A.H.康普顿（18921965）于19221923年，在研究X射线射入石墨，金属等物质的散射现象时，用光子与静止电子的弹性碰撞解释了散射光波长的改变，还得出了波长移动的公式，这就是康普顿效应。 h/c=p+h/c， h+m0 c2=h+mc2 。 得到=c(1-cos) =(h/mc)(1-cos) c为康普顿波长。,原子稳定性问题,1911年，卢瑟福根据有关实验资料提出了原子的太阳系模型。公转的电子处于行星的地位，中心的太阳为原子核所取代，它们在很微小的尺度上由电磁力而不是引力绑在一起。 当一个公转电子绕着核子时，按照麦克斯维理论应发射出电磁波，同时它以螺旋形的轨道撞到核上去！如果电子在原子中静止，它们也无法借助于静电力保持平稳的构型；原子在不太强的外来干扰下高度稳定，经典物理无法理解原子稳定性。,光谱是分
