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1、第二节 对称性和布拉维格子的分类,本节主要内容:,一、群的知识简介,二、点群和七个晶系,三、空间群和14种布拉维格子,四、点群对称性和晶体的物理性质,2.2 对称性和布拉维格子的分类,布拉维格子是按其对称性(symmetry)来分类的：,所谓对称性是指在一定的几何操作下，物体保持不变的特性。,对称性在物理学中是一个非常重要的概念，它可使复杂物理现象的描述变得简单、明了。因为对称性的本质是指系统中的一些要素是等价的。对称性越高的系统，需要独立表征的系统要素就越少，因而描述起来就越简单。,我们这里要讨论的主要是晶格(或点阵)的对称性(symmetry of lattice).,在晶格这个物理系统中
2、，一种对称性是指某些要素互相等价，而用来描述晶格的要素，无非就是：点、线、面。而保持这些要素等价的操作-对称操作有三种：平移、旋转、镜反射。假设在某一个操作过后，点阵保持不变，也就是每个格点的位置都得到重复，那么这个相应的平移、旋转或镜反射操作就叫作一个点阵对称操作。其中的点、线、面分别叫做对称中心、对称轴、对称面-称为对称元素,从数学角度来看，晶体的对称性是对晶体进行几何变换而能保持晶体性质的不变性,相当于一个正交线性变换。一个变换就是一种操作。,参考方俊鑫固物p32-36 ;或方可固物p13-16,比如：绕x轴的旋转，设转角为，则有：,再比如：取中心为原点，经中心反演，则有：,还有：以z=
3、0作为镜面，则有：,由上可以看出，当变换是纯转动时，矩阵的行列式等于+1；当是空间反演或镜面反射时等于-1.前一种对应物体的实际运动，另一种不能靠物体的实际运动来实现。,如果一个物体在某一正交变换下不变，就称这个变换为物体的一个对称操作。显然，一个物体的对称操作越多，就表明它的对称性越高。,定量研究对称操作集合的性质要用群论的知识。谢希德、蒋平等人编著的群论及其在物理学中的应用(科学出版社出版，1986年8月)是一本不错的书，有兴趣的同学可以参阅）,群论作为数学的分支，是处理有一定对称性的物理体系的有力工具，可以简化复杂的计算，也可以预言物理过程的发展趋势，还可以对体系的许多性质作出定性的了解
4、。,群及其表示理论是物理系研究生的一门重要基础课，对于本科生不作要求。因此，我们不打算在这里讲过多的群论的知识。只是简单介绍一下，让大家对群的概念有一个认识。,一、群的知识简介,1. 群的定义,所谓群(group)就是一些元素(elements)或操作的集合，常用符号 G 来表示。,构成群的元素要满足以下条件：,设 等表示群G中所包含的元素或操作,即：,必须满足下列条件：,1). 封闭性(closure property),按照给定的乘法规则，群G中任何两个元素相乘，得到的还是该群的一个元素。,2). 群中一定包含一个不变元素(单位元素) E,3). 存在逆元素,4). 满足组合定则,在晶体的
5、几何对称性的研究中，每一个能使晶体复原的对称操作，都满足上述群中的元素的要求，由这些元素(或操作)所构成的群叫对称性群(symmetry group),包括点群(point group)和空间群(space group),1830年，赫塞耳(Johann Friedrich Christian Hessel)首先导出了32种点群，由32种点群出发，可以对布拉维点阵进行分类，这正是1850年布拉维所作的工作，他证明了只有7个晶系。(点群不含平移对称操作，因为平移导致任何格点都要动，而点群必须至少有一个格点不动),熊夫利(Schoenflies1891)和费奥多罗夫(Fedorove 1892)
6、为了研究复式晶格(几套简单格子的平移)的分类，考虑了平移对称操作，提出了空间群的概念,并证明只有230种独立的空间群。 可由此证明只有14种三维布拉维点阵,此外，为了方便，人们制定了标示晶体类型的符号，一套是熊夫利制订的，称为熊夫利符号；一套是海尔曼(Hermann)和毛衮(Mauguin)制订的，称为国际符号,我们这一节主要介绍这些人得到的结果,二、点群和七个晶系,1. 点群,保持空间某一点固定不动的对称操作，称为点对称操作。在点对称操作基础上构成的对称操作群称为点群,2. 点对称操作的类型和对称元素：,对于晶体而言，对称操作就是对晶体进行几何变换而能复原的操作。晶体中的基本的点对称操作有三
7、种：,相应的对称元素有:对称轴;对称面;对称中心,镜面反映 (Reflection across a plane);,中心反演(inversion through a point) ;,一个旋转对称操作(rotational symmetry operation)意味着将点阵绕着某个轴旋转某个角度 或- 以后，点阵保持不变。,由于晶体周期性的限制，转角只能是:,显然n=1,相当于不动操作(元素)E,n=2,3,4,6的转轴分别称为二度、三度、四度、六度转轴,证明见p28,为了保持在旋转对称操作后点阵不变，在二维晶格中，旋转轴一定要通过某一个格点而且垂直平面；在三维晶格中，旋转轴一定要通过某一个
8、格点而且平行于某一个晶向。,即：晶体中允许的转动对称轴只能是1，2，3，4和6重轴,称为晶体的对称性定律,晶体的对称性定律的证明,如果绕A转角,晶格保持不变(对称操作).则该操作将使B 格点转到 位置,则由于转动对称操作不改变格子,在 处必定原来就有一个格点。,因为B 和A 完全等价,所有旋转同样可以绕B 进行.,如图,A为格点,B为离A最近的格点之一,则与 平行的格点之间的距离一定是 的整数倍。,由此可设想绕B 转角，这将使A 格点转到 的位置。同样 处原来也必定有一个格点,亦即：,而且,m必须为整数,所以,m只能取 -1,0,1,2,3,由于 组成等腰梯形,m为整数,因此,与m=-1,0,
9、1,2,3相应的转角为:,通常把晶体中轴次最高的转动轴称作主对称轴，简称主轴,(但是立方晶系则以3次轴为主轴),其它为副轴.,一个镜面反映对称操作(symmetry operation of mirror image)意味着将点阵对应于某一个面进行反射,点阵保持不变.这表明一系列格点对应于这个反射面的位置是等价的,点阵具有镜反射对称性.如以xy面为反射面,则(x,y,z)(x,y,-z),中心反演,如对原点的反演,(x,y,z) (-x,-y,-z),以上为3种基本对称操作。然而，在某些晶体中还存在着等价于相继进行两个基本对称操作(乘法法则)而得到的独立对称操作，称为组合操作,组合操作:,也叫
10、旋转-反映或象转操作,总之，上述对称操作满足数学上构成群的条件，一个晶体的所有点对称操作集合形成该晶体点群。理论和实验证明，所有晶体结构的宏观对称性，可概括为32个晶体点群。,对于点对称操作的类型,固体物理中惯用熊夫利符号(Schoenflies notation)标记;晶体学家惯用国际符号(Schoenflies notation)标记.在晶体结构分析中,常用后者.,P28-29表2.1给出了32个晶体学点群，为了便于大家看懂，下面给出符号的说明,为了表明对称面相对于旋转轴的位置，还有如下附加指标：,下角标h(水平)表示垂直于旋转轴,下角标v(铅直)表示平行于旋转轴,下角标d(对角)表示平行
11、于主轴且平分2次轴之间的夹角,国际符号,国际符号以不超过三个几何上的从优方向来描述晶体的对称类型，这些方向或平行于对称轴或垂直于对称面,如旋转-反演对称轴并不都是独立的基本对称素。如：,注意，以上许多的操作并不都是独立的,正四面体既无四度轴也无对称心,参考方俊鑫书 P37-39,旋转反演对称操作中只有4度旋转反演对称操作是独立的,独立的对称操作有8种,即1，2，3，4，6，i，m， 。 或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。,所有点对称操作都可由这8种操作或它们的组合来完成。一个晶体的全部对称操作构成一个群，每个操作都是群的一个元素。对称性不同的晶体属于不同的群。由旋转、中心反演
12、、镜象和旋转-反演点对称操作构成32个点群。,3.七个晶系,在不考虑平移对称操作的基础上，32个点群属于7个晶系。,7个晶系的划分，可以说是从简单格子出发来考虑的，简单格子含有一个格点。,考虑到格矢,所以，晶体的三维周期性结构由 三个矢量的方向和长度来决定，存在7类不同的组合，即7个晶系。,7个晶系为：三斜晶系、单斜晶系、正交晶系、三角晶系、四方晶系、六角晶系、立方晶系。(按对称性来排序),7个晶系(由简单格子确定,用符号P表示),三、空间群和14种布拉维格子,7个晶系(crystal system)相应的点群,其它点群为这7个点群的子群(见P28表2.1),如果进一步考虑晶体的微观对称性,对
13、称操作中还应包含:平移、螺旋旋转和滑移反映.,对称性在宏观上表现为晶体外形的对称及物理性质在不同方向上的对称性.所以又称宏观对称性,其对称操作前面已经讲述.,1.平移对称操作和空间群,(1)平移和平移轴：图形中各点按一矢量进行移动的操作称为平移；进行平移所凭借的直线称为平移轴。显然，此时图形应是无限的-点阵。,（2）螺旋旋转与n度螺旋轴:若绕轴旋转2/n角以后,再沿轴方向平移l(T/n),晶体能自身重合,则称此轴为n度螺旋轴.其中T是轴方向的周期,l是小于n的整数.n只能取1、2、3、4、6。,（2）滑移反映和滑移面：若经过某面进行镜象操作后,再沿平行于该面的某个方向平移T/n后,晶体能自身重
14、合,则称此面为滑移反映面. T是平行方向的周期, n可取2或4.,点对称操作加上平移操作构成空间群。全部晶体构成230种空间群，即有230种对称类型。,2. 14种布拉维格子,根据不同的点对称性，将晶体分为7大晶系，对应7个简单格子；进一步考虑平移对称操作后，还有7种复式格子，所以共有14种布拉维晶格。,7大晶系的特征及14种布拉维晶格如下所述：,1.三斜晶系：,2.单斜晶系：,3.三角晶系：,简单三斜(1),简单单斜(2),底心单斜(3),三角(4),4.正交晶系：,简单正交(5)，底心正交(6)体心正交(7)，面心正交(8),5.四角系： (正方晶系),简单四角(9)，体心四角(10),6
15、.六角晶系：,六角(11),7.立方晶系：,简立方(12)，体心立方(13)，面心立方(14),简单三斜(1),简单单斜(2),底心单斜(3),1）.三斜晶系：,2）.单斜晶系：,3）.三角晶系：,三角(4),4）.正交晶系：,简单正交(5),底心正交(6),体心正交(7),面心正交(8),5）.四方晶系,体心四方(10),简单四方(9),6）.六角晶系：,六角(11),7）.立方晶系：,简立方(12),体心立方(13),面心立方(14),从表面上来看，上述布拉维格子似乎还可以增加一些体心、面心或底心格子。但实际上，这样做所得的格子仍是14种之一，或者不是布拉维格子。,如四方晶系只有简单四角和
16、体心四角；如果增加一个面心四角，结果仍是体心四角。,将相同的原子、离子或者原子集团置于各个等价格点上,就得到晶体结构.每种晶体结构都是基于14种布拉维格子中的一个平移系统而形成的.总之,布拉维格子按照点群来分有7类,按空间群来分,有14类；晶体按照点群来分有32类,按空间群来分,有230类.,空间格子与晶体结构这两个概念含义并不相同，“格子”纯属几何概念，是晶体结构的数学抽象；而“晶体结构”则具有物理意义。,3. 230种空间群国际符号说明：,空间群国际符号的第一个字母表示布拉维格子的类型，即：,P简单格子； I体心格子； F面心格子； C底心(a1和a2形成的底面); B底心(a2和a3形成的底面); A底心(a1和a3形成的底面); R三角格子,其余符号与点群相同。,仔细阅读P29-30，加深对符号的含义的理解。如：4/m;m3m等。,空间群国际符号,3. 1955年-1956年,别洛夫和陶格尔全面导出了磁对称群(magnetic symmetry g
