第九章（A）“直线、平面、简单几何体”简介《全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）数学》第二册（下）的第九章（A）为《直线、平面、简单几何体》这一章是根据《全日制普通高级中学数学教学大纲（实验修订版）》中的“9（A）直线、平面、简单几何体”部分所规定的教学内容和教学目标而编写的它在原《立体几何》（必修本）的基础上作了较大的修改，精简了教学内容，减少了教学时间，在体系安排和内容的具体处理方法上也有所改革本章教学时间约需 39 课时，具体分配如下（仅供参考）：一、空间直线和平面9．1 平面约 3 课时9．2 空间直线约 5 课时9．3 直线与平面平行的判定和性质约 3 课时9．4 直线与平面垂直的判定和性质约 4 课时9．5 两个平面平行的判定和性质约 3 课时9．6 两个平面垂直的判定和性质约 3 课时二、简单几何体9．7 棱柱约 4 课时9．8 棱锥约 4 课时9．9 研究性课题：多面体欧拉公式的发现约 3 课时9．10 球约 4 课时小结与复习约 3 课时一、内容与要求（一）本章主要内容是立体几何的基础知识和解决立体几何问题的基本思想方法本章的具体知识点主要包括：平面及其基本性质，平行直线，对应边分别平行的角，异面直线所成的角，异面直线的公垂线，异面直线的距离，直线和平面平行的判定与性质，直线和平面垂直的判定与性质，点到平面的距离，斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角，三垂线定理及其逆定理，两个平面平行的判定与性质，平行平面间的距离，二面角及其平面角，两个平面垂直的判定与性质，棱柱，棱锥，平面图形与简单立体图形直观图的画法，多面体和正多面体，球。
二）本章在体系编排上分为两大节：第一大节是“空间直线和平面”，第二大节是“简单几何体”1．直线和平面是最基本的几何元素，空间直线和平面的位置关系是立体几何的基础知识学好这一部分内容，对于学生在已有的平面图形知识基础上，建立空间观念，实现从平面图形到立体图形的认识飞跃，是非常重要的第一大节包括 6 小节，依次按照平面、空间直线、直线和平面平行、直线和平面垂直、两个平面平行、两个平面垂直的顺序编排这 6 节之间密切联系，前面内容是后面内容的理论根据，后面内容既巩固了前面内容，又发展和推广了对前面内容的认识从而形成了一个关于空间直线和平面位置关系的概念、判定和性质的知识体系本大节无论在全章的知识系统中，还是在培养学生的辩证唯物主义观点、空间想象能力和逻辑思维能力方面，都具有重要的基础作用2．简单几何体，是指最基本、最常见的几何体按照大纲的规定，本章中关于简单几何体只讨论棱柱、棱锥、多面体和正多面体、球这些内容依次排列，构成第二大节所含的 4 小节由于初中几何已学过圆柱和圆锥的有关内容，台体可以通过从大锥体截去小锥体而得出，为节约课时以便实现教学内容的更新，本章中的简单几何体比原《立体几何》（必修本）在内容上精简幅度较大，删去了圆柱、圆锥、圆台和棱台等，只保留了最基本的多面体（棱柱和棱锥）、一般多面体的有关概念和球。
关于棱柱和棱锥，教学内容包括有关概念、性质、直观图的画法三部分其中直观图的画法仅重点讨论直棱柱和正棱锥的直观图为对有关体积的计算形成统一认识，本章第一个阅读材料安排了《柱体和锥体的体积》，介绍了祖氏原理，并根据这一原理对柱体和锥体的体积公式作了理论上的说明关于多面体，教学内容包括有关概念和欧拉公式本章以研究性课题的形式，安排了《多面体欧拉公式的发现》一节，对欧拉公式的发现及其推导作了讨论本章第二个阅读材料《欧拉公式和正多面体的种类》，运用欧拉公式说明正多面体为什么只有 5 种关于球，教学内容包括有关概念、性质、球的体积和表面积本章通过“分割，求近似和，化为准确和”的方法，即运用“化整为零，又积零为整”的极限思想，对于球的体积和表面积公式进行了推导，这种处理方法与原《立体几何》（必修本）有较大变化教学中对这两公式的推导，只要求了解其基本思想方法即可，重点在于掌握公式本身,而不必要求学生一定要掌握公式推导的细节第二大节的内容，既是对简单几何体基础知识的重点讨论，又是对第一大节中空间直线和平面位置关系相关知识的综合运用三）本章的教学要求1．掌握平面的基本性质，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图；能够画出空间两条直线、直线和平面、两个平面的各种位置关系的图形,能够根据图形想象它们的位置关系。
2．了解空间两条直线的位置关系；掌握两条直线平行和垂直的判定定理和性质定理；掌握两条直线所成的角和距离的概念（对于异面直线的距离，只要求会利用给出的公垂线计算距离）3．了解空间直线和平面的位置关系；掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念；了解三垂线定理及其逆定理4．了解两个平面的位置关系；掌握两个平面平行的判定定理和性质定理；掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念；掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理5．进一步熟悉反证法，会用反证法证明简单的问题6．了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图7．了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图8．了解多面体、凸多面体、正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式9．了解球的概念、掌握球的性质、体积和表面积公式10．通过本章教学，培养空间想象能力，发展逻辑思维能力，并培养辩证唯物主义观点二、本章的特点（一）加强三种数学语言功能的发挥，使教材更有利于培养学生的空间想象能力数学语言是在数学思维中产生和发展的，是数学思维不可缺少的重要工具。
通常按数学语言所使用的主要词汇，将数学语言分为三种：文字语言、符号语言和图象语言例如，“垂直于同一平面的两条直线平行”是一个定理的文字语言形式；符号表示 是该定理的符号语言形式；用图象语言，这个定理则可表示为图 1几种语言各有特点，发挥着不同的功能，又互相依存，互相制约 图 1本章编写中注意了采取以下几点措施来加强三种数学语言功能的发挥1．从图象语言入手，有序地建立三种数学语言的联系当代著名数学家、数学教育家 G．波利亚将一般数学问题的解决分为四个水平，即图象水平，联系水平，数学水平和探索水平从数学语言的角度说，这里的第一种水平，使用的主要是图象词汇；第二种水平，是将所考察的对象及表示它的图象词汇用文字或符号表示出来，建立几种词汇间的联系；第三种水平，是将各种数学词汇发展成以数学理论为“句法”的数学语句；第四种水平，是由数学语句发展成数学文章，即给出问题的数学解答并由此做出进一步探索在本章中，上述四种水平的循序发展尤为典型．立体图形是立体几何研究的对象，对它的一般描述表示是按“三维对象（几何模型）--图形--文字--符号”这种程序进行的其中，图形是将考察对象第一次抽象后的产物，是首先使用的数学词汇，也是形象、直观的语言。
完成了由对象到图形的飞跃，才有可能达到后面的水平因此，加强图形的运用十分重要本章编写中首先强调图象语言，适当增加插图的数量，提高插图的质量，在图形的典型性、简明性、直观性、概括性及趣味性等方面下功夫，力求充分发挥其作用文字语言是对图形的描述、解释与讨论，符号语言则是对文字语言的简化和再次抽象显然，首先建立的是图象语言，其次是文字语言，再次是符号语言，最后形成的应是对于对象的三种数学语言的综合描述，即整体认识有了这种整体认识，三种语言达到融汇贯通的程度，能根据需要由一种描述转化为其他描述，就能基本把握对象了对于对象的文字和符号描述，必须紧密联系图形，使抽象与直观结合起来，在图形的基础上发展其他数学语言．本章在阐述定义、定理、公式等重要内容时，先给出图形再以文字和符号描述，注意综合运用几种数学语言，使其优势互补，以期能收到更好的效果2．做好由模型到图形的过渡立体几何的一个主要难点，是要由画在二维平面上的图形想象出三维空间中的几何关系对此,即使学习了较长时间立体几何，遇到复杂些的图形也有一定难度对于初学立体几何的高中生，把平面上的图形在头脑中立体化困难就更大克服这些困难的一个有效办法，就是做好由模型到图形的过渡。
要增加一些由模型画图形的训练，例如画简单几何体的练习可以提前些通过观察实物或模型并用几何图形表示它们，熟悉空间各种线面关系的表示方法，对于看图是非常重要的这应作为学习立体几何的图象语言的起始内容为此，本章在练习和习题中安排了一些“观察图形后填空”或“用符号表示语句并画出图形”类型的题目，希望教学中能重视发挥它们的作用 3．注意两个方向的转化培养空间想象力，有两个不同方向的转化问题首先是“图形---文字---符号”的转化，即由图形出发，弄清画在平面（书页、黑板等）上的立体图形所表示的空间几何关系，以及未明确表示的隐蔽关系，然后将它们用文字语言加以描述，再以数学符号概括表示，将“有形”的信息变为“无形”的形式其次是“符号---文字---图形”的转化，即理解符号或文字所表达的空间几何关系，并将它们用图形直观地表示出来，化“无形”为“有形”本章注意了由不同方向对图形与文字、符号间转化的设计安排，特别在前面部分的练习题和习题中增加了插图的数量，并且加强这种转化的训练这样做既有利于第一种转化,同时也为实现第二种转化做了必要准备4.文字语言要准确简明本章的语言叙述力求准确简明对一个公理和一个定义在文字叙述上作了变化。
1）关于平面的公理 2 的叙述在《立体几何》课本（必修本）中，公理 2 是这样叙述的：“如果两个平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条通过这个点的公共直线读了上述文字，可能初学者会问：“这两个平面的过这个点的公共直线有且仅有一条，此外还有无不过这个点的公共直线？”“这两个平面除这条公共直线外还会有别的公共点吗？”产生这样的疑问的原因是，从字面上看上述公理中“有且仅有一条”的对象单指“通过这个点的公共直线”而不包括其他公共直线虽然由“通过这个点的公共直线有且仅有一条”可以推出“这两个平面的公共直线有且仅有一条，它通过这个点”，但是这样的推导又需使用另外的公理（公理 3），进行这样的推导并非原课本设计的本意实际上，由课本的上下文及插图可以明显地看出，课本中安排这个公理是要直接明确地告诉学生：“这两个平面的公共直线有且仅有一条，它通过这个点鉴于以上所述，本章虽然仍以这个公理为公理 2，但是在文字叙述上改写如下：“如果两个平面 *有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条直线教科书中加页边注：*在本章中，没有特别说明的“两个平面”，均指不重合的两个平面由于新教材在第 1 章专门安排了“集合”的内容，在第 9 章的序言中又强调了“空间图形是空间中点的集合”，所以改写后的公理 2，能够结合学生已学的集合概念，简单准确清楚地说明问题。
2）关于两点间球面距离的叙述《立体几何》课本（必修本）对两点的球面距离叙述如下：“在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度我们把这个弧长叫做两点的球面距离这里两次出现了“距离”一词细心人会问：既然“球面距离”定义出现在后，那么这段文字中前面的“最短距离”又是指什么“距离”？它相对于哪些距离而言“最短”？鉴于以上所述，本章在对两点的球面距离下定义时，改变了用“最短距离”进行解释的作法，代之以用“最短连线的长度”来描述，即文字叙述如下：“在球面上，两点之间的最短连线，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧我们把这段弧的弧长叫做两点的球面距离虽然这里仅仅是几个字的改动，但是这样改在逻辑上更合理，内容上更确切，比原课本写法更直观，从而更便于教学5．符号语言要合理、简洁、易用、相对规范使用符号的目的在于带来方便，符号要合理例如，表示“平面 α 和 β 的交线为 a”和“点 p 在直线 a 上，a 在平面 α 内”，要根据点是基本元素，直线、平面是点的集合的道理，分别使用。