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1、 初中数学一题多解题例题一、两个连续奇数的积是 323，求出这两个数方法一、设较小的奇数为 x,另外一个就是 x+2x(x+2)=323解方程得：x1=17,x2=-19所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法二、设较大的奇数 x,则较小的奇数为 323/x则有：x-323/x=2解方程得：x1=19,x2=-17同样可以得出这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法三、设 x 为任意整数，则这两个连续奇数分别为：2x-1,2x+1(2x-1)(2x+1)=323即 4x2-1=323x2=81x1=9,x2=-92x1-1=17,2x1+1=192x2-1=-19
2、,2x2+1=-17所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法四、设两个连续奇数为 x-1,x+1则有 x2-1=323x2=324=4*81x1=18,x2=-18x1-1=17,x1+1=19x2-1=-19,x2+1=-17所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19例题二、某人买 13 个鸡蛋、5 个鸭蛋、9 个鹌鹑蛋，共用去 9.25 元；如果买 2 个鸡蛋，4个鸭蛋，3 个鹌鹑蛋，则共用去 3.20 元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需多少钱？解：设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为 x、y、z 元，则根据题意，得13592124302xyz.分析：此方
3、程组是三元一次方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x、y、z 的值是不可能的，但注意到所求的是 的代数和，因此，我们可通过变形xyz变换得到多种解法。1. 凑整法解 1： ，得23534153xyz.，得277()xyz0.答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需 1.05 元（下面解法后的答均省略）解 2：原方程组可变形为13429530()().zyzxy解之得： 1.2. 主元法解 3：视 x、y 为主元，视 z 为常数，解、得 ，z05.05.1.解 4：视 y、z 为主元，视 x 为常数，解、得 x2.，10505.解 5：视 z、x 为主元，视 y 为常数，解、得 y.，
4、12.3. “消元”法解 6：令 ，则原方程组可化为x059243051yzyz.x.解 7：令 ，则原方程组可化为y0 139250051xzxz.y.解 8：令 ，则原方程组可化为z13592405xyxy.z.4. 参数法解 9：设 ，则xyzk135921243023xyzk.，得1xy054.，得32k2由 、 得 3k.k105.即 xyz.5. 待定系数法解 10. 设xyzaxyzbxyzab()()1359243291则比较两边对应项系数，得13549142ab将其代入中，得xyz19531205.附练习题1. 有大小两种货车，2 辆大车与 3 辆小车一次可以运货 15.5
5、吨；5 辆大车与 6 辆小车一次可以运货 35 吨。求 3 辆大车与 5 辆小车一次可以运货多少吨？（答案：24.5 吨） 2. 有甲、乙、丙三种货物，若购甲 3 件、乙 7 件、丙 1 件共需 3.15 元；若购甲 4 件、乙10 件、丙 1 件共需 4.20 元。问若购甲、乙、丙各 1 件共需多少元？（答案：1.05 元）平面几何在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。“一题多变”的常用方法有：1、变换
6、命题的条件与结论；2、保留条件，深化结论；3、减弱条件，加强结论；4、探讨命题的推广；5、考查命题的特例；6、生根伸枝，图形变换；7、接力赛，一变再变；8、解法的多变等。19、 （增加题 1 的条件）AE 平分 BAC 交 BC 于 E，求证：CE：EB=CD ：CB20、 （增加题 1 的条件）CE 平分 BCD，AF 平分BAC 交 BC 于 F求证：（1）BFCE= BEDF（2）AECF（3）设 AE 与 CD 交于 Q，则 FQBC21、已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，以 CD 为直径的圆交AC、BC 于 E、F，求证： CE：BC=CF：AC（注意本题和
7、16 题有无联系）22、已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，以 AD 为直径的圆交 AC 于E，以 BD 为直径的圆交 BC 于 F，求证： EF 是O1 和O2 的一条外公切线23、已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，作以 AC 为直径的圆 O1，和以 CD 为弦的圆 O2，求证：点 A 到圆 O2 的切线长和 AC 相等（AT=AC）24、已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，E 为 ACD 的中点，连 ED 并延长交 CB 的延长线于 F，求证：DF：CF=BC：AC25、如图，O1 与O2 外切与点 D， 内公切线 DO
8、交外公切线 EF 于点 O，求证：OD 是两圆半径的比例中项。题 14 解答：因为 CD2=ADDBAC2=ADABBC2=BDAB所以 1/AC2+1/BC2=1/（ADAB）+1/（BDAB）=（AD+DB）/（ADBDAB）=AB/ADBDAB=1/ADBD=1/CD215 题解答：因为 M 为 AB 的中点，所以 AM=MB，AD-DB=AM+DM-(MB-DM)=2DMAC2-BC2=AD*AB-DB*AB=(AD-DB)AB=2DM*AB26、 （在 19 题基础上增加一条平行线）已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足， AE 平分BAC 交 BC 于 E、交CD
9、 于 F，FGAB 交 BC 于点 G，求证：CE=BG27、 （在 19 题基础上增加一条平行线）已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足， AE 平分BAC 交 BC 于 E、交CD 于 F，FGBC 交 AB 于点 G，连结 EG，求证：四边形 CEGF 是菱形28、 （对 19 题增加一个结论）已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足， AE 平分BAC 交 BC 于 E、交CD 于 F，求证：CE=CF29、 （在 23 题中去掉一个圆）已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，作以 AC 为直径的圆 O1， 求证：过点 D 的圆 O1
10、 的切线平分 BC30、 （在 19 题中增加一个圆）已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足， AE 平分BAC 交 BC 于 E，交CD 于 F，求证：CED 平分线段 AF31、（在题 1 中增加一个条件）已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足， A=30 度，求证：BD=AB/4（沪科版八年级数学第 117 页第 3 题）32、 （在 18 题基础上增加一条直线）已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，作 BCE=BCDP 为 AC 上任意一点，直线 PQ 交 CD 于 Q，交 CB 于 M，交 CE 于 N求证：PQ/PN=QM/M
11、N32 题证明：作 NSCD 交直线 AC 与点 S，则 PQ/PN=CQ/SN又BCE= BCDQM/MN=CQ/CN（三角形内角平分线性质定理）BCE+ NCS=BCD +ACDNS CD，NSC=ACDNSC=NCSSN=CNPQ/PN=QM/MN题 33在“题一中”，延长 CB 到 E，使 EB=CB，连结 AE、DE，求证：DEAB= AEBE题 33 证明CB2= BDAB因 EB=CBEB2= BDABEB：BD=AB：BE又EBD=ABEEBDABEEB：AB=DE：AEDEAB= AEBE题 34（在 19 题基础上增加一条垂线）已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，
12、D 为垂足，AE 平分 CD 于 F，EGAB 交 AB 于点 G，求证：EG2= BEEC证明：延长 AC、GE，设交点为 H，EBGEHCEB：EH=EG：ECEHEG= BEEC又 HGCD，CF=FDEH=EGEG2= BEEC题 35（在题 19 中增加点 F）已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，AE 平分BCA 交 BC 于点 E，交 CD 于 F，求证：2CFFD = AFEF题 36、 （在题 16 中，减弱条件，删除ACB=90 度这个条件）已知，ABC 中， CDAB ，D 为垂足，DEAC 于 E，DFBC 于 F，求证：CE/BC=CF/AC题 3
13、7（在题 17 中，删除ACB=90 度和 CDAB，D 为垂足这两个条件，增加 D 是 AB 上一点，满足ACD=ABC）已知，ABC 中，D 是 AB 上一点，满足ACD=ABC，又 CE 平分BCD求证：AE2= ADAB题 38已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足， PC 为ABC 的切线求证：PA/AD=PB/BD 题 39（在题 19 中点 E“该为 E 为 BC 上任意一点”）已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，E 为 BC 上任意一点，连结 AE，CFAE，F 为垂足，连结 DF，求证：ADF AEB题 40：已知，ABC 中，ACB=
14、90 度，CDAB，D 为垂足求证：SADC：SBDC=AD：DB题 41已知，如图，ABC 中， CDAB，D 为垂足，且 AD/CD=CD/BD，求ACB 的度数。题 42已知，CD 是ABC 的 AB 边上的高， D 为垂足，且 AD/CD=CD/BD，则ACB 一定是 90 度吗？为什么？题 43：已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足， ADC 的内切圆O1，BDC 的内切圆O2，求证：SO1： SO2=AD：DB题 44：已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足， ADC 的内切圆O1 的半径R1，BDC 的内切圆O2 的半径 R2，ABC 的内切
15、圆 O 的半径 R，求证：R1+R2+R=CD 题 45、已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，作以 AC 为直径的圆 O1，和以BD 为直径的圆 O2，设 O1 和 O2 在ABC 内交于 P求证： PAD 的面积和PBC 的面积相等题 45 解：CAP=CDP=DBP （圆周角、弦切角）RtAPCRtBPDAPPD= BPPC又APD 和CPB 互补（APC+ BPD=180 度）S PAD=1/2APPDsinAPDS PBD=1/2BPPCsinCPBS PAD= S PBD题 46（在题 38 的基础上变一下）已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足， PC 为ABC 的切线，又 CE 平分ACB 交ABC 与 E，交 AB 与 D ， 若 PA=5，PC=10
