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1、第一章(2) 晶体结构,1.7 晶向、晶面和它们的标志,1.8 倒格子,1.9 布里渊区,1.7 晶向、晶面和它们的标志,布拉菲格子的格点可以看作分列在一系列相互平行的直线系上，这些直线系称为晶列。同一个格子可以形成方向不同的晶列。,晶列,（1）任一晶列上都有无穷多个格点； （2）任一晶列都有无穷多条相互平行的晶列，构成一个晶列簇； （3）每一个晶列簇都将晶体中所有的格点包含无遗。,一、晶列,o,R,定义,性质,定义：每一个晶列定义了一个方向，称为晶向，晶向用晶向指数来表示。晶向可以在原胞基矢坐标系中表示，也可以在单胞（晶胞）基矢坐标系中表示。,晶向指数（原胞）： 如果从一个格点沿晶向到最近邻
2、格点的位移矢量为 则晶向就用 来标志，称为晶向指数。 晶列上格点的周期为：,晶向指数（晶胞）： 如果从一个格点沿晶向到最近邻格点的位移矢量为 ，则晶向就用 来标志（m、n、p为互质的整数），称为晶向指数。,（1）提到方向，并不是单指某个个别的直线，而是指符合平移对称性而完全等价的一族平行直线。 （2）指数大的方向，如157，其单位长度上的原子数比指数小的，如111，方向的要少些。,二、晶向（direction）,立方晶格的等效晶向,立方边OA的晶向： 100 面对角线OB的晶向：110 体对角线OC的晶向：111,100及其等效晶向 等效晶向表示为,111及其等效晶向 等效晶向表示为,110及
3、其等效晶向 等效晶向表示为,等效晶向：由于单胞具有某些旋转对称性，晶体在某些晶向上的性质可能是完全相同的，这些晶向称为等效晶向，统称一组等效晶向时用 表示。,体心立方元素晶体，111方向上的结晶学周期为多少？实际周期为多大？ 解答：结晶学的晶胞，其基矢为a、b、c，只考虑由格矢R=ha+kb+lc构成的格点。因此，体心立方元素晶体111方向上的结晶学周期为：,实际周期为,面心立方元素晶体中最小的晶列周期为多少？该晶列在哪些晶面内？ 解答：周期最小的晶列一定在原子面密度最大的晶面内。根据密堆积模型，则原子面密度最大的晶面就是密排面，密勒指数为（111）是一个密排面晶面族，最小的晶列周期为 。根据
4、同族晶面族的性质，周期最小的晶列处于111面内。,定义：布喇菲格子的格点还可以看成分列在平行等距的平面系上，这样的平面称为晶面。同一个格子可以有无穷多方向不同的晶面系。,立方晶格中的（100）、（110）、（111）面,（100）,（110）,（111）,三、晶面（crystal plane or lattice plane）,性质：,（1）任一晶面上都有无穷多个格点； （2）任一晶面都有无穷多个相互平行的晶面，构成一个晶面簇； （3）每一个晶面簇都将晶体中所有的格点包含无遗。,晶面族：晶面平行等距,一个晶面族的特征有： 1、晶面方位 2、晶面间距,由晶面指数决定,晶面指数：一个晶面的标志，就
5、是要指明它的空间方位。一个晶面的空间方位，由该晶面在三个坐标轴上的截距完全决定。与这三个截距的倒数相对应的三个互质整数，称为该晶面的晶面指数。晶面指数有两种，基于单胞基矢坐标系的晶面指数称为密勒指数，基于原胞基矢坐标系的晶面指数称为面指数。,在原胞基矢坐标系中，若一个晶面在三个基矢 方向上的截距的倒数，约化为三个互质的整数 ，放在圆括号中 ，用来标志该晶面。放在圆括号中的这一组三个互质整数 就称为该晶面的面指数。,1、确定面指数的方法,a1,a2,a1/h1,a2/h2,晶面指数的意义,由于一个晶面族包含了所有的格点，而任意两点间所通过的平行晶面数总是整数。截距为 的晶面系中，总有两个晶面分别
6、通过基矢的两端，从而这个晶面系把基矢a1、a2、a3分别截成h1、h2、h3个等长的小段。由右图看出，该晶面系中离原点最近的晶面的截距分别为a1/h1、a2/h2，a3/h3，若用n表示该晶面系的法线，d表示该晶面系的面间距，有,o,d,若选用自然长度单位a1、a2、a3分别等于1，则有：,即晶面指数之比等于晶面法线方向与各坐标轴夹角的余弦之比。,h1、h2、h3的数值可以由晶面族（h1 h2 h3）中任一晶面在基矢坐标轴上的截距来求出。设晶面族（h1 h2 h3）中离开原点的距离等于d（为整数）的晶面在三个基矢坐标轴上的截距分别为ra1、sa2、ta3，则有：,由此得：,与上式相比较，有,晶
7、面指数不仅可以标志晶面族，还可用以得出晶面系中相邻晶面的面间距和不同晶面系中两个晶面之间的夹角。例如对于简单正交晶格，选晶胞基矢作为坐标轴，其密勒指数可写为（hkl），有,考虑到正交坐标系有：,可得（h k l）晶面系的相邻晶面间距为：,对简单立方晶格，则,密勒指数为（h1 k1 l1）和（h2 k2 l2）的两个晶面之间的夹角为：,指数简单的面是最重要的晶面，如（100）、（110）、（111）之类。这些面指数低的晶面系，其面间距d 较大，原子层之间的结合力弱，晶体往往在这些面劈裂，成为解理面，一般容易显露。如Ge、Si、金刚石的解理面是（111）面，而III-V族化合物半导体的解离面是（1
8、10）面。,双层,双层,双层,111,金刚石晶格中的双层密排面,立方晶胞的体对角线111方向，与之垂直的晶面为（111）面； （111）面为一个双层密排面，双层面内部相互作用强，两个相邻双层面之间相互作用弱，在晶体生长、晶面解理、化学腐蚀等情况下，表面往往有倾向成为（111）面的趋势。,另一方面，因为一晶系包含了所有的格点（原子），因此，面间距大的晶体，格点的面密度必然大。若用表示格点（原子）的体密度，则格点面密度与面间距的关系为：,知道了晶体的体密度，求出面间距，即可求出（h k l）面的面密度。原子密度大的晶面，对射线的散射强，因而指数简单的晶面系在X射线衍射中往往为照片中的亮点所对应的晶
9、面。,d, A,2、确定密勒指数的方法,若一个晶面在单胞基矢坐标系的三个基矢方向上的截距分别为 ，用三个数字 就可以标志晶面的空间方位，但是，如果晶面与某一基矢平行，这三个数字中就有一个为无穷大，故采用截距的倒数 ，并约化为三个互质的整数 来标志晶面，晶面指数表示为 。,注：如果有负数，负号标在该数的上面。,确定P面的方法：,（1）找出它在基矢a、b、c上的截距，令这些截距为u、v、w； （2）通常u是a的分数的倍数，v是b的分数倍，表示为：,（3）其倒数为,（4）然后乘以公因子，使其简化为一组最小的整数，这组最小的整数称为该平面的密勒指数，用（hkl）表示。,举例说明,设u=2a，v=b，w
10、=c，则,其倒数为 ，将其乘以公因子2，得到密勒指数为（122）,说明,（1）包含坐标轴的晶面，无法确定该晶面在该坐标轴上的截距，从而无法直接确定该晶面的晶面指数。由于互相平行的晶面的晶面指数相同，可以首先找到一个与之平行的晶面，确定其晶面指数，该晶面指数也就是包含坐标轴的晶面的晶面指数。 （2）晶面的密勒指数和面指数，使用起来各有所长。密勒指数所用的坐标系比较简单，单胞基矢坐标系的坐标轴大多是相互垂直的，因此密勒指数比较容易确定。面指数在数学解析分析中具有很多优越的性质。如面指数直接给出的是距离原点最近的晶面，在计算晶面间距时比较简单。根据情况不同，两种晶面指数的方便程度不同。,立方晶格的等
11、效晶面,等效晶面：由于单胞具有旋转对称性，某些非平行的平面按旋转对称性可能是等价的，这些平面称为等效晶面，可用同一个密勒指数概括，用 表示。,（1）简单立方晶格中一个晶面的密勒指数是和晶面法线的晶向指数完全相同的，这给确定晶面指数提供了一个简单途径。 （2）与立方边100、面对角线110和体对角线111垂直的晶面分别为（100）、（110）、（111）面。 （3）与其它的立方边、面对角线和体对角线相垂直的晶面是等效的，可以分别用正立方体、正十二面体、正八面体表示。 （4）右图中各多面体相对的两个面都是相互平行的，它们的晶面指数正好相反。如八面体的一个晶面为（111），与它相对的背面就是（-1-
12、1-1），对标志晶格里面的晶面来讲是没有区别的，因而100、110、111的等效晶面分别为3、6、4,(001),(010),(100),100,110,111,例1、晶面指数为（123）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，OA、OB和OC分别与基矢a1、a2和a3重合，除O点外，OA、OB和OC上是否有格点？若ABC面的指数为（234），情况又如何？,例1解答： 晶面族（123）截a1、a2和a3分别为1、2、3等份，ABC面是离原点O最近的晶面，OA长度等于a1的长度，OB长度等于a2长度的1/2，OC长度等于a3长度的1/3，所以只有A点是格点。若ABC面的指数为（234）的晶面族，则A、
13、B和C都不是格点。,例2、在简立方晶胞中，画出（101）、（021）、（1-22）和（2-10）晶面。,例2解答：,（101）,（021）,（1-22）,（2-10）,0,0,0,例3、在六角晶系中，晶面指数常用（hkml）表示，它们代表一个晶面的基矢的截距分别为a1/h，a2/k，a3/m，在c轴上的截距为c/l。 证明（1）h+k=-m； （2）求出OA1A3、A1A3B3B1、A2B2B5A5和A1A3A5四个面的面指数。,o,A1,A2,A3,A4,A5,A6,B1,B2,B3,B4,B5,B6,a1,a2,a3,c,例3解答： 设d是晶面族（hkml）的面间距，n是晶面族的单位法矢量
14、。晶面族（hkml）中最靠近原点的晶面在a1、a2、a3和c轴上的截距分别为a1/h、a2/k、a3/m、c/l，所以有：,OA1A3： A1A3B3B1： A2B2B5A5： A1A3A5：,由于,所以,得到：m=-(h+k),例4、 （1）证明在立方晶系中，晶列hkl与晶面（hkl）正交； （2）如图所示，B、C两点是面心立方晶胞上的两面心。 求ABC面的密勒指数；求晶列的指数，并求相应原胞坐标系中的指数。,例4解答： （1）设d是晶面族（h k l）的面间距，n是晶面族的单位法矢量。根据晶面族的定义，晶面族（h k l）将a、b、c分别截为 等份，即：,于是有：,其中，i，j，k分别是平行于a，b，c三个坐标轴的单位矢量，而晶列hkl的方向矢量为：,因此有： ，即 ，晶列hkl与晶面（hkl）正交。,因为对立方晶系，晶列hkl与晶面族（hkl）正交，所以ABC面的密勒指数为,（2）矢量 与矢量 的叉积即是ABC面的法矢量。,可见 与晶列
