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1、桥 梁 工 程,Bridge Engineering,主讲：赵 华,湖南大学本科教学讲义,课时：32学时 考核：闭卷考试,第二篇 混凝土梁桥和刚架桥,湖南大学土木工程学院桥梁教研室 15580022963 0731-88822221 ,第四章 混凝土悬臂、连续体系 梁桥计算B,4.4 预应力计算的等效荷载法,4.4.1 预应力次内力的概念,超静定结构（连续梁、连续刚构）因各种强迫变形（预应力、徐变、收缩、温度、基础沉降 等）而在多余约束处产生的附加内力，统称次内力或二次内力。 简支梁在预加力作用下只产生自由挠曲变形和预应力偏心力矩（初预矩），不产生次力矩。 连续梁在多余约束处产生垂直次反力，且
2、产生次力矩，其总力矩为：,初预矩,预应力引起的挠曲变形和次内力,次力矩（力法或等效荷载法）,(4.4.1),简支梁压力线与预应力筋位置重合 连续梁压力线与预应力筋位置相差:,压力线,4.4.2 等效荷载法原理,1) 预应力筋的摩阻损失忽略不计(或按平均分布计入)； 2) 预应力筋贯穿构件的全长； 3) 索曲线近似地视为按二次抛物线变化，且曲率平缓。,1.基本假定,2.曲线预应力索的等效荷载,锚头倾角： 、 ，锚头偏心距：eA 、eB，索曲线在跨中的垂度为f。 符号规定：索力的偏心距以向上为正，向下为负；荷载以向上者为正，反之为负。,索曲线表达式：,(4.4.2),预应力筋对中心轴的偏心力矩M(
3、x)为,由材料力学知：,(4.4.3),(4.4.4),索曲线倾角的改变量,等效荷载（向上为正）,(4.4.5),等效荷载沿全跨长的总荷载 恰与两端预加力的垂直向下分力 相平衡。,曲线索等效荷载,3.折线预应力索的等效荷载,折线索的索力线方程：,(4.4.5),简支梁剪力内力分布图恰 与在梁的C截面处作用一个 垂直向上的集中力P效的结 果相吻合，故：,总结：预应力对结构的作用可以用一组自平衡的等效荷载代替,4.4.3等效荷载法的应用,(1) 计算步骤,按预应力索曲线的偏心距ei及预 加力Ny绘制梁的初预矩:,此时不考虑支座对梁体的约束影响。,求截面的次力矩：M次=M总M0,用力法或有限单元法程
4、序求解连 续梁在等效荷载作用下的截面内 力，得出的弯矩值称总弯矩M总， 它包含了初预矩M0在内；,按布索形式分别确定等效荷载值,(2) 示例,初预矩图,两等跨等截面连续梁，索曲线的布置如下，各段索曲线的偏心距e(x)方程列出如下表，端部预加 力Ny=1158kN，求中支点B截面的总弯矩M总和次力矩M次。,半结构索曲线方程,绘制预加力的初预矩图，即：,结构、预加力对称于中支点B截面，取半结构分析，视B截面为固定端。计算步骤如下：,计算预加力的等效荷载 a-d段的端转角：,a-d段的等效荷载：,d-b段的端转角：,d-b段的等效荷载：,（向下）,（向上）, B支点总预矩M总计算,B支点的总弯矩为：
5、, B支点次力矩M次,计算图式见图，可分解为两种简单工况，然后应用手册中给出的公式计算； 注意： 手册中，q是以向下为正，向上为负。,B,B,线性转换 只要保持束筋在超静定梁中的两端位置不变，保持束筋在跨内的形状不变，而只改变束筋在中间支点上的偏心距，则梁内的混凝土压力线不变，总预矩不变。,预应力束在中支点上调整偏心距e后，支点B所增加(或减少)的初预矩值，与预加力次力矩的变化值相等，而且两者图形都是线性分布，因此正好抵消。,4.4.4 吻合束的概念,按实际荷载下的弯矩图线形作为束曲线形，便是吻合束线形，此时外荷载与预加力正好平衡。,承受均布荷载q的两等跨连续梁左跨弯矩计算公式：,验证：,外荷
6、载被预应力完全平衡，故对梁不产生次内力，就没有下挠、上拱，徐变也小。,吻合束-超静定结构中，次内力为零的预应力束！,扩展-用力法解预加力次力矩（直线索为例）,力法方程,变位系数,赘余力,总预矩,压力线位置,预应力计算的等效荷载法作业：,试求如上图所示的两跨连续梁，截面等宽，假定为矩形截面，截面高度变化如图所示，假定截面抗弯刚度和高度的立方成正比。预应力筋布置及索曲线方程如书P142例题2-4-4（索曲线方程以图中黑点划线为坐标建立，截面形心轴为图中红色虚线），求 （1）预应力钢筋的等效荷载图示； （2）预应力引起的中支点B截面的总弯矩及次力矩。,4.5 混凝土徐变次内力计算的换算弹性模量法,4
7、.5.1 徐变次内力的概念,1 名词,(1) 徐变变形,弹性变形 在长期持续荷载作用下，混凝土棱柱体继瞬时变形；,徐变变形 弹性变形以后，随时间t 增长而持续产生的那一部分变形量。,徐变变形,弹性变形,(2) 徐变应变,徐变应变单位长度的徐变变形量。,瞬时应变单位长度初始加载时瞬间所产生的变形量，又称弹性应变,徐变系数自加载龄期起至某个t 时刻，徐变应变值与瞬时应变（弹性应变）值之比。,或,徐变应变 与混凝土应力 呈线性关系，称为线性徐变理论。,徐变变形量,棱柱体长度,(3) 瞬时应变,弹性变形量,棱柱体长度,(4) 徐变系数,徐变应变，与t 有关,弹性应变、恒定值,2 徐变次内力,徐变次内力
8、超静定混凝土结构的徐变变形受到多余约束制约时，结构截面内产生的附加内力。,两条悬臂梁在完成瞬时变形后，端点均处 于水平，悬臂根部弯矩均为 ； 随着时间的增长，两悬臂梁端部将发生随 时间t而变化的下挠量 和转角 ； 直到徐变变形终止，该梁的内力沿跨长方 向不发生改变。,合龙以后接缝处仍产生随时间变化的下挠量 ，但转角 始终为零，这意味着两侧悬臂梁相互约束着角位移； 结合截面上弯矩从 ，而根部弯矩逐渐卸载，这 就是内力重分布（应力重分布），直到徐变变形终止； 徐变次内力 与根部弯矩绝对值之和仍为 。,静定结构只产生徐变变形、不产生次内力；超静定结构产生随时间t变化的徐变次内力。,4.5.2 徐变系
9、数表达式,1 徐变系数的三种理论,徐变系数与加载龄期和加载持续时间两个主要因素有关。 加载龄期混凝土自养护之日起至加载日的时间间距，用 表示，i=0，1，2天； 持续荷载时间自加载日起至所欲观察之日t的时间间距，即 。,老化理论：不同加载龄期的混凝土徐变曲线在任意时刻 ，其徐变增长率相同。,任意加载龄期混凝土在t 时刻的徐变系数计算公式：,加载龄期为 的混凝土至 时刻的徐变系数；,(1) 老化理论,(4.5.1),加载龄期为 的混凝土至 时刻的徐变系数；,(1) 先天理论,先天理论认：不同龄期的混凝土徐变（徐变曲线）增长规律都是一样的。,任意加载龄期混凝土在t 时刻的徐 变系数计算公式：,以
10、为原点的徐变基 本曲线上，加载持续时间为 的徐变系数。,(4.5.2),兼有上述两种理论特点的理论称混 合理论， 试验表明： 老化理论比较符合早期加载情况， 先天理论比较符合后期加载情况。,(2) 混合理论,早期加载,后期加载,2 公路桥规关于徐变系数的表达式,(4.5.3),名义徐变系数：,其中：,加载后徐变随时间发展的系数,其中：,加载龄期（d）；,计算时刻混凝土龄期；,RH环境年平均相对湿度（）；,构件理论厚度（mm）， A为截面 面积，u为构件与大气接触的周边 长度；,28d龄期混凝土的平均立方体抗 压强度（MPa）；,龄期28d混凝土立方体抗压强度标 准值（MPa）；,4.5.3 混
11、凝土结构的徐变变形计算,1）不考虑结构内配筋的影响； 2）混凝土的弹性模量假定为常值； 3）采用线性徐变理论。,1 基本假定,2 静定结构在恒定荷载条件下的徐变变形计算,悬臂梁端部作用有恒定垂直力P和 恒定弯矩M时的弹性（瞬时）挠度和端转角； 加载龄期为 ，且持续 到t 时刻的徐变挠度和徐变端转角。,载变位,有下列关系式：,单位力P=1时其作用方向上的位移,单位力矩M=1时，作用方向上的转角,按照结构力学中的虚功原理：,(4.5.4),(4.5.5),载变位,3 静定结构在随时间t变化的荷载作用下之徐变变形计算,先简支后,两跨简支基本结构，切口处初 始恒载弯矩 ，基本结构 上只有垂直恒载q和随
12、时间变化 的徐变赘余次力矩M(t) 作用。,单位力矩 弯矩图,恒载q 弯矩图,常变位,微分方程式,单位力矩 弯矩图,恒载q 弯矩图,狄辛格法：在时间增量 内，切口两侧变形增量的协调方程：,(4.5.6),切口处由单位力矩 引起截面两侧相对弹性角位移,时间增量dt内的徐变系数增量,切口处由恒载q引起截面两侧相对弹性角位移,M(t)作用下徐变变形,dM(t)引起的弹性变形,恒载作用下徐变变形,巴曾法：在任意时刻t 时，切口两侧的变形协调方程：,老化系数，又称时效系数，它是考虑结构次内力的徐变因混凝土的老化而逐渐衰减的一个 折减系数，其值小于1。,代数方程式,(4.5.7),式（4.5.6）在理论上
13、是比较精确的，但当结构为高次超静定，且各梁段的徐变系数又不相 同时，必须建立庞大的微分方程组，求解十分困难。,式（4.5.7）中的第二项是代表在t 时刻由恒载q在切口处产生的相对徐变角位移，而第一项 是代表同一时刻由徐变次内力M(t)在切口处产生的总的相对角位移，它可表为：,它将M(t)假想地视为不随时间t 变化的赘余力，通过老化系数 修正徐变系数 后 ，求得该次内力产生的总变形。但式中有两个未知量：M(t)和 ，不能求解。故可采取 联立混合求解方法：应用式（4.5.6）求解M(t)，再代入式（4.5.7），得到关于 的一般 表达式，解得这个未知量后，再求解线性代数方程组就不成问题了。,(4.
14、5.6),(4.5.6),式（4.5.6）的求解：,令：,(4.5.8),(4.5.7),M(t) 下切口处徐变变形：,4 换算弹性模量概念,(4.5.7),1）应用在不变荷载（恒载）下徐变变形（载变位）计算的换算弹性模量,2）应用在随 t 变化荷载下徐变变形（常变位）计算的换算弹性模量,则式（4.5.7）成为：,为便于用结构力学中力法来求解超静定结构的徐变次内力问题，引入两个广义换算弹性模量：,(4.5.7),(4.5.9),(4.5.10),(4.5.11),结构力学公式,4.5.4 超静定梁的徐变次内力计算,1 计算方法,1）狄辛格方法； 2）扩展狄辛格方法； 3）换算弹性模量法； 4）
15、以上述理论为基础的有限元法等。,计算外荷载及赘余约束处初始内力Xi引起的徐变变形时，换算弹性模量取,计算由待定的、随时间t变化的徐变赘余力Xit引起的徐变变形时，换算弹性模量取,1）原理 超静定结构所选取的基本结构，其被截开的截面或者被移去的多余支点（赘余约束）处， 除了加上荷载产生的赘余力Xi外，还要施加随时间t变化的徐变赘余力Xit，然后根据变形 协调条件：外荷载及赘余力（Xi和Xit）在赘余约束处产生的徐变变形之和应为零，可求得 徐变次内力。,2 换算弹性模量法,2）计算步骤 对于同一座连续梁，施工方法（一次现浇成桥、先简支后连续、悬臂浇筑等）不同，各节段的 加载龄期就不同，计算模式也不同，因此其徐变次内力也不相同。其一般计算步骤如下：,在赘余联系处分别施加各单位赘余力 ，得到各 图；,根据已知条件分别计算各梁段的老化系数 和换算弹性模量 、 ；,按换算弹性模量和图乘法计算所有恒定外力、徐变赘余力在赘余约束处产生的变位，即：,选取基本结构的计算图式；,按不同施工阶段计算恒载内力图 ；,由变形协调条件，解力法方程组求各徐变次内力 ：,按解得的徐变次内力Xi
